離散時間隨機信號概述(編輯修改稿)
2025-02-07 13:46 本頁面
【文章內容簡介】 意義。所以，功率譜實際上是指功率密度譜，有時簡稱為譜。 (2)實平穩(wěn)隨機過程的功率譜是非負的，即 (3)實平穩(wěn)隨機過程的功率譜是實函數，即 式中， *號表示復共軛。 (4)實平穩(wěn)隨機過程的功率譜是 ω的偶函數，即 從變換域的觀點看，相關函數是一座橋梁：時域 (序列 )→ 相關域(自相關函數 ) → 頻域 (自功率譜 )。自相關函數將無限能量序列轉變?yōu)橛邢弈芰啃蛄?，將隨機序列轉變?yōu)榇_定性序列，從而為譜分析鋪平了道路。但是，在這過程中失去了相位信息。所以，從頻譜可以恢復出原時域信號，但從自功率譜不能恢復出原隨機序列，只能得出序列的統(tǒng)計特性 Rxx(m)。 類似地，可以定義兩個平穩(wěn)隨機過程 {xn}和 {yn}的互功率譜： 或 根據互相關序列的性質 3(式 ())，可以得出互功率譜具有以下性質： 自功率譜是實偶的，互功率譜卻是復函數。因為 Rxy(m)既不是偶函數，也不是奇函數，不像 Rxx(m)是實偶的。相關函數和功率譜函數分別從相關域和頻域這兩個側面去描述隨機序列，它們反映的都是隨機序列的統(tǒng)計特性，可用于信號檢測、時延分析，數字系統(tǒng)設計和分析、故障診斷，信號譜分析等。 例 假設已知零均值白噪聲隨機過程的自相關序列為Rxx(m)=σ2xδ(m)，這里 σ2x是隨機過程的方差。求該隨機過程的功率譜。 解：由式 ()求得 即白噪聲的功率譜是常數，并等于隨機過程的方差。 例 相位為平穩(wěn)隨機過程的正弦序列仍然是一個平穩(wěn)隨機過程，它的自相關序列為 式中， A是正弦序列的振幅， ω0是正弦序列的角頻率。求該正弦序列的功率譜。 解：由式 ()可以計算得到 例 設平穩(wěn)隨機過程的自相關序列為 求該隨機過程的功率譜。 解： 以上 3個例子中得到的功率譜都是實的、非負的偶函數。 離散隨機信號通過線性非移變系統(tǒng) 在數字信號處理的廣泛應用領域中，常常需要用線性移不變系統(tǒng)對信號進行濾波或處理。這些信號通常都是遍歷性平穩(wěn)隨機過程的取樣序列。本節(jié)討論當這樣的離散隨機信號作用于一個線性移不變系統(tǒng)時，系統(tǒng)所產生的響應，具體要討論的是系統(tǒng)輸出的數字特征 (均值、方差、自相關序列和功率譜 )與輸入的數字特征之間的關系。 設線性非移變系統(tǒng)的沖激響應用 h(n)表示，加在系統(tǒng)輸入端的離散隨機信號 x(n)是一個平穩(wěn)隨機過程 (輸入隨機過程 )的一個取樣序列，系統(tǒng)產生的輸出信號 (響應 )y(n)也是一個離散隨機信號，把它看成是另一隨機過程 (輸出隨機過程 )的一個取樣序列。 不管 x(n)是確定性的還是隨機性的信號，對于系統(tǒng)來說是沒有區(qū)別的，系統(tǒng)的沖激響應、輸入信號和輸出響應之間總是存在著下列關系： 設輸入隨機過程的均值、方差、自相關序列和功率譜分別為 mx、σ2x、 Rxx(m)和 Sxx(ejω)，現在來計算輸出隨機過程的相應的特征參數，并討論輸入隨機過程與輸出隨機過程之間這些參數的關系。 系統(tǒng)的輸出響應 y(n)是輸出隨機過程 {yn}的一個取樣序列，根據遍歷性假設，可以由 y(n)求出 {yn}的均值為 (1)輸出隨機過程 y(n)的均值 my 由于輸入隨機過程是平穩(wěn)隨機過程，故上式中的 E[x(nk)]等于 mx，于是上式化為 式中， H(ej0)是系統(tǒng)的頻率特性在 ω=0時的值。因此，輸出隨機過程的均值是與時間 n無關的一個常量，它與輸入隨機過程的均值 mx成正比例關系，比例常數是系統(tǒng)頻率特性在零頻率上的取值。 (2)輸出隨機過程的自相關序列 Ryy(n, n+m) 由該式看出輸出隨機過程的自相關序列只與時間差 m有關，而與時間起點的選取 (即 n的選取 )無關，故可將 Ryy(n, n+m)表示成 Ryy(m)，上式遂化為 () 綜合以上討論可看出，輸出隨機過程的均值為常數，其自相關序列只與時間差有關，故它是一個平穩(wěn)隨機過程。 令 rk＝ l，則式 ()可寫成 () 式中， () 它是系統(tǒng)沖激響應 h(n)的 (確定性 )自相關序列。由式 ()可以看出，系統(tǒng)輸出隨機過程的自相關序列，等于輸入隨機過程的自相關序列與系統(tǒng)沖激響應的自相關序列的線性卷積。 由于在確定性離散時間信號作用于線性非移
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