【文章內容簡介】 ? ??00π [ ( 2 π ) ( 2 π ) ]rrr? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 cosω0n的 FT 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 0 ω0－ ω0X (ej ω)ωπ2ππ?π2? 時域離散信號的傅里葉變換和該模擬信號的傅里葉變換之間有一定的關系。下面推導這一關系式。 aa? ( ) ( ) ( )nx t x nT t nT??? ? ????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關系 x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT) 采樣得到的時域離散信號和模擬信號的關系 : a? ()xt理想采樣信號 和模擬信號的關系 : 對上式進行傅里葉變換 , 得到 : jaaja? ?( j ) ( ) e d( ) ( ) e dttnX x t tx nT t nT t?????????????? ? ?????????????ja ( ) ( ) e dtnx n T t n T t??? ????? ? ???? ?ja ( ) enTnx n T ???? ? ?? ?j a ( ) e ( ) dnTnx n T t n T t? ?? ????? ? ???? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 令 ω=ΩT，且 x(n)=xa(nT) 得到： ja?( e ) ( j )TXX? ??jas1( e ) ( j j )TkX X kT? ???? ? ????ss2 π2 π FT? ??ja12 π( e ) ( j )kkXXTT? ??? ? ??? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 a12 π( ) [ j( ) ]?? ? ?? ?kkX j XTT??1) 時域離散信號的頻譜也是模擬信號的頻譜周期性延拓，周期為 ，因此由模擬信號進行采樣得到時域離散信號時，同樣要滿足前面推導出的采樣定理，采樣頻率必須大于等于模擬信號最高頻率的 2倍以上，否則也會差生頻域混疊現(xiàn)象，頻率混疊在 Ω s/2附近最嚴重，在數(shù)字域則是在 π 附近最嚴重。 ss2 π2 π FT? ??兩點結論 : 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ?2)計算模擬信號的 FT可以用計算相應的時域離散信號的 FT得到 . ?方法是 : 首先按照采樣定理，以模擬信號最高頻率的兩倍以上頻率對模擬信號進行采樣得到時域離散信號，再通過計算機對該時域離散信號進行 FT，得到它的頻譜函數(shù)，再乘以采樣間隔 T便得到模擬信號的 FT，注意關系式 ω =ΩT 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 按照數(shù)字頻率和模擬頻率之間的關系，在一些文獻中經(jīng)常使用歸一化頻率f′= f/Fs或 Ω ′= Ω /Ω s, ω ′= ω /2π, 因為 f′ 、 Ω ′ 和 ω ′ 都是無量綱量，刻度是一樣的，將 f、 Ω 、 ω 、 f′ 、 Ω ′ 、ω ′ 的定標值對應關系用圖表示。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 － 0 . 5－ 1 0 0 . 5 1－ 0 . 5－ 1 0 0 . 5 1－ 0 . 5－ 1 0 0 . 5 1－ fs2sf?fs ff ′2s??2sf2s?s?s?? ?? ??? ?000 π2ππ?π2?圖 模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標關系 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 xa(t)=cos(2πf0t)， f0=50 Hz以采樣頻率 fs=200 Hz對xa(t)進行采樣 ， 得到采相信號 和時域離散信號 x(n)， 求 xa(t)和 的傅里葉變換以及 x(n)的 FT。 ~ ()axt~ ()axt0002200( ) [ ( ) ]c o s 21[]2[ ( 2 ) ( 2 ) ]aajtj f t j f t jtX j F T x tf te d te e e d tff???? ? ? ? ???????? ?????????? ? ? ? ? ???解： 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 以 fs=200 Hz對 xa(t)進行采樣得到采樣信號 ， ~()axt~0( ) co s ( 2 ) ( )anx t f n T t n T???? ? ???? 的傅里葉變換得到： ~ ()axta aasksskX j F T x tX j jkTk f k fT00( ) [ ( ) ]1()[ ( 2 ) ( 2 ) ]?? ? ? ????? ? ??? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 將采樣信號 轉換成序列 x(n)， 用下式表示： ()aXj? ?x(n)的 FT， 實際上只要將 Ω=ω/T=ωfs代入 ()aXj? ?x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT) 00( ) [ ( 2 2 ) ( 2 2 )]js s s skX e f k f f f k f fT? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 將 fs=200 Hz， f0=50 Hz， 代入上式 ， 求括弧中公式為零時的 ω值 ， ω=2πk177。 π/2， 因此 X(ejω)用下式表示： ( ) [ ( 2 ) ( 2 )]22jkX e k kT? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 在模擬信號系統(tǒng)中，用傅里葉變換進行頻域分析，拉普拉斯變換可作為傅里葉變換的推廣，對信號進行復頻域分析。在時域離散信號和系統(tǒng)Z變換則是其推廣，用以對序列進行復頻域分析。因此 Z變換在數(shù)字信號處理中同樣起著很重要的作用。 序列的 Z變換 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ????????nnznxnxZzX )()]([)(一、 Z變換定義 *實際上，將 x(n)展為 z1的冪級數(shù)。 ??????0)()]([)(nnznxnxZzX雙邊 單邊 Z變換的定義 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 使序列 x(n)的 z變換 X(z)收斂的所有 z值的集合稱作 X(z)的收斂域 . X(z)收斂的充要條件是絕對可和 。 ????????? Mznxnn)(即：二 .收斂域 1).定義 2).收斂條件 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 收斂域為 : ?? ?? xx RzR?xR]R e [ z]I m [ zj?xR第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ()()()PzXzQz? 常用的 Z變換是一個有理函數(shù)，用兩個多項式之比表示： 分子多項式 P(z)的根是 X(z)的零點，分母多項式 Q(z)的根是 X(z)的極點。在極點處 Z變換不存在，因此收斂域中沒有極點，收斂域總是用極點限定其邊界。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 jje( e ) ( ) | zX X z ????????????nnnxnxX ?? jj e)()]([FT)e(三 .傅里葉變換和 Z變換（ ZT）之間的關系 ????????nnznxnxZzX )()]([)(表明：單位圓上的 Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的 Z變換，就以很方便地求出序列的傅里葉變換，條件是收斂域中包含單位圓。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 0 n2 n1 n (n) . . . x ??? ???n,nnn),n(x)n(x其他021????? Znn 0 :0 ,0 21????21)()(nnnnznxzX?????? Z :n ,n 000 21????? Z :n ,n 000 21 序列特性對收斂域的影響 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 0RezImz第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ??????110 nn,nn),n(x)n(x? ??????? ??101)()(nn nnn znxznxx(n) n 0 n1 1 ... 收斂域為 0≤|z|∞ 收斂域為 Rx|z|≤∞ 兩者公共收斂的域為 Rx|z|∞ ?????1)()(nnnznxzX第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 收斂域 ?xR]Re[ z]zI m [j*收斂域一定在模最大的極點所在的圓外 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ?是一種最重要的右邊序列 , 可知斂域為： ??????000n,n),n(x)n(x???? zR x因果序列 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ???????? ??210)()(nnnnn znxznx ??????22,0),()(nnnnnxnxx(n) 0 n n2 ???? xRz0收斂域為??? xRz0公共收斂域為收斂域為 0|z|≤∞ ??????2)()(nnnznxzX第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ]R e [ z]I m [ zj?? ? xRz*收斂域一定在模最小的極點所在的圓內。 ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ??????0n,00n),n(x)n(x反因果序列 ?? xRz公共收斂域為第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ???????????????? ???01n nnnnn z)n(xz)n(xz)n(x)z(X 0 n ??X(n) ?? xRz收斂域為 ??? xRz0收斂域為當 RxRx+時，其收斂域為 : ?? ?? xx RzR第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ?xR]R e [ z]I m [ zj?xR第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 1)()]([ 0 ????? ?????? ZZnnZ nn其收斂域應包括 即 充滿 整個 Z平面。 ,0 ??? zz,z ???0)()( nnx ??[例 ] 求序列 的 Z變換及收斂域。 021 ?? nn 解：這相當 時的有限長序列， 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ?? nnnnnnnnn)az()az(az)az(zaz)n(ua)z(X12110101 ?????????????????????????當 時，這是無窮 遞縮 等比級數(shù)。 az ?外收斂。為極點，在圓。azazazzazqaS,azq???????????111111)()( nuanx n?[例 ] 求序列