【文章內(nèi)容簡介】 ? ??00π [ ( 2 π ) ( 2 π ) ]rrr? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 cosω0n的 FT 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 0 ω0－ ω0X (ej ω)ωπ2ππ?π2? 時(shí)域離散信號的傅里葉變換和該模擬信號的傅里葉變換之間有一定的關(guān)系。下面推導(dǎo)這一關(guān)系式。 aa? ( ) ( ) ( )nx t x nT t nT??? ? ????第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 時(shí)域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關(guān)系 x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT) 采樣得到的時(shí)域離散信號和模擬信號的關(guān)系 : a? ()xt理想采樣信號 和模擬信號的關(guān)系 : 對上式進(jìn)行傅里葉變換 , 得到 : jaaja? ?( j ) ( ) e d( ) ( ) e dttnX x t tx nT t nT t?????????????? ? ?????????????ja ( ) ( ) e dtnx n T t n T t??? ????? ? ???? ?ja ( ) enTnx n T ???? ? ?? ?j a ( ) e ( ) dnTnx n T t n T t? ?? ????? ? ???? ?第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 令 ω=ΩT，且 x(n)=xa(nT) 得到： ja?( e ) ( j )TXX? ??jas1( e ) ( j j )TkX X kT? ???? ? ????ss2 π2 π FT? ??ja12 π( e ) ( j )kkXXTT? ??? ? ??? ?第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 a12 π( ) [ j( ) ]?? ? ?? ?kkX j XTT??1) 時(shí)域離散信號的頻譜也是模擬信號的頻譜周期性延拓，周期為 ，因此由模擬信號進(jìn)行采樣得到時(shí)域離散信號時(shí)，同樣要滿足前面推導(dǎo)出的采樣定理，采樣頻率必須大于等于模擬信號最高頻率的 2倍以上，否則也會(huì)差生頻域混疊現(xiàn)象，頻率混疊在 Ω s/2附近最嚴(yán)重，在數(shù)字域則是在 π 附近最嚴(yán)重。 ss2 π2 π FT? ??兩點(diǎn)結(jié)論 : 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ?2)計(jì)算模擬信號的 FT可以用計(jì)算相應(yīng)的時(shí)域離散信號的 FT得到 . ?方法是 : 首先按照采樣定理，以模擬信號最高頻率的兩倍以上頻率對模擬信號進(jìn)行采樣得到時(shí)域離散信號，再通過計(jì)算機(jī)對該時(shí)域離散信號進(jìn)行 FT，得到它的頻譜函數(shù)，再乘以采樣間隔 T便得到模擬信號的 FT，注意關(guān)系式 ω =ΩT 。 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 按照數(shù)字頻率和模擬頻率之間的關(guān)系，在一些文獻(xiàn)中經(jīng)常使用歸一化頻率f′= f/Fs或 Ω ′= Ω /Ω s, ω ′= ω /2π, 因?yàn)?f′ 、 Ω ′ 和 ω ′ 都是無量綱量，刻度是一樣的，將 f、 Ω 、 ω 、 f′ 、 Ω ′ 、ω ′ 的定標(biāo)值對應(yīng)關(guān)系用圖表示。 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 － 0 . 5－ 1 0 0 . 5 1－ 0 . 5－ 1 0 0 . 5 1－ 0 . 5－ 1 0 0 . 5 1－ fs2sf?fs ff ′2s??2sf2s?s?s?? ?? ??? ?000 π2ππ?π2?圖 模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 xa(t)=cos(2πf0t)， f0=50 Hz以采樣頻率 fs=200 Hz對xa(t)進(jìn)行采樣 ， 得到采相信號 和時(shí)域離散信號 x(n)， 求 xa(t)和 的傅里葉變換以及 x(n)的 FT。 ~ ()axt~ ()axt0002200( ) [ ( ) ]c o s 21[]2[ ( 2 ) ( 2 ) ]aajtj f t j f t jtX j F T x tf te d te e e d tff???? ? ? ? ???????? ?????????? ? ? ? ? ???解： 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 以 fs=200 Hz對 xa(t)進(jìn)行采樣得到采樣信號 ， ~()axt~0( ) co s ( 2 ) ( )anx t f n T t n T???? ? ???? 的傅里葉變換得到： ~ ()axta aasksskX j F T x tX j jkTk f k fT00( ) [ ( ) ]1()[ ( 2 ) ( 2 ) ]?? ? ? ????? ? ??? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 將采樣信號 轉(zhuǎn)換成序列 x(n)， 用下式表示： ()aXj? ?x(n)的 FT， 實(shí)際上只要將 Ω=ω/T=ωfs代入 ()aXj? ?x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT) 00( ) [ ( 2 2 ) ( 2 2 )]js s s skX e f k f f f k f fT? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 將 fs=200 Hz， f0=50 Hz， 代入上式 ， 求括弧中公式為零時(shí)的 ω值 ， ω=2πk177。 π/2， 因此 X(ejω)用下式表示： ( ) [ ( 2 ) ( 2 )]22jkX e k kT? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 在模擬信號系統(tǒng)中，用傅里葉變換進(jìn)行頻域分析，拉普拉斯變換可作為傅里葉變換的推廣，對信號進(jìn)行復(fù)頻域分析。在時(shí)域離散信號和系統(tǒng)Z變換則是其推廣，用以對序列進(jìn)行復(fù)頻域分析。因此 Z變換在數(shù)字信號處理中同樣起著很重要的作用。 序列的 Z變換 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ????????nnznxnxZzX )()]([)(一、 Z變換定義 *實(shí)際上，將 x(n)展為 z1的冪級數(shù)。 ??????0)()]([)(nnznxnxZzX雙邊 單邊 Z變換的定義 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 使序列 x(n)的 z變換 X(z)收斂的所有 z值的集合稱作 X(z)的收斂域 . X(z)收斂的充要條件是絕對可和 。 ????????? Mznxnn)(即：二 .收斂域 1).定義 2).收斂條件 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 收斂域?yàn)?: ?? ?? xx RzR?xR]R e [ z]I m [ zj?xR第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ()()()PzXzQz? 常用的 Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示： 分子多項(xiàng)式 P(z)的根是 X(z)的零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式 Q(z)的根是 X(z)的極點(diǎn)。在極點(diǎn)處 Z變換不存在，因此收斂域中沒有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 jje( e ) ( ) | zX X z ????????????nnnxnxX ?? jj e)()]([FT)e(三 .傅里葉變換和 Z變換（ ZT）之間的關(guān)系 ????????nnznxnxZzX )()]([)(表明：單位圓上的 Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的 Z變換，就以很方便地求出序列的傅里葉變換，條件是收斂域中包含單位圓。 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 0 n2 n1 n (n) . . . x ??? ???n,nnn),n(x)n(x其他021????? Znn 0 :0 ,0 21????21)()(nnnnznxzX?????? Z :n ,n 000 21????? Z :n ,n 000 21 序列特性對收斂域的影響 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 0RezImz第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ??????110 nn,nn),n(x)n(x? ??????? ??101)()(nn nnn znxznxx(n) n 0 n1 1 ... 收斂域?yàn)?0≤|z|∞ 收斂域?yàn)? Rx|z|≤∞ 兩者公共收斂的域?yàn)?Rx|z|∞ ?????1)()(nnnznxzX第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 收斂域 ?xR]Re[ z]zI m [j*收斂域一定在模最大的極點(diǎn)所在的圓外 。 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ?是一種最重要的右邊序列 , 可知斂域?yàn)椋? ??????000n,n),n(x)n(x???? zR x因果序列 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ???????? ??210)()(nnnnn znxznx ??????22,0),()(nnnnnxnxx(n) 0 n n2 ???? xRz0收斂域?yàn)??? xRz0公共收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?0|z|≤∞ ??????2)()(nnnznxzX第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ]R e [ z]I m [ zj?? ? xRz*收斂域一定在模最小的極點(diǎn)所在的圓內(nèi)。 ?第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ??????0n,00n),n(x)n(x反因果序列 ?? xRz公共收斂域?yàn)榈?2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ???????????????? ???01n nnnnn z)n(xz)n(xz)n(x)z(X 0 n ??X(n) ?? xRz收斂域?yàn)???? xRz0收斂域?yàn)楫?dāng) RxRx+時(shí)，其收斂域?yàn)?: ?? ?? xx RzR第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ?xR]R e [ z]I m [ zj?xR第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 1)()]([ 0 ????? ?????? ZZnnZ nn其收斂域應(yīng)包括 即 充滿 整個(gè) Z平面。 ,0 ??? zz,z ???0)()( nnx ??[例 ] 求序列 的 Z變換及收斂域。 021 ?? nn 解：這相當(dāng) 時(shí)的有限長序列， 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ?? nnnnnnnnn)az()az(az)az(zaz)n(ua)z(X12110101 ?????????????????????????當(dāng) 時(shí)，這是無窮 遞縮 等比級數(shù)。 az ?外收斂。為極點(diǎn)，在圓。azazazzazqaS,azq???????????111111)()( nuanx n?[例 ] 求序列