【文章內(nèi)容簡介】 對抽樣頻率 fs的相對頻率乘以 2π ，或說是連續(xù)正弦信號的角頻率 Ω 0對抽樣頻率 fs 的相對頻率。天津師范大學計算機與信息工程學院 數(shù)字頻率的特點：（ 1） ω是一個連續(xù)取值的量；（ 2） ω的量綱為一種角度的量綱單位：弧度（ rad）。它表示序列在采樣間隔 T內(nèi)正弦信號變化的角度，表示了信號相對變化的快慢程度；（ 3） 序列對于 ω是以 2π為周期的，或者說， ω的獨立取值范圍為 [0,2π)或 [π,π)。天津師范大學計算機與信息工程學院正弦型序列是周期序列的條件為：（有理數(shù)）則當 N 個抽樣間隔等于 k 個連續(xù)時間信號的周期時，由正弦信號抽樣得到的正弦序列是周期序列。天津師范大學計算機與信息工程學院 用單位脈沖序列表示任意序列 167。 任何序列都可以用單位脈沖序列的移位加權和來表示，任何序列都可以用單位脈沖序列的移位加權和來表示，即即式中式中天津師范大學計算機與信息工程學院167。 例如如圖序列，可以表示成天津師范大學計算機與信息工程學院167。 x(n) 可看成是可看成是 x(n)和和 δ(n)的卷積和，即的卷積和，即167。 例例 天津師范大學計算機與信息工程學院 線性移不變系統(tǒng)　 系統(tǒng)定義 數(shù)字信號處理的任何處理都是依靠系統(tǒng)來完成的 ,所以系統(tǒng)是數(shù)字信號處理的核心，系統(tǒng)一般包括系統(tǒng)硬件和系統(tǒng)所完成的處理算法。 系統(tǒng)在數(shù)學上定義為將輸入序列 x(n)映射成輸出序列 y(n)的唯一性變換或運算。這種映射是廣義的，實際上表示的是一種具體的處理，或是變換，或是濾波。天津師范大學計算機與信息工程學院　系統(tǒng)可以表示為 其中，符號 T[ ]表示系統(tǒng)的映射或處理，可以把T[ ]簡稱為系統(tǒng)。 系統(tǒng)的圖形表示如下圖所示，輸入 x(n)稱為系統(tǒng)的激勵，輸出 y(n)稱為系統(tǒng)的響應。由于它們均為離散時間信號，將系統(tǒng) T[ ]稱為離散時間系統(tǒng)或時域離散系統(tǒng)。天津師范大學計算機與信息工程學院　 線性離散時間系統(tǒng)　　 滿足疊加原理的系統(tǒng)，或滿足 齊次性 和 可加　　性 的系統(tǒng)稱為 線性系統(tǒng) 。 　 設　　 y1(n)=T [x1(n)]， y2(n)=T [x2(n)]　對任意常數(shù) a,b，若 　 T [ax1(n)+bx2(n)]=aT [x1(n)]+bT [x2(n)] 　　　　　　 =a y1(n)+b y2(n)　則稱 T[ ]為 線性離散時間系統(tǒng) 。天津師范大學計算機與信息工程學院 　　　推廣到一般情況，設　　　　　 yk(n) = T [xk(n)] ， k=1， 2， ...N　線性系統(tǒng)滿足 1≤k≤N 　 線性系統(tǒng)的特點是多個輸入的線性組合的系統(tǒng)輸出等于各輸入單獨作用的輸出的線性組合。天津師范大學計算機與信息工程學院[例 ] 證明由線性方程表示的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。證明 設 所以 ， 該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng) 。天津師范大學計算機與信息工程學院　 非時變離散時間系統(tǒng) 若滿足下列條件，系統(tǒng)稱為非時變（非移變）系統(tǒng)，或時不變（移不變）系統(tǒng) 。 設 　 y(n) = T [x(n)] 　對任意整數(shù) k,有 　 y(nk)=T [x(nk)] 即系 統(tǒng) 的映射 T [ ]不隨 時間變 化， 只要 輸 入x(n)是相同的，無 論 何 時進 行激勵， 輸 出 y(n)總是相同的 ， 這 正是系 統(tǒng) 非 時變 性的特征。 天津師范大學計算機與信息工程學院　　下圖形象說明了系統(tǒng)非時變性的概念。天津師范大學計算機與信息工程學院[例 ] 設系統(tǒng)的映射 y = T [x(n)] = nx(n) ，判斷系統(tǒng)的線性和時不變性。解 設 y1(n) = nx1(n), y2(n) =nx2(n) x(n) = a1x1(n)+a2x2(n) 　 則 T [x(n)] = nx(n) = na1x1(n)+na2x2(n) 　　　　　　　　 = a1y1(n)+ a2y2(n) 　 所以，系統(tǒng)為線性系統(tǒng)?！　≡O y(n) = nx(n), x1(n) = x(nk) 　　 y1(n) = nx1(n) = nx(nk) 　 而 y(nk) = (nk)x(nk)≠ y1(n)　所以，系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。天津師范大學計算機與信息工程學院 線性時不變離散系統(tǒng) 　　　 定義 同時具備 線性 和 時不變性 的系統(tǒng)稱作線 性非時變系統(tǒng)或線性時不變系統(tǒng)?！　　∷闹匾饬x在于，系統(tǒng)的處理過程可以統(tǒng)一采用這種系統(tǒng)的特征描述之一 —— 單位取樣響應 ，以一種相同的運算方式 —— 卷積運算 ，進行統(tǒng)一的表示?！　　∪魏我粋€信號可以表示成單位取樣序列的線性組合，即天津師范大學計算機與信息工程學院 系統(tǒng)對 的響應為 設系統(tǒng)對單位取樣序列 的響應為 ， 即 稱為系統(tǒng)的 “單位取樣響應 ”，它是描述系統(tǒng)的一個非常重要的信號。天津師范大學計算機與信息工程學院 根據(jù)時不變性，有 則系統(tǒng)輸出 y(n)可表示為 上式表明：當線性非時變系統(tǒng)的單位取樣響應h(n)確定時，系統(tǒng)對任何一個輸入 x(n)的響應 y(n)就確定了， y(n)可以表示成 x(n)和 h(n)之間的一種簡單的運算形式。將上式的運算方式稱作 “離散卷積 ”，簡稱 “卷積 ”，采用符號 “*”表示，即天津師范大學計算機與信息工程學院 離散卷積的運算規(guī)律 (1) 交換律 h(n)*x(n) = x(n)*h(n) 它的意義可以解釋為，如果互換系統(tǒng)的單位取樣響應 h(n)和輸入 x(n)，系統(tǒng)的輸出保持不變。 x(n)h(n) y(n) = h(n) x(n) y(n)天津師范大學計算機與信息工程學院交換律證明：令 nm=k（ m=nk），則天津師范大學計算機與信息工程學院 (2) 結合律 x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h2(n)*h1(n) =x(n)*[h2(n)*h1(n)] 它的意義可以解釋為一種級聯(lián)系統(tǒng)結構，級聯(lián)順序可以交換，或系統(tǒng)級聯(lián)可以等效為一個系統(tǒng)，輸出保持不變。x(n) y(n)h1(n) h2(n)x(n) y(n)h2(n) h1(n)x(n) y(n)h1(n)*h2(n)天津師范大學計算機與信息工程學院結合律證明：令 km=r（ k=r+m），則天津師范大學計算機與信息工程學院 (3) 分配律 x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) = x(n)*[h1(n)+ h2(n)] 它的意義可以解釋為一個并聯(lián)系統(tǒng)結構，或并聯(lián)系統(tǒng)可以等效為一個系統(tǒng)，輸出保持不變。 x(n) y(n)h1(n)+h2(n)h1(n)h2(n)x(n) y(n)天津師范大學計算機與信息工程學院　 分配律 證明 ：　　　天津師范大學計算機與信息工程學院 (4) 與 δ(n)卷積的不變性 x(n)*δ(n) = x(n) 它的意義可以解釋為輸入通過一個零相位的全通系統(tǒng)。 (5) 與 δ(nk)卷積的移位性 x(n)*δ(nk) = x(nk) 它的意義可以解釋為輸入通過一個線性相位的全通系統(tǒng)。天津師范大學計算機與信息工程學院 離散卷積的計算 卷積的計算一般采用兩種方法： 解析法 和圖解法 ，或是兩種方法的結合。 [例 ] 設線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應和輸入序列如下圖所示，畫出輸出的波形。天津師范大學計算機與信息工程學院解： （ 1）采用 圖解法 。 圖 解法的 過 程如 圖 。天津師范大學計算機與信息工程學院 圖 例 天津師范大學計算機與信息工程學院（ 2） 采用