【文章內(nèi)容簡介】 00 Hz對 xa(t)進行采樣得到采樣信號 ， 與 xa(t)的關系式為 ： ~ ()axt~ ()axt 的傅里葉變換用 ()式確定 ， 即以 Ωs=2πfs 為周期 ， 將 Xa(jΩ)周期延拓形成 ， 得到： ~ ()axt() 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 如圖 (b)所示。 將采樣信號轉(zhuǎn)換成序 列 x(n)， 用下式表示： x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT) ()aXj? ? 按照 ()式 ， 得到 x(n)的 FT， 實際上只要將 Ω=ω/T=ωfs代入 中即可： ()aXj? ? 將 fs=200 Hz， f0=50 Hz， 代入上式 ， 求括弧中公式為零時的 ω值 ， ω=2πk177。 π/2， 因此 X(ejω)用下式表示： () 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 序列的 Z變換 Z變換的定義 序列 x(n)的 Z變換定義為： () 式中 z是一個復變量 ， 它所在的復平面稱為 z平面 。 此定義稱為雙邊 Z變換 。 () 單邊 Z變換的定義， 如下式： 對于因果序列， 用兩種 Z變換定義計算出的結果是一樣的。 如不另外說明，均用雙邊 Z變換對信號進行分析和變換。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 使 ()式成立 ， Z變量取值的域稱為收斂域 。 一 般 收斂域用環(huán)狀域 表示： 雙邊 Z變換存在的條件是 等號右邊級數(shù)收斂 ， 要求級數(shù)絕對可和 ， 即 () 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 Z變換的收斂域 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 分子多項式 P(z)的根是 X(z)的零點 ， 分母多項式Q(z)的根是 X(z)的極點 。 在極點處 Z變換不存在 ， 因此收斂域中沒有極點 ， 收斂域總是用極點限定其邊界 。 ()()()PzXzQz?() 常用的 Z變換是一個有理函數(shù)， 用兩個多項式之比表示： 對比序列的傅里葉變換定義式， 很容易得到 FT和ZT之間的關系， 用下式表示： 式中 z=e jω表示在 z平面上 r=1的圓 ， 該圓稱為單位圓 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ()式表明單位圓上的 Z變換就是序列的傅里葉變換 。 如果已知序列的 Z變換 ， 可用 ()式 ， 很方便的求出序列的 FT， 條件是 收斂域中包含單位圓 。 例 x(n)=u(n)， 求其 Z變換 。 X(z)存在的條件是 |z1|1， 因此收斂域為 |z|1， 解： 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 由 x(z)表達式表明 ， 極點是 z=1， 單位圓上的 Z變換不存在 ， 或者說收斂域不包含單位圓 。 因此其傅里葉變換不存在 ， 更不能用 ()式求 FT， 該序列的 FT不存在 ， 但如果引進奇異函數(shù) δ(ω)， 其傅里葉變換可以表示出來 (見表 )。 該例同時說明一個序列的傅里葉變換不存在 ， 在一定收斂域內(nèi) Z變換是存在的 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 序列特性對收斂域的影響 1. 有限長序列 如序列 x(n)滿足下式： x(n) 稱為有限長序列。其 Z變換為： 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 設 x(n)為有界序列 ， 由于是有限項求和 ， 除 0與 ∞兩點是否收斂與 n n2取值情況有關外 ， 整個 z平面均收斂 。 n10， n2 ≤0時， 0≤ z ＜ ∞ n10， n2 0時， 0 z ＜ ∞ n1≥0， n2 0時， 0z≤∞ 如果 n10， 則收斂域不包括 ∞點； 具體有限長序列的收斂域表示如下： 如果是因果序列 ， 收斂域包括 z=∞點 。 如 果 n20， 則收斂域不包括 z=0點； 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 求 x(n)=RN(n)的 Z變換及其收斂域 。 解： 這是一個因果的有限長序列 ， 因此 收斂域為 0z≤∞。 由結果的分母可以看出 ， z=1是 X(z)的極點 ， 但同時也是一個零點 ， 極零點對消 ， X(z)在單位圓上仍存在 ， 求 RN(n)的 FT， 可將 z=ejω代入 X(z)得到 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 2. 右序列 右序列是在 n≥n1時 ， 序列值不全為零 ， 而其它nn1， 序列值全為零 。 第一項為有限長序列 ， 設 n1≤1， 其收斂域為 0≤|z|＜ ∞。 第二項為因果序列 ， 其收斂域為 Rx|z|≤∞， Rx是第二項最小的收斂半徑 。 將兩收斂域相與 ， 其收斂域為 Rx|z|∞。 如果是 因果序列 ， 收斂域定為 Rx|z|≤∞。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 求 x(n)=anu(n)的 Z變換及其收斂域 。 解： 左序列是在 n≤n2時 ， 序列值不全為零 ， 而在 nn1， 序列值全為零的序列 。 左序列的 Z變換表示為： 3. 左序列 如果 n20, z=0點收斂， z=∞點不收斂，其收斂域是在某一圓 (半徑為 Rx+)的圓內(nèi)，收斂域為 0≤|z|Rx+。如果 n20，則收斂域為 0|z| Rx+ 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 求 x(n)= anu(n1)的 Z變換及其收斂域 。 X(z)存在要求 |a1 z|1， 即收斂域為 |z||a| 解： 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 4. 雙邊序列 一個雙邊序列可以看作一個左序列和一個右序列之和 ， 其 Z變換表示為： X(z)的收斂域是 X1(z)和 X2(z)收斂域的公共收斂區(qū)域 。如果 Rx+Rx， 其收斂域為 Rx|z| Rx+， 這是一個環(huán)狀域 ，如果 Rx+ Rx， 兩個收斂域沒有公共區(qū)域 ， X(z)沒有收斂域 ，因此 X(z)不存在 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 x(n)=a|n|， a為實數(shù) ， 求 x(n)的 Z變換及其收斂域 。 解： 第一部分收斂域為 |az|1， 得 |z||a|1， 第二部分收斂域為|az1|1， 得到 |z||a|。 |a||z||a|1 如果 |a|≥1， 則無公共收斂域， 因此 X(z)不存在。 如果 |a|1，兩部分的公共收斂域為 |a||z||a|1，其 Z變換如下式： 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 當 0a1時 ， x(n)的波形及 X(z)的收斂域如圖 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 逆 Z變換 已知序列的 Z變換及其收斂域 ， 求序列稱為逆 Z變換 。 序列的 Z變換及共逆 Z變換表示如下： () 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 1. 用留數(shù)定理求逆 Z變換 如果 X(z)zn1在圍線 c內(nèi)的極點用 zk表示 ， 根據(jù)留數(shù)定理 : () 如果 zk是單階極點 ， 則根據(jù)留數(shù)定理： () 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 由 ()式表明 ， 對于 N階極點 ， 需要求 N1次導數(shù) ， 這是比較麻煩的 。 如果 c內(nèi)有多階極點 ， 而 c外沒有多階極點 ， 可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求 c外的所有極點留數(shù)之和 ，使問題簡單化 。 如果 zk是 N階極點 ， 則根據(jù)留數(shù)定理： () 設被積函數(shù)用 F(z)表示， 即 F(z)在 z平面上有 N個極點 ， 在收斂域內(nèi)的封閉曲線 c將 z平面上極點分成兩部分：一部分是 c內(nèi)極點 ， 設有 N1個極點 ，用 z1k表示；另一部分是 c外極點 ， 有 N2個 ， N=N1+N2， 用 z2k表示 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 根據(jù)留數(shù)輔助定理下式成立： () 注意 ()式成立的條件是 F(z)的分母階次比分子階次必須高二階以上 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 NM – n + 1≥2 即： NM – n ≥1 () 如果 ()式滿足 , c圓內(nèi)極點中有多階極點 ， 而 c圓外極點沒有多階的 ， 可以按照 ()式 ， 改求 c圓外極點留數(shù)之和 ， 最后加一個負號 。 設 X(z)=P(z)/Q(z)， P(z)與 Q(z)分別是 M與 N階多項式 。()式成立的條件是： 解： 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 為了用留數(shù)定理求解 ， 先找出 F(z)的極點 ， 極點有：z=a；當 n0時 ， z=0共二個極點 ， 其中 z=0極點和 n的取值有關： n≥0時 ， z=0不是極點 。 n 0時 ， z=0是一個 n階極點 。 因此分成 n≥0和 n0兩種情況求 x(n)。 n≥0 時： 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 n0時 ， 增加 z=0的 n階極點 ， 不易求留數(shù) ， 采用留數(shù)輔助定理求解 。 一般情況下 ， 計算 n0時的極點留數(shù) ， 用 （ ） 式求解是正確的 。 圖 例 n0時 F(z)極點分布 本例中， N=1， M=1，滿足（ ）式， n0時，改求圓外極點留數(shù)。 該例中，圓外無極點，故 n0時， x(n)=0。 最后得到原序列為： 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 該例題沒有給定收斂域 ， 為求出唯一的原序列 x(n)，必須先確定收斂域 。 分析 X(z)， 得到其極點分布如圖 所示 。 圖中有二個極點 z=a和 z=a1， 這樣收斂域有三種選法 ，它們是： (1) |z||a1|， 對應的 x(n)是右序列； (2) |a||z||z1|， 對應的 x(n)是雙邊序列； (3) |z||a|， 對應的 x(n)是左序列 。 解： 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 X(z)極點分布圖 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 下面按照收斂域的不同求其 x(n)。 (1) 收斂域 |z||a1| 原序列是因果的右序列 ， 無須求 n0時的 x(n)。 當 n≥0時 ， 圍線積分 c內(nèi)有二個極點 z=a和 z=a1， 因此： 最后表示成： 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 (2) 收斂域 |z||a| 這種情況原序列是左序列 ， 無須計算 n≥0情況 ， 當 n≥0時 ， 圍線積分 c內(nèi)沒有極點 ， 因此 x(n)=0。 n0時 ， c內(nèi)只有一個極點 z=0， 且是 n階極點 ， 改求 c外極點留數(shù)之和 。 最后將 x(n)表示成： 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 (3) 收斂域 |a||z||a1| 這種情況對應的 x(n)是雙邊序列。 根據(jù)被積函數(shù) F(z)，按 n≥0和 n0兩情況分別求 x(n)。