【正文】 ( ) ( ) ( )NR n u n u n N? ? ?39 實(shí)指數(shù)序列 ? a為實(shí)數(shù) ( ) ( )nx n a u n?? 當(dāng) |a|＜ 1時(shí)序列 收斂 ? 當(dāng) |a|＞ 1時(shí)序列 發(fā)散 40 正弦序列 ? A為幅度 ? ω為數(shù)字域角頻率 ? υ為起始相位 ? x(n)由 x(t)= sinΩt 取樣 得到 x(n)= Asin(ωn+φ) ? 歸一化 : ω=ΩT =Ω/fs (ω與 Ω線性關(guān)系 ) 41 復(fù)指數(shù)序列 ? ω為 數(shù)字域 角頻率 ? 用 實(shí)部 與 虛部 表示 ? 用 極坐標(biāo) 表示 ( ) e ( c os j si n )e c os e j si nnnnx n n nnn??????????? j a r g[ ( ) ] j( ) ( ) e e ex n n nx n x n ??? ? ?? σ=0時(shí)，序列具有以 2π為周期的 周期性 42 序列的周期性 ? 對(duì)于序列 x(n)，如果對(duì)所有 n 存在一個(gè)最小的正整數(shù) N，滿足 x(n)= x(n+N) 則序列 x(n)是周期序列 ， 最小周期 為 N 。其周期為 ?? kN 2?? 2π/ω為 整數(shù) 時(shí)，取 k = 1，保證為最小正整數(shù)。 例 序列 ，因?yàn)?2π/ω= 8，所以是一個(gè)周期序列，其周期 N= 8。 例 序列 ， 2π/ω= 8/3是有理數(shù)，所以是周期序列，取 k= 3，得到周期 N= 8。 例 序列 3( ) 2 c os( 7 )4x n n???3( ) 2 c os( 7 )4x n n?? 指數(shù)為純虛數(shù) 的復(fù)指數(shù)序列的周期性與正弦序列的情況 相同 。 ? 以 T []加以不同的 約束條件 ，所定義的系統(tǒng)就具有不同的特性和功能。 48 線性時(shí)不變系統(tǒng) ? 線性系統(tǒng) ? 滿足 疊加原理 ? 疊加原理包含 可加性 和 齊次性 兩方面性質(zhì) ? 時(shí)不變系統(tǒng) ? 系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入信號(hào) 施加 于系統(tǒng)的 時(shí)刻無關(guān) ? 運(yùn)算關(guān)系在整個(gè)運(yùn)算過程中 不隨時(shí)間而變化 ? 線性時(shí)不變系統(tǒng) ? 既滿足 疊加原理 ，又滿足 時(shí)不變性 的系統(tǒng) 49 線性系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入序列與輸出分別為 ? 可加性 : 如果系統(tǒng)的輸入之和與輸出之和滿足 ? 齊次性 (或 比例性 ): 設(shè) a為常數(shù)，系統(tǒng)的輸入增大 a倍，輸出也增大 a倍 ? 線性 系統(tǒng)與 非線性 系統(tǒng) 50 例：證明一個(gè)線性系統(tǒng) ? 注意 ： 必須證明系統(tǒng) 同時(shí)滿足 可加性和齊次性，且信號(hào)及比例常數(shù)都可以是 復(fù)數(shù) 。 ? 不滿足疊加原理，非線性系統(tǒng) ? 滿足疊加原理，線性系統(tǒng) 51 時(shí)不變系統(tǒng) ? 輸入序列 x (n)移動(dòng)任意 m 位后，輸出序列 y (n)也移動(dòng) m 位， 數(shù)值卻保持不變 。 ? 二者相等，具有時(shí)不變性 ? 時(shí)變系統(tǒng) 53 單位脈沖響應(yīng)與卷積和 ? 單位取樣響應(yīng) (單位脈沖響應(yīng) ) ? h(n)=T [δ(n)] ? 線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入為 δ(n)時(shí)對(duì)應(yīng)的輸出 ? 線性時(shí)不變系統(tǒng) 都可以用它的單位脈沖響應(yīng) h(n)來表征 ? 已知 h(n) 可得到線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì) 任意輸入 的輸出 54 推導(dǎo)卷積和表達(dá)式 ? δ(n)表示 x(n) ( ) ( ) ( )mx n x m n m???? ? ?? ?( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]my n T x n T x m n m???? ? ??? ?( ) ( ) [ ( ) ]my n x m T n m???? ? ?? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )mn x m h n m x n h n??? ? ?? ? ??? 系統(tǒng)輸出 ? 疊加原理 ? 時(shí)不變性 ? 卷積和表達(dá)式 : 表示 線性時(shí)不變系統(tǒng) 的 輸出 等于 輸入序列 和 單位脈沖響應(yīng) 的 卷積 。 56 因果系統(tǒng)和穩(wěn)定系統(tǒng) ? 因果系統(tǒng) 系統(tǒng)某時(shí)刻的輸出 y(n)只取決于 此時(shí)刻 x(n)和 以前 的輸入 x(n1)， x(n2)， … ，而和此時(shí)刻 以后 的輸入x(n+1)， x(n+2)， … 無關(guān) 。 ? 非因果系統(tǒng) 當(dāng)前的輸出還取決于 未來的輸入 ，不符合因果關(guān)系。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nmmy n x m h n m x m h n m??? ? ? ? ? ?????000( ) ( ) ( )nmy n x m h n m? ? ?? ?58 因果條件證明 證明 利用 反證法 證明 必要條件 ? 假設(shè)因果系統(tǒng)， n＜ 0時(shí) h(n)≠ 0，則 ? 在所設(shè)條件下，第二個(gè)求和式中至少有一項(xiàng)不為零， y(n)將至少和 m＞ n時(shí)的某一個(gè) x(n)值有關(guān)，這不符合因果性，假設(shè)不成立。 ? (1) 前向差分系統(tǒng) : y(n)= x(n+1) x(n)。 解 ? 因?yàn)榍跋虿罘窒到y(tǒng)的 y(n)決定于 x(n+1)，故系統(tǒng)為非因果的。 60 討論因果系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)性 ? 因果系統(tǒng)是 物理可實(shí)現(xiàn) 的系統(tǒng)；非因果系統(tǒng)是 不可實(shí)現(xiàn) 的系統(tǒng)。 ? 例如語音處理、氣象、地球物理學(xué)等。 ? 例如，理想低通濾波器以及理想微分器都是非因果系統(tǒng)，但它們是不可實(shí)現(xiàn)的。 ? 如果輸入滿足 |x(n)|≤M＜ +∞(M為正常數(shù) )，有輸出|y(n)|≤P＜ +∞ (P為正常數(shù) ) 。 ? 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定 必須證明 所有有界輸入 ，其輸出都是有界的。 | ( ) |nhn??? ? ??? ＜ +| ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) || ( ) |M | ( ) |mmmy n h m x n m h m x n mhm? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ??????≤≤＜63 穩(wěn)定條件證明 證明 利用 反證法 證明 必要條件 ? 假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，但單位脈沖響應(yīng)不絕對(duì)可和 ? 定義一個(gè)有界輸入 | ( ) |nhn??? ? ?? ? ?? 1 , ( ) 0() 1 , ( ) 0hnxn hn??? ? ???≥＜? 計(jì)算輸出，有 ( 0) ( ) ( ) | ( ) | | ( ) |m m my x m h n m h m h m? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 即 y(0)無界，系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此假設(shè)不成立。 ( ) ( )my n x m??? ? ?? ? 1 , 0( ) ( )0 , 0mnny n u mn??? ? ????? ???≥＜65 例： 判斷 因果穩(wěn)定系統(tǒng) ? 例 已知線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 解 ? 因?yàn)?n＜ 0時(shí)， u(n1)= 1，所以 h(n)≠ 0，故系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。 式中 a為實(shí)常數(shù)，討論其因果性和穩(wěn)定性。 ? 因?yàn)? 66 線性常系數(shù)差分方程 ? 離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 —差分方程 ? 線性常系數(shù)線性差分方程求解 67 離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 —差分方程 ? 差分方程是描述函數(shù)序列差分之間關(guān)系的方程，由序列及其各階差分進(jìn)行線性疊加組成。假設(shè)是因果系統(tǒng)，變換得到 ? 線性 ： x(nr)和 y(nk)項(xiàng)都只有一次冪且不存在它們的相乘項(xiàng)，也沒有相互交叉項(xiàng) 00( ) ( ) ( )NMkrkra y n k b x n r??? ? ???0010( ) ( ) ( ) ( )k rNMa baakry n y n k x n r??? ? ? ? ???? 常系數(shù) ： 決定系統(tǒng)特征的系數(shù)均為常數(shù) ? 階數(shù)： y(nk)項(xiàng)變量 k的最大值與最小值之差。 ? 例如，一階差分方程 ? b0 x(n)表示將輸入 x(n)乘上常數(shù) b0 ? a1y(n1)表示將序列 y(n)延時(shí)一位后乘以常數(shù) a1 ? 兩個(gè)結(jié)果相加就得到 y(n)序列 ? 圖中代表相加器，代表乘法器， z1代表延時(shí)一位的延時(shí)單元。 ? 差分方程求解實(shí)際上求系統(tǒng)的全響應(yīng) ? 零輸入響應(yīng)： y1(n) ? 零狀態(tài)響應(yīng)： y2(n) ? 全響應(yīng)：全解 y(n)= y1(n)+ y2(