【文章內(nèi)容簡介】 或者說系統(tǒng)的輸出隨輸入的移位而相應(yīng)移位但形狀不變，則稱該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)（或稱為移不變系統(tǒng)）。對時不變系統(tǒng)，若 則48X* 信息學(xué)科立體化教材 線性時不變系統(tǒng) 例 證明 所表示的系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。 證明 因為 及 所以 故此系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。 同時具有線性和時不變性的離散時間系統(tǒng)稱為線性時不變（ Linear Time Invariant LTI）離散時間系統(tǒng)，簡稱LTI系統(tǒng)。 49X* 信息學(xué)科立體化教材 單位脈沖響應(yīng)與卷積 設(shè)系統(tǒng)輸入 x(n)=?(n)，系統(tǒng)輸出的初始狀態(tài)為零，這時系統(tǒng)輸出用 h(n)表示，即 h(n)=T[?(n)] 則稱 h(n)為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。也就是說單位脈沖響應(yīng)h(n)是系統(tǒng)對 ?(n)的零狀態(tài)響應(yīng)，它表征了系統(tǒng)的時域特征。 對任意輸入信號 x(n)，系統(tǒng)輸出為 50X* 信息學(xué)科立體化教材 單位脈沖響應(yīng)與卷積 1. 卷積的性質(zhì) (1)交換律 由于卷積與兩卷積序列的次序無關(guān)，故 這說明，對于線性時不變系統(tǒng)，輸入和單位脈沖響應(yīng)兩者互換位置后，輸出保持不變，如圖所示。 y (n)x (n)h (n)y (n)h (n)x (n)=51X* 信息學(xué)科立體化教材 單位脈沖響應(yīng)與卷積 (2)結(jié)合律 可以證明卷積運算服從結(jié)合律，即 這說明，兩個線性時不變系統(tǒng)級聯(lián)后仍構(gòu)成一個線性時不變系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)為原來兩個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的卷積，且與級聯(lián)次序無關(guān)。 52X* 信息學(xué)科立體化教材 單位脈沖響應(yīng)與卷積 (3)分配律 卷積滿足以下關(guān)系： 這說明，并聯(lián)的兩個線性時不變系統(tǒng)可以等效成一個系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)等于原來兩個系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)之和。 53X* 信息學(xué)科立體化教材 單位脈沖響應(yīng)與卷積 2. 卷積的計算 卷積可直接按卷積公式來計算，包括以下 4個步驟。 (1)反褶：先將 x(n)和 h(n)的變量 n換成 m，變成 x(m)和h(m) ，再將 h(m)以縱軸為對稱軸反褶成 h(m) 。 (2)移位：將 h(m)移位 n，得 h(nm) 。當(dāng) n為正數(shù)時，右移 n位；當(dāng) n為負(fù)數(shù)時，左移 n位。 (3)相乘：將 h(nm)和 x(m)的對應(yīng)點值相乘。 (4)求和：將以上所有對應(yīng)點的乘積累加起來，即得y(n) 。 計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮。 54X* 信息學(xué)科立體化教材 單位脈沖響應(yīng)與卷積 例 已知 x(n)和 h(n)分別為 試求 x(n)和 h(n)分段的線性卷積。 解 卷積的圖解表示可見圖。分段計算如下： 55X* 信息學(xué)科立體化教材 單位脈沖響應(yīng)與卷積 (1)當(dāng)時 n1， h(nm)和 x(m)無交疊，相乘處處為零，故 (2)當(dāng) 1?n ?2時， h(nm)和 x(m)有交疊項，從 m=1到m=n，故 (3)當(dāng) 3?n ?5時， h(nm)和 x(m)有交疊項，上限為 3，下限為 n2，故 (4)當(dāng) n?6時， h(nm)和 x(m)無交疊，相乘處處為零，故56X* 信息學(xué)科立體化教材h (1m)13 2 1 0 1 2 mn=10 左移 單位脈沖響應(yīng)與卷積x (m)10 1 2 3 m10 1 2 mh (m) h (0m)12 1 0 1 2 mn=0 反褶h (1m)12 1 0 1 2 mn=10 右移y (n) 30 1 2 3 4 5 6 n57X* 信息學(xué)科立體化教材 單位脈沖響應(yīng)與卷積 3. 用 MATLAB實現(xiàn)序列的卷積 用 MATLAB實現(xiàn)序列卷積的函數(shù)如下： function [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh) % 信號處理的改進(jìn)卷積程序 % [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh) % y = 卷積結(jié)果 % ny = y 的基底 (support) % x = 基底 nx 上的第一個信號 % nx = x 的支架 % h = 基底 nh上的第二個信號 % nh = h 的基底 nyb = nx(1)+nh(1)。 nye = nx(length(x)) + nh(length(h))。 ny = [nyb:nye]。 y = conv(x,h)。 58X* 信息學(xué)科立體化教材 單位脈沖響應(yīng)與卷積 例 用 MATLAB實現(xiàn)例 。 解 MATLAB程序如下： x=[0 1 0]。nx=0:4。 h=[1 1 1 0 0]。 nh=0:4。 [y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh)。 subplot(2,2,1)。stem(nx,x)。title(39。序列 x39。) xlabel(39。n39。)。ylabel(39。x(n)39。)。 subplot(2,2,2)。stem(nh,h)。title(39。序列 h39。) xlabel(39。n39。)。ylabel(39。h(n)39。)。 subplot(2,2,3)。stem(ny,y)。title(39。兩序列卷積 39。) xlabel(39。n39。)。ylabel(39。y(n)39。)。 59X* 信息學(xué)科立體化教材 單位脈沖響應(yīng)與卷積 60X* 信息學(xué)科立體化教材 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 1. 系統(tǒng)的因果性 系統(tǒng)的因果性即系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。如果系統(tǒng) n時刻的輸出取決于 n時刻及 n時刻以前的輸入，而和 n時刻以后的輸入無關(guān)，則該系統(tǒng)是可實現(xiàn)的，是因果系統(tǒng)。如果 n時刻的輸出還和 n時刻以后的輸入有關(guān)，在時間上違背了因果性，系統(tǒng)無法實現(xiàn)，該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。 除了利用因果性的概念判斷系統(tǒng)是否是因果系統(tǒng)外，還可以用系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)判斷。系統(tǒng)具有因果性的充要條件是61X* 信息學(xué)科立體化教材 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 2. 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 穩(wěn)定系統(tǒng)是指有界輸入產(chǎn)生有界輸出（ BIBO）的系統(tǒng)。如果對于輸入序列 x(n)，存在一個不變的正有限值 M，對于所有 n值滿足 則稱該輸入序列是有界的。穩(wěn)定性要求對于每個有界輸入存在一個不變的正有限值 K，對于所有 n值，輸出序列滿足?? 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)絕對可和，用公式表示為 62X* 信息學(xué)科立體化教材 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 例 若一個線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 討論系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。 解 (1)因果性 因為在 n0時， h(n)=0，故此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。 (2)穩(wěn)定性 所以 |a|1時此系統(tǒng)穩(wěn)定， |a|?1時此系統(tǒng)不穩(wěn)定。 63X* 信息學(xué)科立體化教材 線性常系數(shù)差分方程 對于模擬系統(tǒng)，我們知道由微分方程描述系統(tǒng)輸出輸入之間的關(guān)系。對于時域離散系統(tǒng)，則用差分方程描述或研究輸出輸入之間的關(guān)系。對于線性時不變系統(tǒng)，經(jīng)常用的是線性常系數(shù)差分方程。 線性常系數(shù)差分方程的一般形式為 所謂常系數(shù)是指 和 是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)決定的常數(shù)，不隨時間的改變而改變。差分方程的階數(shù)用方程中 y(nk)項中 k的最大值與最小值之差確定。 64X* 信息學(xué)科立體化教材 線性常系數(shù)差分方程 求解線性常系數(shù)差分方程有三種方法，即經(jīng)典解法、遞推方法和 Z變換方法。經(jīng)典解法類似于模擬系統(tǒng)中的微分方程的解法，比較復(fù)雜，在數(shù)字信號處理中很少使用，這里不做介紹。 Z變換方法在后面章節(jié)中學(xué)習(xí)。本章僅介紹遞推方法。 差分方程在給定的輸入和給定的初始條件下，可用遞推迭代的辦法求系統(tǒng)的響應(yīng)。如果輸入是單位脈沖序列?(n)，輸出響應(yīng)就是單位脈沖響應(yīng) h(n)。 65X* 信息學(xué)科立體化教材 線性常系數(shù)差分方程 例 已知系統(tǒng)的差分方程 試求其單位脈沖響應(yīng)，初始條件為 解 設(shè) x(n)=?(n)，輸出 y(n)就是 h(n) 上式可變?yōu)? 可得 依次迭代求得 66X* 信息學(xué)科立體化教材 線性常系數(shù)差分方程 故系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 這樣的系統(tǒng)相當(dāng)于因果系統(tǒng)，如果 |a|1，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 上例中，設(shè) x(n)= ?(n) ，但初始條件改為 y(n)=0(n0)，向 n0的方向遞推，其遞推關(guān)系變?yōu)? 由初始條件有67X* 信息學(xué)科立體化教材 線性常系數(shù)差分方程 所以 一般形式為 這樣的系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，如果 |a|1，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 68X* 信息學(xué)科立體化教材 線性常系數(shù)差分方程 MATLAB信號處理工具箱中提供的 filter函數(shù)，可以實現(xiàn)線性常系數(shù)差分方程的遞推解法，調(diào)用格式如下： y=filter(b,a,x,xi)。 其中 x是輸入信號向