離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)概述(編輯修改稿)
2025-02-07 13:46 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 意義。所以，功率譜實(shí)際上是指功率密度譜，有時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)為譜。 (2)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜是非負(fù)的，即 (3)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜是實(shí)函數(shù)，即 式中， *號(hào)表示復(fù)共軛。 (4)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜是 ω的偶函數(shù)，即 從變換域的觀(guān)點(diǎn)看，相關(guān)函數(shù)是一座橋梁：時(shí)域 (序列 )→ 相關(guān)域(自相關(guān)函數(shù) ) → 頻域 (自功率譜 )。自相關(guān)函數(shù)將無(wú)限能量序列轉(zhuǎn)變?yōu)橛邢弈芰啃蛄?，將隨機(jī)序列轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定性序列，從而為譜分析鋪平了道路。但是，在這過(guò)程中失去了相位信息。所以，從頻譜可以恢復(fù)出原時(shí)域信號(hào)，但從自功率譜不能恢復(fù)出原隨機(jī)序列，只能得出序列的統(tǒng)計(jì)特性 Rxx(m)。 類(lèi)似地，可以定義兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 {xn}和 {yn}的互功率譜： 或 根據(jù)互相關(guān)序列的性質(zhì) 3(式 ())，可以得出互功率譜具有以下性質(zhì)： 自功率譜是實(shí)偶的，互功率譜卻是復(fù)函數(shù)。因?yàn)?Rxy(m)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)，不像 Rxx(m)是實(shí)偶的。相關(guān)函數(shù)和功率譜函數(shù)分別從相關(guān)域和頻域這兩個(gè)側(cè)面去描述隨機(jī)序列，它們反映的都是隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)特性，可用于信號(hào)檢測(cè)、時(shí)延分析，數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析、故障診斷，信號(hào)譜分析等。 例 假設(shè)已知零均值白噪聲隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)序列為Rxx(m)=σ2xδ(m)，這里 σ2x是隨機(jī)過(guò)程的方差。求該隨機(jī)過(guò)程的功率譜。 解：由式 ()求得 即白噪聲的功率譜是常數(shù)，并等于隨機(jī)過(guò)程的方差。 例 相位為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的正弦序列仍然是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，它的自相關(guān)序列為 式中， A是正弦序列的振幅， ω0是正弦序列的角頻率。求該正弦序列的功率譜。 解：由式 ()可以計(jì)算得到 例 設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)序列為 求該隨機(jī)過(guò)程的功率譜。 解： 以上 3個(gè)例子中得到的功率譜都是實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)。 離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性非移變系統(tǒng) 在數(shù)字信號(hào)處理的廣泛應(yīng)用領(lǐng)域中，常常需要用線(xiàn)性移不變系統(tǒng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波或處理。這些信號(hào)通常都是遍歷性平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的取樣序列。本節(jié)討論當(dāng)這樣的離散隨機(jī)信號(hào)作用于一個(gè)線(xiàn)性移不變系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)，具體要討論的是系統(tǒng)輸出的數(shù)字特征 (均值、方差、自相關(guān)序列和功率譜 )與輸入的數(shù)字特征之間的關(guān)系。 設(shè)線(xiàn)性非移變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)用 h(n)表示，加在系統(tǒng)輸入端的離散隨機(jī)信號(hào) x(n)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 (輸入隨機(jī)過(guò)程 )的一個(gè)取樣序列，系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出信號(hào) (響應(yīng) )y(n)也是一個(gè)離散隨機(jī)信號(hào)，把它看成是另一隨機(jī)過(guò)程 (輸出隨機(jī)過(guò)程 )的一個(gè)取樣序列。 不管 x(n)是確定性的還是隨機(jī)性的信號(hào)，對(duì)于系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是沒(méi)有區(qū)別的，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)、輸入信號(hào)和輸出響應(yīng)之間總是存在著下列關(guān)系： 設(shè)輸入隨機(jī)過(guò)程的均值、方差、自相關(guān)序列和功率譜分別為 mx、σ2x、 Rxx(m)和 Sxx(ejω)，現(xiàn)在來(lái)計(jì)算輸出隨機(jī)過(guò)程的相應(yīng)的特征參數(shù)，并討論輸入隨機(jī)過(guò)程與輸出隨機(jī)過(guò)程之間這些參數(shù)的關(guān)系。 系統(tǒng)的輸出響應(yīng) y(n)是輸出隨機(jī)過(guò)程 {yn}的一個(gè)取樣序列，根據(jù)遍歷性假設(shè)，可以由 y(n)求出 {yn}的均值為 (1)輸出隨機(jī)過(guò)程 y(n)的均值 my 由于輸入隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，故上式中的 E[x(nk)]等于 mx，于是上式化為 式中， H(ej0)是系統(tǒng)的頻率特性在 ω=0時(shí)的值。因此，輸出隨機(jī)過(guò)程的均值是與時(shí)間 n無(wú)關(guān)的一個(gè)常量，它與輸入隨機(jī)過(guò)程的均值 mx成正比例關(guān)系，比例常數(shù)是系統(tǒng)頻率特性在零頻率上的取值。 (2)輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)序列 Ryy(n, n+m) 由該式看出輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)序列只與時(shí)間差 m有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)的選取 (即 n的選取 )無(wú)關(guān)，故可將 Ryy(n, n+m)表示成 Ryy(m)，上式遂化為 () 綜合以上討論可看出，輸出隨機(jī)過(guò)程的均值為常數(shù)，其自相關(guān)序列只與時(shí)間差有關(guān)，故它是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 令 rk＝ l，則式 ()可寫(xiě)成 () 式中， () 它是系統(tǒng)沖激響應(yīng) h(n)的 (確定性 )自相關(guān)序列。由式 ()可以看出，系統(tǒng)輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)序列，等于輸入隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)序列與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的自相關(guān)序列的線(xiàn)性卷積。 由于在確定性離散時(shí)間信號(hào)作用于線(xiàn)性非移
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