【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 卻保持不變 。 ? m 為 任意常整數(shù) ? 時(shí)不變 系統(tǒng)也稱為 移不變 系統(tǒng) 52 例：證明一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng) ? 例 試分析下列系統(tǒng)的時(shí)不變性 ? (1) y(n)= 2x(n)3， ? (2) y(n)= x(Mn)，其中 M為正整數(shù)。 ? 二者相等，具有時(shí)不變性 ? 時(shí)變系統(tǒng) 53 單位脈沖響應(yīng)與卷積和 ? 單位取樣響應(yīng) (單位脈沖響應(yīng) ) ? h(n)=T [δ(n)] ? 線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入為 δ(n)時(shí)對(duì)應(yīng)的輸出 ? 線性時(shí)不變系統(tǒng) 都可以用它的單位脈沖響應(yīng) h(n)來(lái)表征 ? 已知 h(n) 可得到線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì) 任意輸入 的輸出 54 推導(dǎo)卷積和表達(dá)式 ? δ(n)表示 x(n) ( ) ( ) ( )mx n x m n m???? ? ?? ?( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]my n T x n T x m n m???? ? ??? ?( ) ( ) [ ( ) ]my n x m T n m???? ? ?? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )mn x m h n m x n h n??? ? ?? ? ??? 系統(tǒng)輸出 ? 疊加原理 ? 時(shí)不變性 ? 卷積和表達(dá)式 : 表示 線性時(shí)不變系統(tǒng) 的 輸出 等于 輸入序列 和 單位脈沖響應(yīng) 的 卷積 。 55 線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì) ? 交換律 ? 結(jié)合律 ? 分配律 ? 可以推廣到 多個(gè)系統(tǒng) 的情況，由卷積和的定義可以很容易加以證明。 56 因果系統(tǒng)和穩(wěn)定系統(tǒng) ? 因果系統(tǒng) 系統(tǒng)某時(shí)刻的輸出 y(n)只取決于 此時(shí)刻 x(n)和 以前 的輸入 x(n1)， x(n2)， … ，而和此時(shí)刻 以后 的輸入x(n+1)， x(n+2)， … 無(wú)關(guān) 。 ? 先因后果 因果系統(tǒng)的 響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)于外加輸入之前 。 ? 非因果系統(tǒng) 當(dāng)前的輸出還取決于 未來(lái)的輸入 ，不符合因果關(guān)系。 57 因果性的充分必要條件 線性時(shí)不變系統(tǒng)具有因果性的充要條件 h(n)= 0， n＜ 0 證明 充分條件 ? 若 n＜ 0時(shí)， h(n)= 0，則 ? 因而 n0時(shí)刻的輸出 ? 可見(jiàn) ， y(n0)只與 m≤n0時(shí)的 x(m)有關(guān)，因而是因果系統(tǒng)。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nmmy n x m h n m x m h n m??? ? ? ? ? ?????000( ) ( ) ( )nmy n x m h n m? ? ?? ?58 因果條件證明 證明 利用 反證法 證明 必要條件 ? 假設(shè)因果系統(tǒng)， n＜ 0時(shí) h(n)≠ 0，則 ? 在所設(shè)條件下，第二個(gè)求和式中至少有一項(xiàng)不為零， y(n)將至少和 m＞ n時(shí)的某一個(gè) x(n)值有關(guān)，這不符合因果性，假設(shè)不成立。 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )mnm m ny n x m h n mx m h n m x m h n m?? ? ??? ? ? ? ???????59 例： 判斷 因果系統(tǒng) ? 例 判斷差分系統(tǒng)的因果性。 ? (1) 前向差分系統(tǒng) : y(n)= x(n+1) x(n)。 ? (2) 后向差分系統(tǒng) : y(n)= x(n) x(n1) 。 解 ? 因?yàn)榍跋虿罘窒到y(tǒng)的 y(n)決定于 x(n+1)，故系統(tǒng)為非因果的。 ? 而后向差分系統(tǒng)定義為 y(n)= x(n) x(n1)，顯然是因果的。 60 討論因果系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)性 ? 因果系統(tǒng)是 物理可實(shí)現(xiàn) 的系統(tǒng)；非因果系統(tǒng)是 不可實(shí)現(xiàn) 的系統(tǒng)。 ? 在具有 較大延時(shí) 的情況下，可以用 因果系統(tǒng)去逼近非因果 系統(tǒng)。 ? 例如語(yǔ)音處理、氣象、地球物理學(xué)等。 ? 非因果系統(tǒng)在 理論上 是 存在 的。 ? 例如，理想低通濾波器以及理想微分器都是非因果系統(tǒng)，但它們是不可實(shí)現(xiàn)的。 61 穩(wěn)定系統(tǒng) ? 穩(wěn)定系統(tǒng) ? 系統(tǒng)的 每個(gè)有界 輸入， 對(duì)應(yīng) 產(chǎn)生的 輸出都有界 。 ? 如果輸入滿足 |x(n)|≤M＜ +∞(M為正常數(shù) )，有輸出|y(n)|≤P＜ +∞ (P為正常數(shù) ) 。 ? 判斷系統(tǒng)不穩(wěn)定 只要找出 一個(gè)特別的有界輸入 ，對(duì)應(yīng)的輸出是無(wú)界的，則該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。 ? 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定 必須證明 所有有界輸入 ，其輸出都是有界的。 62 穩(wěn)定性的充分必要條件 線性時(shí)不變系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的充要條件是 其單位脈沖響應(yīng)絕對(duì)可和 ，即 證明 充分條件 ? 若式成立，對(duì)于所有 n都有 |x(n)|≤M，得 ? 即輸出 y(n)有界，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 | ( ) |nhn??? ? ??? ＜ +| ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) || ( ) |M | ( ) |mmmy n h m x n m h m x n mhm? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ??????≤≤＜63 穩(wěn)定條件證明 證明 利用 反證法 證明 必要條件 ? 假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，但單位脈沖響應(yīng)不絕對(duì)可和 ? 定義一個(gè)有界輸入 | ( ) |nhn??? ? ?? ? ?? 1 , ( ) 0() 1 , ( ) 0hnxn hn??? ? ???≥＜? 計(jì)算輸出，有 ( 0) ( ) ( ) | ( ) | | ( ) |m m my x m h n m h m h m? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 即 y(0)無(wú)界，系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此假設(shè)不成立。 64 例： 判斷 穩(wěn)定系統(tǒng) ? 例 判斷累加器系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 ? 考慮有界輸入 x(n)= u(n)，累加器的輸出為 ? 雖然 n為有限值時(shí)，系統(tǒng)輸出也為有限值，但對(duì)于所有 n值 (包括 +∞)不存在有限值 P，使得 (n+1)≤P＜ +∞，故系統(tǒng)輸出無(wú)界。 ( ) ( )my n x m??? ? ?? ? 1 , 0( ) ( )0 , 0mnny n u mn??? ? ????? ???≥＜65 例： 判斷 因果穩(wěn)定系統(tǒng) ? 例 已知線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 解 ? 因?yàn)?n＜ 0時(shí)， u(n1)= 1，所以 h(n)≠ 0，故系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。 ? 所以 |a|＞ 1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定， |a|≤1時(shí)不穩(wěn)定。 式中 a為實(shí)常數(shù)，討論其因果性和穩(wěn)定性。 1| | 111, | | 1| ( ) | | | | |, | | 1annn nah n a aa? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ????? ? ? ?????? ? ? ≤? 收斂序列 ：模值隨 n加大而減小，如 |a|＞ 1時(shí) h(n) ； ? 發(fā)散序列 ：模值隨 n加大而加大，如 |a|≤1時(shí) h(n) 。 ? 因?yàn)? 66 線性常系數(shù)差分方程 ? 離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 —差分方程 ? 線性常系數(shù)線性差分方程求解 67 離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 —差分方程 ? 差分方程是描述函數(shù)序列差分之間關(guān)系的方程，由序列及其各階差分進(jìn)行線性疊加組成。 ? 例如，對(duì)于一個(gè)二階差分方程 ? 將▽ = 1D代入方程，得到 ? 展開(kāi)得到二階線性常系數(shù)差分方程 31( ) ( 1 ) ( 2) 3 022y n y n y n? ? ? ? ? ?68 線性常系數(shù)差分方程的一般形式 ? 線性時(shí)不變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ? 式 () 不必是因果。假設(shè)是因果系統(tǒng)，變換得到 ? 線性 ： x(nr)和 y(nk)項(xiàng)都只有一次冪且不存在它們的相乘項(xiàng)，也沒(méi)有相互交叉項(xiàng) 00( ) ( ) ( )NMkrkra y n k b x n r??? ? ???0010( ) ( ) ( ) ( )k rNMa baakry n y n k x n r??? ? ? ? ???? 常系數(shù) ： 決定系統(tǒng)特征的系數(shù)均為常數(shù) ?