【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ( )nx n a u n?R e[ ]zIm [ ]jz收斂域： za?時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 40 一些序列的收斂域 左邊序列 11( ) ,()0,x n n nxnnn??? ???22 01( ) ( ) ( ) ( )nnn n nn n nX z x n z x n z x n z? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?第 二 項(xiàng)收斂域?yàn)?0|z|＝ ∞ 第一項(xiàng)為 z的正冪次級(jí)數(shù)， 由阿貝爾定理可知 , 其收斂域?yàn)? 0|z|Rx+ x(n) 0 n n 2 Re[ ]zIm [ ]jzxzR????時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 41 解： 111101( ) ( 1 )( ) ( ) 111n n n nnnnnnnX z b u n Z b Zb Z b ZbZ????? ? ? ? ? ????????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???????[例 ] 求序列 的 Z變換及收斂域。 ( ) ( 1 )nx n b u n? ? ? ?收斂域： zb?Re[ ]zIm [ ]jzb時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 42 一些序列的收斂域 雙邊序列 10( ) ( )( ) ( )nnnnnnX z x n zx n z x n z???? ? ?????? ? ? ???????第 二 項(xiàng) 為負(fù)冪次級(jí)數(shù)， 其 收斂域?yàn)?RX|z| 第一項(xiàng)為 z的正冪次級(jí)數(shù)， 其收斂域?yàn)? |z|Rx+ 0 n x xR?xR?Re[ ]zIm [ ]jz時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 43 解： 100011( ) ( )11111n n n n nn n nn n n nnnX z x n Z a Z b Za Z b ZaZ bZ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?????????? ? ?? ? ?????? ? ???[例 ] 求序列 的 Z變換及收斂域。 ,0(),0nnanxnbn? ?? ????收斂域： a z b??時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 44 單位圓上的 Z變換 , 就是抽樣序列的傅里葉變換。 Z變換與序列 FT的關(guān)系 ( ) ( )j jzeX z X e? ?? ?時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 45 Z 反 變 換 11 1( ) [ ( ) ] ( )2nCx n Z X Z X Z Z d Zj????? ?已知 X(Z)及其收斂域 ,反過來(lái)求序列 x(n)的變換 xR?C為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合單圍線 . xR?0 Im[ ]jzRe[ ]zc 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 46 求 Z反變換的方法 一 留數(shù)法 利用 Z反變換的公式和留數(shù)定理 11111( ) R e [ ( ) , ]21( ) R e [ ( ) , ]2nnkcknnmcmX z z dz s X z z zjX z z dz s X z z zj???????????? ???????? 為 c內(nèi)的第 k個(gè)極點(diǎn)， 為 c外的第 m個(gè)極點(diǎn)， Res[ ]表示極點(diǎn)處的留數(shù)。 mzkz時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 47 求 Z反變換的方法 一 留數(shù)法 當(dāng) Zr為 l階 (多重 )極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)： 1111R e [ ( ) , ]1[ ( ) ( ) ]( 1 ) ! rnrllnrlzzs X z z zdz z X z zl d z???? ????當(dāng) Zr為一階極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)： 11R e [ ( ) , ] [ ( ) ( ) ]rnnrr zzs X z z z z z X z z?????時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 48 解： [例 ] 已知 求 Z反變換 2 1( ) , 414( 4 ) ( )4zX z zzz? ? ???1111( ) [ ( ) ] ( )212 ( 4) ( 1 / 4)nCnCx n Z X Z X Z Z dZjZdZj Z Z?????????????111()1 1 14( ) R e [ /( 4 ) ( ) , ] 4 , 114 4 1 544nnnx n s z z z n???? ? ? ? ? ? ? ? ??1）當(dāng) n≥ 1時(shí) , 不會(huì)構(gòu)成極點(diǎn)， 所以這時(shí) C內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn) 因此 1nz ?1 / 4rz ?4xR ? ?1 / 4xR ? ?0 Im[ ]jzRe[ ]zc 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 49 解： [例 ] 已知 求 Z反變換 2 1( ) , 41 4( 4 ) ( )4zX z zzz? ? ???4xR ? ?1 / 4xR ? ?0 Im[ ]jzRe[ ]zc 2） 當(dāng) n≤ 2時(shí)， X(z)zn1中的 zn+1構(gòu)成 n+1階極點(diǎn)。因此 C內(nèi)有極點(diǎn)： z=1/4(一階 ), z=0為 (n+1)階極點(diǎn)；而在 C外僅有 z=4(一階 )這個(gè)極點(diǎn) : 12 11( ) R e [ /( 4 ) ( ) , 4 ] 4 , 24 1 5nnx n s z z z n??? ? ? ? ? ? ? ? ?214 , 115()14 , 215nnnxnn???????? ?? ????因此1111( ) [ ( ) ] ( )212 ( 4 ) ( 1 / 4)nCnCx n Z X Z X Z Z dZjZdZj Z Z????????????時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 50 [例 ] 已知 求 Z反變換 2( ) , 41( 4 ) ( )4zX z zzz???? 解： 4xR ? ?0 Im[ ]jzRe[ ]zc 1121 1 1( ) Re [ /( 4) ( ) , ] Re [ /( 4) ( ) , 4]4 4 41[ 4 4 ] , 115nnnnx n s z z z s z z zn????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1111( ) [ ( ) ] ( )212 ( 4) ( 1 / 4)nCnCx n Z X Z X Z Z dZjZdZj z Z?????????????1）當(dāng) n≥ 1時(shí) , 不會(huì)構(gòu)成極點(diǎn)， 所以這時(shí) C內(nèi)有兩個(gè)一階極點(diǎn) 1/4和 4，因此 1nz ?時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 51 [例 ] 已知 求 Z反變換 2( ) , 41( 4 ) ( )4zX z zzz???? 解： 4xR ? ?0 Im[ ]jzRe[ ]zc 1111( ) [ ( ) ] ( )212 ( 4) ( 1 / 4)nCnCx n Z X Z X Z Z dZjZdZj Z Z?????????????2） 當(dāng) n≤ 2時(shí)， X(z)zn1中的 zn+1構(gòu)成 n+1階極點(diǎn)。因此 C內(nèi)有極點(diǎn)： z=1/4和 4(一階 ), z=0為 (n+1)階極點(diǎn)；而在 C外沒有極點(diǎn) ( ) 0 , 2x n n? ? ?21 [ 4 4 ] , 1() 150 , 2nn nxnn??? ? ? ??? ?? ???因此時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 52 求 Z反變換的方法 二 部分分式展開法 利用表 Z變換對(duì)的公式 01() N mm mA A ZXzZ Z Z Z?????通過查表求得各部分的逆變換，再相加即得到原序列。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 53 解： [例 ] 已知 利用 部分分式法求 Z反變換 11( ) 1 ( 1 2 ) ( 1 0 . 5 ) , 2X z z z z??? ? ? ?211121()( 1 2 ) ( 1 0. 5 ) ( 2) ( 0. 5 )()( 2) ( 0. 5 ) 2 0. 5zXzz z z zAAX z zz z z z z????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?1141()3 2 3 4 1 1 13 1 2 3 1 zzXzzzzz??? ? ? ???? ? ? ???2,412 ( 0. 5 ) , 0() 330 , 0nnznxnn??? ? ? ??? ?? ??又 查表得時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 54 求 Z反變換的方法 三 長(zhǎng)除法 在給定的收斂域內(nèi)，把 X（ Z）展開成冪級(jí)數(shù)， 其系數(shù)就是 x(n) 20 1 2( ) ( ) ( 2 ) ( 1 )( 0 ) ( 1 ) ( 2 )nnX z x n z x z x zx z x z x z??? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ??若收斂域?yàn)?|z|Rx+， x(n)為因果序列， 則 X(z)展成 Z的負(fù)冪級(jí)數(shù)。 若收斂域 |Z|Rx， x(n)必為左邊序列， 主要展成 Z的正冪級(jí)數(shù)。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 55 [例 ] 已知 利用長(zhǎng)除法 求 Z反變換。 2 1( ) , 414( 4 ) ( )4zX z zzz? ? ??? 解： 收斂域?yàn)榄h(huán)狀，極點(diǎn) z=1/4對(duì)應(yīng)因果序列 (負(fù)冪級(jí)數(shù)