平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜-頻域特征(編輯修改稿)
2025-06-08 18:33 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 jXX ? ??? ?? 2 1)(? ? ? ???? ?? faS X 222022/5/27 26 四、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)功率譜密度的性質(zhì) 1. 功率譜密度為非負(fù)的 ,即 0)( ??XS證明： TTXES XTX 2]),([lim)( 2?????0),( 2 ??TX X?0)( ?? ?XS2. 功率譜密度是 的實(shí)函數(shù) ?2022/5/27 27 3. 對(duì)于實(shí)隨機(jī)信號(hào)來(lái)說(shuō)，功率譜密度是 的偶函數(shù)， ?即 )()( ?? ??XX SS證明： )(txT? 是實(shí)函數(shù) ** )(),( ???????? ? ???? dtetxTX tjTX?? ????? dtetxtjT ?)(???? ??? dtetx tjT )()( ? ),( ??? TX X),(),(),( *2 ??? TXTXTX XXX ??? ),(),( ?? ??? TXTX XX),(),(* ?? ???? TXTX XX 2),( ??? TX XTTXES XTX 2]),([lim)( 2?????)()( ?? ??? XX SS又 2022/5/27 28 4. 功率譜密度可積，即 ?????? ?? dS X )(證明：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，有： ? ???? ??? dStXE X )(2 1)]([ 2平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的均方值有限 ???? ? ??? ?? dS X )(2022/5/27 29 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的互譜密度 一、互譜密度 考慮兩個(gè)平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)信號(hào) X(t)、 Y(t)， 它們的樣本函數(shù)分別為 和 ，定義兩個(gè)截取函數(shù) 、 為： )(tx )(ty? ?txT ? ?tyT????????TtTttxtxT 0)()(????????TtTttytyT 0)()(2022/5/27 30 因?yàn)? 、 都滿足絕對(duì)可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在。在時(shí)間范圍 (T， T)內(nèi)，兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率 為 :（注意 、 為確定性函數(shù)，所以求平均功率只需取時(shí)間平均） ? ?txT ? ?tyT)(TQXY? ?txT ? ?tyT??? TT TTXY dttytxTTQ )()(2 1)(??? TT dttytxT )()(21 由于 、 的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對(duì)它們也適用，即 : ??txT ? ?tyT2022/5/27 31 ???? dttytx TT )()(* ? ???? ???? dTYTX YX ),(),(2 1 *????? dttytx TT )()(??? TTXY dttytxTTQ )()(2 1)(? ???? ???? dT TYTX YX 2 ),(),(2 1 * 注意到上式中， 和 是任一樣本函數(shù)，因此具有隨機(jī)性，取數(shù)學(xué)期望，并令 得： )(tx )(ty??T2022/5/27 32 ])()(2 1[l i m)]([l i m dttytxTEQTQE T TTXYXYT ?????? ??]),(2 1[lim dtttRT TT XYT ?????*[ ( , ) ( , ) ]1 l im22XYTE X T Y T dT?? ????? ??? ? 定義互功率譜密度為： *1( ) l i m [ ( , ) ( , ) ]2X Y X YTS E X T Y TT? ? ??????? dSQ XYXY ? ???? )(2 1則 2022/5/27 33 同理，有： *1( ) l i m [ ( , ) ( , ) ]2Y X Y XTS E Y T X TT? ? ??????? dSQ YXYX ? ???? )(2 1YXXY ?且 2022/5/27 34 二、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 若 X(t)、 Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有 )()( ?? XYXY SR ?? ??? ?? ??? ?? deRS jXYXY )()(? ???? ???? ?? deSR jXYXY )(2 1)(即 對(duì)于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn) (至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn) )的實(shí)隨機(jī)信號(hào)，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。 2022/5/27 35 三、互譜密度的性質(zhì) 性質(zhì) 1： )()()( * ??? YXYXXY SSS ???證明： ? ??? ?? ??? ?? deRS jXYXY )()(? ??? ??? ?? ?? deR jYX )( （令 ） ?? ??? ???? ?? ?? deR jYX )()(* ?YXS?? ??? ??? ?? ?? deR jYX )()()( ??? YXS2022/5/27 36 性質(zhì) 2： )](R e [)](R e [ ?? ?? XYXY SS)](R e [)](R e [ ?? ?? YXYX SS證明： ??? ?? deRS jXYXY ? ??? ?? )()(?????? djR XY )]si n () [ c o s(? ??? ???????? dRS XYXY ? ???? c o s)()](R e [? ? ???? dR XY? ??? ?? c o s)()](R e [ ??? XYS同理可證 )](R e [)](R e [ ?? ??YXYX SS2022/5/27 37 性質(zhì) 3： )](I m [)](I m [ ?? ??? XYXY SS)](I m [)](I m [ ?? ??? YXYX SS證明：類(lèi)似性質(zhì) 2證明。 性質(zhì) 4： 若 X(t)與 Y(t)正交，則有 0)( ??YXS 0)( ??XYS證明：若 X(t)與 Y(t)正交，則 0),(),( 2121 ?? ttRttR YXXY所以 0)()( ?? ?? YXXY SS2022/5/27 38 性質(zhì) 5： 若
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