【文章內(nèi)容簡介】 ，則離散型隨機(jī)過程 X(t)是在 t時(shí)刻的狀態(tài)，若 X(t)(隨機(jī)變 量 )隨機(jī)的取值 χi ， i=1,2,… ，其概率 ， ( ) { ( ) }iip t P X t x??則離散型隨機(jī)過程的一維特征函數(shù)定義為 1 2 1 2121212( 。 ) { ( ) }( , 。 , ){ ( ) 。 ( ) }( , )iiiijijjij uxC u t e P X t xC u u t tj u x j u xe P X t x X t xt t T???? ? ????? 同理，定義兩個(gè)時(shí)刻 t1,t2的狀態(tài) X(t1) ， X(t2)的聯(lián)合特征函數(shù)為離散型隨機(jī)過程的二維特征函數(shù) 平穩(wěn)隨機(jī)過程 粗略的說 ——隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征不隨時(shí)間的推移而變化。 一. 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程 1. 定義 設(shè)有隨機(jī)過程 { X(t) , t ∈ T}，若對于任意 n和任意t1t2…tn ，（ ti ∈ T）時(shí)刻的 n個(gè)狀態(tài)的 n維概率密度，不隨時(shí)間平移 ?t而變化。 (?t為任意值 ) 1 2 1 21 2 1 2( , , .. ., 。 , , .. ., )( , , .. ., 。 , , .. ., )X n nX n nf x x x t t tf x x x t t t t t t? ? ? ? ? ? ?則稱該過程為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程（或狹義平穩(wěn)過程）。 為了形象的說明問題，我們暫且假定隨機(jī)過程的所有狀態(tài) X(t) 可以用縱軸表示，見下圖。 1 2 1 2( ) , ( ) ,. . . , ( ) nnt t t n X t t X t tX t t t? ? ? ? ? ? ?? ? ?無 論 如 何 選 取 ， 個(gè) 狀 態(tài)的 聯(lián) 合 概 率 密 度 都 不 會(huì) 隨 的 變 化 而 變 化 。嚴(yán)平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特性與所選取的“時(shí)間起點(diǎn)”無關(guān)，無論從什么時(shí)間開始測量 n個(gè)狀態(tài)，所得到的統(tǒng)計(jì)特性是完全一樣的。 即： X(t)與 X(t+?t)具有相同的概率分布及數(shù)字特征。 1 2 1 20 nnt t t t t t t t t t? ? ? ? ? ?1 2 1 2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )()nnX t X t tX t X t X t t X t tXt??? ? ? ?ttt???嚴(yán)平穩(wěn)過程的概率密度及數(shù)字特征 (1)、嚴(yán)平穩(wěn)過程的一維概率密度與時(shí)間無關(guān) (2)、嚴(yán)平穩(wěn)過程的二維概率密度只與 t t2的時(shí)間間隔 ? = t2 t1 （時(shí)間差 ?）有關(guān)， 而與“時(shí)間起點(diǎn)”無關(guān)。 ( , ) ( , ) ( , 0 ) ( )X X X Xf x t f x t t f x f xtt? ? ? ? ?? ? ?因此有：嚴(yán)平穩(wěn)過程的一維統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間無關(guān) 2 2 222[ ( ) ] ( , ) ( )[ ( ) ] ( )[ ( ) ] ( ) ( )X X XXXX X XE X t x f x t dx x f x dx mE X t x f x dxD X t x m f x dx????? ? ? ???????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????1 2 1 2 1 2 1 211 2 2 1 1 2( , 。 , ) ( , 。 , )( , 。 0 , ) ( , 。 )XXXXf x x t t f x x t t t t ttf x x t t f x x ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?因此：嚴(yán)平穩(wěn)過程的二維數(shù)字特征僅是（時(shí)間差 ?）的函數(shù) 綜上所述：要按上述嚴(yán)平穩(wěn)過程的定義來判斷一個(gè)過程是否平穩(wěn) ?是很困難的。 a) ：一般在實(shí)用中，只要產(chǎn)生隨機(jī)過程的主要物理?xiàng)l件，在時(shí)間 進(jìn)程中不變化。則此過程就可以認(rèn)為是平穩(wěn)的。 例如：在電子管中由器件的顆粒效應(yīng)引起的“散彈噪聲”，由于產(chǎn) 生此噪聲的主要物理?xiàng)l件與時(shí)間無關(guān)，所以此噪聲可以認(rèn)為是平 穩(wěn)過程。 1 2 1 2 1 2 121 2 1 2 1 2 1 2222( , ) ( , 。 ) ( )( , ) ( ) ( ) ( , 。 )( ) ( )( 0 ) ( 0 ) [ ( ) ]X X XX X X XX X XX X X XR t t x x f x x d x d x RC t t x m x m f x x d x d xC R mC R m D X t??????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ???????)]([ 2 tXE b)：另一方面，對有些非平穩(wěn)過程，可以根據(jù)需要，如果它在所觀測的時(shí)間段內(nèi)是平穩(wěn)的，就可以視作這一時(shí)間段上的平穩(wěn)過程來處理。即在觀測的有限時(shí)間段內(nèi)，認(rèn)為是平穩(wěn)過程。 c)：一般在工程中，通常只在相關(guān)理論的范圍內(nèi)討論過程的平穩(wěn)問題。即：討論與過程的一、二階矩有關(guān)的問題。 因此，工程中平穩(wěn)過程的定義如下： 二、寬平穩(wěn)過程 定義 若二階矩過程 ( )X(t) 滿足 : E[X(t)]=mx←常數(shù) Rx(t1,t2)=Rx(?) ←只與時(shí)間間隔 (?=t2t1)有關(guān) 則稱過程 X(t)為“寬平穩(wěn)隨機(jī)過程”（廣義平穩(wěn)過程）。 可見：一個(gè)均方值有限的嚴(yán)平穩(wěn)過程，一定是寬平穩(wěn)過程。 反之：一個(gè)寬平穩(wěn)過程，則不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。 例 設(shè)隨機(jī)過程 式中， 皆為常數(shù)， 是在 上均勻分布的隨機(jī)變量。 試問： X( t )是否是平穩(wěn)隨機(jī)過程？為什么？ 解：由題意可知，隨機(jī)變量 的概率密度為 因而，我們根據(jù)定義式，求得過程 X (t) 的均值，自相關(guān)函數(shù)和均方根分別為 )c o s ()( 0 ??? ttX ??0,???)2,0( ????? ???? 其他,020,2/1)( ????f021)c o s ()()()]([)(20 0??????????? ?????????dtdftxtXEtm X)(c o s2]21)22c o s ([ c o s2)]22c o s ([ c o s2)])(c o s ()c o s ([)]()([),(),(0220000200020021???????????????????????????XXXRdttEttEtXtXEttRttR????????????????????????????? 2)0(),()]([22 ?XX RttRtXE由此可見，過程 X( t )的均值為“ 0”（常數(shù)），自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔 有關(guān)，均方值為“ ”（有限），故過程 X( t )是寬平穩(wěn)過程。 ? 2/2? 對于隨機(jī)過程 X(t)=?cos(?ot+?)而言，當(dāng) ?在 (0， 2 ?)或 ( ?， ?) 上均勻分布時(shí)， X( t )是平穩(wěn)的。 當(dāng) ?在 (0， ?)上或 ?在 (0， ?/2) 上均勻分布時(shí)， X(t) 是非平穩(wěn)過程。 因?yàn)楫?dāng) ?在 (0， ?)上均勻分布時(shí)， E[X(t)]=(2 ? / ?)sin ?ot≠常數(shù) 當(dāng) ?在 (0,?/2) 上均勻分布時(shí)， E[X(t)]=2 ? / ?(sin ?otcos ?ot ) ≠常數(shù) 22222212122122122)()]()([),(][)]()([),(][)]([YXYXYtttXtXEttRttYtYtEtXtXEttRmtYtEtXE??????????????????????例 設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過程 X1(t)=Y， X2(t)=tY， Y是隨機(jī)變量。 討論它們的平穩(wěn)性。 解： 1) —常數(shù) 可見 X1(t)是平穩(wěn)過程。 2) — 非常數(shù) ???????????2121221111)0()]([][)]()([),(][)]([YXYXYRtXEYEtXtXEttRmYEtXE?????tmtXX0)(11所以 X2(t)是非平穩(wěn)過程。 ttmtXX0)()(22注：嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)的所有統(tǒng)計(jì)特性均不隨時(shí)間平移而變化， X(t)與 X(t+?t)具有相同的概率分布及數(shù)字特征。但 X(t) ≠X(t+ ?t) X(t)=Y←只是個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的特例。 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( )f x t f x t X t X t??盡 管 ： ， 但12( ) ( ) ( )X t X t X t120 t t t12( ) ( ) ( )X t X t X t120 t t t 222 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì) 1 、 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)在 上的值是非負(fù)值。在下章將看到 表示平穩(wěn)過程 X (t) 的“平均功率”。 即自相關(guān)函數(shù)在是變量 的偶函數(shù)。 0)]([)0( 22 ???? XX tXER)()( ?? ?? XX RR0??)0(XR?)()]()([)]()([)(??????????XXRtXtXEtXtXER證明： 同理可得， )()( ?? ?? XX CC 即自相關(guān)函數(shù)在 上具有最大值。 證明：任何正函數(shù)的數(shù)學(xué)期望恒為非負(fù)值，即 |)(|)0( ?XX RR ?0??0)]()()(2)([0})]()({[222???????????tXtXtXtXEtXtXE對于平穩(wěn)過程 X ( t )，有 代入前式，可得 于是 同理可得： )0()]([)]([ 22 XRtXEtXE ??? ?0)(2)0(2 ?? ?XX RR|)(|)0( ?XX RR ?)()0( 2 ?? XXX CC ??即自協(xié)方差函數(shù)在 上也具有最大值。 0??值得注意的是 這里并不排除在 其它 地方的 也有可能出現(xiàn)同樣的最大值。 例如，隨機(jī)相位正弦信號(hào)的自相關(guān)函數(shù) ， 在 ， n=0， 177。 1， 177。 2， … 時(shí)，均出現(xiàn)最大值 。 )(?XR???? 02c os2)( ?XR02??? n?22??? |,)(|)0( ?XX RR?4）若平穩(wěn)過程 X ( t )滿足條件 X( t+T ) = X( t ) ，則稱它為周期平穩(wěn) 過程，其中 T為過程的周期。周期平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)必為周期 函數(shù)，且它的周期與過程的周期相同。 證明：由自相關(guān)函數(shù)的定義和周期性條件，容易得到 )()]()([)]()([)( ???? XX RtXtXETtXtXETR ???????)()( ?? XX RTR ??0??2022()0XR?????若平穩(wěn)過程 X(t) 含有一個(gè)周期分量，那么 Rx(?) 也可能含有一個(gè) 同周期的周期分量。 例如：設(shè)某接收機(jī)的輸入混合信號(hào) X (t)是隨機(jī)相位正弦信號(hào) S(t)和噪聲電壓 N(t)之和。即： )()c o s ()()()( 0 tNttNtStX ?????? ??例如： X(t)=?cos(?0t+?)， ?在 (0， 2?)上均勻分布， ?—常數(shù) 則自相關(guān)函數(shù)