【正文】 不能反應隨機過程 X(t)的各個狀態(tài)之間的關系。 TttxtXxtXPttxxF X ???? 2122112121 ,. .. .. .. . .} .. . .. .. . .)(。,(),。,(),。)({),。,( 2121 ttxxF X同多維隨機變量一樣，隨機過程 X(t)的 n維概率分布具有下列主要性質(zhì)： 1） 2） 3） 0),. .. ,。,. .. ,(0),. .. ,. .. ,。,... ,( 212121 ????? ???? ??? nnnX dxdxdxtttxxxf), .. .,。, .. .,(2121212121mmXnmmnnXtttxxxfdxdxdxtttxxxf????? ??????? ??1 2 1 2 1 1 2 2( , , .. ., 。用類似上面的方法，我們可以定義隨機過程 X(t)的 n維分布函數(shù)為： })(,...,)(,)({),...,。,...,(),...,。1 據(jù)期望的定義： [ ( ) ] ( , ) ( )XXE X t x f x t d x m t???? ? ??mx(t) 描述了 X(t)所有樣本函數(shù)在各個時刻擺動的中心－－即X(t)在各個時刻的狀態(tài) (隨機變量 )的數(shù)學期望。其二階原點矩： 將 t視為變量時，即為過程 X (t)的均方值。( ?})({)( ii ytYPtp ??對離散型隨機過程 Y(t),t∈ T,若所有狀態(tài)取值的樣本空間為 S＝ {y1,y2,…,y m}。 即： i∈ I={1,…,m} 其中 表示 t時刻狀態(tài) Y(t)取值為 yi的概率。但從樣本函數(shù)看有明顯不同。 Y(t)隨時間變化快，不同時刻的兩個狀態(tài) Y(t1),Y(t2)之間的依賴性弱（相關性弱）。 ttttmttXXX210)()()(?ttttmttYYY210)()()(?一般用來描述隨機過程“任意兩個時刻的兩個狀態(tài)之間內(nèi)在聯(lián)系”的重要數(shù)字特征 —— 自相關函數(shù) 定義為： 它反應了任意兩個時刻的狀態(tài) X(t1) 與 X(t2)之間的“相關程度”。,()]()([),( xdxttxxfxxtXtXEttR XX1 2 1 1 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21222( , ) { [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] }[ ( ) ] [ ( ) ] ( , 。過 程 的 方 差 。t， U在 (0,1)上均勻分布，求 E[X(t)]，D[X(t)]， Rx(t1,t2)， Cx (t1,t2)。 X(t1) X(t2) P?i ?1 1 5 1/4 ?2 2 4 1/4 ?3 6 2 1/4 ?4 3 1 1/4 123412()6543210Xtt t t????解：由題意可知，隨機過程 X(t)在 t1, t2 兩個時刻為兩個離散隨機變量。 k1,k2不在一條樣本上，此情況發(fā)生的概率為0。 由于一次試驗結(jié)果只有一個樣本出現(xiàn)，若此次樣本 ?3出現(xiàn)，則t1時刻的狀態(tài)必在 ?3上取值，且 t2時刻的狀態(tài)必還在 ?3上取值。 P{X(t1)=k1,X(t2)=k2} = 1/4。 1( , ) ( , )2XXjxf x t C u t e d? ?????????0),()()]([?????????nXnnn tQjtXE()( , ) [ ] ( 。 ( , )XCt?特征函數(shù)的逆變換： n階原點矩： 二. 二維特征函數(shù) 隨機過程 X(t)在任意兩個時刻 t1,t2的狀態(tài)構成二維隨機變量 [ X(t1), X(t2) ]，它們的聯(lián)合特征函數(shù)為： 又稱作隨機過程 X(t)的二維特征函數(shù)。 , ) e xp[ ( ) ( ) ]e xp( ) ( , 。 , )XC u u t t? ??????????? 212211212122121)](e x p [),。,(duduxuxujttuuQttxxfXX?所以，隨機過程 X(t)的相關函數(shù)可以用其二維特征函數(shù)來求： 21 2 1 212 01221 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 20121 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , 。 , )( , 。 , )( , ) XXuuC u u t tR t tuu???????若將上式兩邊對變量 μ1， μ2各求一次偏導數(shù)， 據(jù)逆轉(zhuǎn)公式，由過程 X(t)的 n維特征函數(shù)可求得 n維概率密度。 , ..., ) e xp[ ( ) ... ( ) ]... e xp( ... ) ( , ..., 。 , .. ., )1.. . ( , .. ., 。 ) { ( ) }( , 。 ( ) }( , )iiiijijjij uxC u t e P X t xC u u t tj u x j u xe P X t x X t xt t T???? ? ????? 同理，定義兩個時刻 t1,t2的狀態(tài) X(t1) ， X(t2)的聯(lián)合特征函數(shù)為離散型隨機過程的二維特征函數(shù) 平穩(wěn)隨機過程 粗略的說 ——隨機過程的統(tǒng)計特征不隨時間的推移而變化。 (?t為任意值 ) 1 2 1 21 2 1 2( , , .. ., 。 , , .. ., )X n nX n nf x x x t t tf x x x t t t t t t? ? ? ? ? ? ?則稱該過程為嚴平穩(wěn)隨機過程（或狹義平穩(wěn)過程）。 1 2 1 2( ) , ( ) ,. . . , ( ) nnt t t n X t t X t tX t t t? ? ? ? ? ? ?? ? ?無 論 如 何 選 取 ， 個 狀 態(tài)的 聯(lián) 合 概 率 密 度 都 不 會 隨 的 變 化 而 變 化 。 即： X(t)與 X(t+?t)具有相同的概率分布及數(shù)字特征。 ( , ) ( , ) ( , 0 ) ( )X X X Xf x t f x t t f x f xtt? ? ? ? ?? ? ?因此有：嚴平穩(wěn)過程的一維統(tǒng)計特性與時間無關 2 2 222[ ( ) ] ( , ) ( )[ ( ) ] ( )[ ( ) ] ( ) ( )X X XXXX X XE X t x f x t dx x f x dx mE X t x f x dxD X t x m f x dx????? ? ? ???????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????1 2 1 2 1 2 1 211 2 2 1 1 2( , 。 , )( , 。 )XXXXf x x t t f x x t t t t ttf x x t t f x x ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?因此：嚴平穩(wěn)過程的二維數(shù)字特征僅是（時間差 ?）的函數(shù) 綜上所述：要按上述嚴平穩(wěn)過程的定義來判斷一個過程是否平穩(wěn) ?是很困難的。則此過程就可以認為是平穩(wěn)的。 1 2 1 2 1 2 121 2 1 2 1 2 1 2222( , ) ( , 。 )( ) ( )( 0 ) ( 0 ) [ ( ) ]X X XX X X XX X XX X X XR t t x x f x x d x d x RC t t x m x m f x x d x d xC R mC R m D X t??????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ???????)]([ 2 tXE b)：另一方面，對有些非平穩(wěn)過程，可以根據(jù)需要，如果它在所觀測的時間段內(nèi)是平穩(wěn)的，就可以視作這一時間段上的平穩(wěn)過程來處理。 c)：一般在工程中，通常只在相關理論的范圍內(nèi)討論過程的平穩(wěn)問題。 因此，工程中平穩(wěn)過程的定義如下： 二、寬平穩(wěn)過程 定義 若二階矩過程 ( )X(t) 滿足 : E[X(t)]=mx←常數(shù) Rx(t1,t2)=Rx(?) ←只與時間間隔 (?=t2t1)有關 則稱過程 X(t)為“寬平穩(wěn)隨機過程”（廣義平穩(wěn)過程）。 反之：一個寬平穩(wěn)過程，則不一定是嚴平穩(wěn)過程。 試問： X( t )是否是平穩(wěn)隨機過程？為什么？ 解：由題意可知，隨機變量 的概率密度為 因而，我們根據(jù)定義式，求得過程 X (t) 的均值，自相關函數(shù)和均方根分別為 )c o s ()( 0 ??? ttX ??0,???)2,0( ????? ???? 其他,020,2/1)( ????f021)c o s ()()()]([)(20 0??????????? ?????????dtdftxtXEtm X)(c o s2]21)22c o s ([ c o s2)]22c o s ([ c o s2)])(c o s ()c o s ([)]()([),(),(0220000200020021???????????????????????????XXXRdttEttEtXtXEttRttR????????????????????????????? 2)0(),()]([22 ?XX RttRtXE由此可見，過程 X( t )的均值為“ 0”（常數(shù)），自相關函數(shù)僅與時間間隔 有關，均方值為“ ”（有限），故過程 X( t )是寬平穩(wěn)過程。 當 ?在 (0， ?)上或 ?在 (0， ?/2) 上均勻分布時， X(t) 是非平穩(wěn)過程。 討論它們的平穩(wěn)性。 2) — 非常數(shù) ???????????2121221111)0()]([][)]()([),(][)]([YXYXYRtXEYEtXtXEttRmYEtXE?????tmtXX0)(11所以 X2(t)是非平穩(wěn)過程。但 X(t) ≠X(t+ ?t) X(t)=Y←只是個嚴平穩(wěn)隨機過程的特例。2在下章將看到 表示平穩(wěn)過程 X (t) 的“平均功率”。 0)]([)0( 22 ???? XX tXER)()( ?? ?? XX RR0??)0(XR?)()]()([)]()([)(??????????XXRtXtXEtXtXER證明： 同理可得， )()( ?? ?? XX CC 即自相關函數(shù)在 上具有最大值。 0??值得注意的是 這里并不排除在 其它 地方的 也有可能出現(xiàn)同樣的最大值。 1， 177。 )(?XR???? 02c os2)( ?XR02??? n?22??? |,)(|)0( ?XX RR?4）若平穩(wěn)過程 X ( t )滿足條件 X( t+T ) = X( t ) ，則稱它為周期平穩(wěn) 過程，其中 T為過程的周期。 證明：由自相關函數(shù)的定義和周期性條件，容易得到 )()]()([)]()([)( ???? XX RtXtXETtXtXETR ???????)()( ?? XX RTR ??0??2022()0XR?????若平穩(wěn)過程 X(t) 含有一個周期分量，那么 Rx(?) 也可能含有一個 同周期的周期分量。即： )()c o s ()()()( 0 tN