多維隨機變量的數(shù)字特征(編輯修改稿)
2025-05-26 05:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 果為陰性 , 則此 k 個人的血只需化驗一次； 若為陽性 , 則對 k 個人的血逐個化驗，找 出有病者 , 這時 k 個人的血需化驗 k + 1 次 . 設(shè)某地區(qū)化驗呈陽性的概率為 p，且每個 人是否為陽性是相互獨立的 . 試說明選擇哪一 種方法可以減少化驗次數(shù) . 驗血方案的選擇 32 解 為簡單計，設(shè) n 是 k 的倍數(shù)， 設(shè)共分成 n / k 組 第 i 組需化驗的次數(shù)為 X i ? ?kp?1 ? ?kp?? 11Xi P 1 k + 1 ? ? ? ? ]11)[1(1 kki pkpEX ??????? ? kpkk ???? 1)1(33 ???kniiEXEX1? ?? ?kpkkkn ???? 1)1(?????? ?????? ????kpn k 1)1(1,01)1( ??????? ??kpk若 則 EX n 例如， 100001100101,10,1000010 ?????????????????????EXkpn34 1定義 ,)( xFX 的分布函數(shù)為設(shè)連續(xù)型隨機變量則滿足條件21)()( ??? mFmXP的或分布函數(shù)稱為的數(shù) )( xFXm 中位數(shù)中位數(shù)的優(yōu)點：而期望則不然或特別小的值影響很小且受個別特別大具有代表性,中位數(shù)、眾數(shù)和分位點167。 35 2定義的是隨機變量稱如果設(shè)XpXPpXPpppp??? ???????1)(,)(,10分位點（上側(cè)分位點）p的是隨機變量稱同理如果滿足條件XpXPpXPppp??????????? 1)(,)(分位點下側(cè) p數(shù)的轉(zhuǎn)化公式：上側(cè)分位數(shù)與下側(cè)分位pppp ?? ???? 11 , ????36 3定義的為的數(shù)值稱滿足為其概率密度是連續(xù)型隨機變量若XmxfmfxfXx00)(s u p)(,)(,)1(?眾數(shù)的為的數(shù)值 ，稱滿足 為其概率分布是離散型隨機變量若XmpmXPkpxXPXkxkk00m a x)()2,1(,)(,)2(????? ?眾數(shù)37 的中位數(shù)求正態(tài)分布 ),( 2??N?數(shù)都是由對稱性知中位數(shù)、眾? ?的中位數(shù)求，概率都是并且取其中每一個值的，的取值集合為設(shè)隨機變量XX2110例 1 解 例 2 38 解 )21,1(~ BX????????????1,1102100)(xxxxF ，有對于任何 ,10 ?? a21)0()( ???? XPaXP21)1()( ???? XPaXP的中位數(shù)中任何一個實數(shù)都是區(qū)間由定義知X)1,0(39 167。 方差 引例 檢驗兩批燈泡的質(zhì)量 ,從中分別隨機抽樣 5只 ,測得使用壽命 (單位 :小時 )如下 : A: 2022 1500 1000 500 1000 B: 1500 1500 1000 1000 1000 試比較這兩批燈泡質(zhì)量的好壞 計算得 :平均壽命 分別為 :A:1200 B:1200 觀察得 :A中 使用壽命偏離 較大 ,B中使用壽命 偏離較小 , 所以 ,B產(chǎn)品質(zhì)量較好 數(shù)學期望 方差 40 1. 方差的定義 (X EX)2 —— 隨機變量 X 的取值偏離平均值的 情況 , 是 X的函數(shù) , 也是隨機變量 E(X EX)2 —— 隨機變量 X的取值偏離平均值的平均偏離程度 —— 數(shù) 定義：即記為的方差為則稱存在若是一個隨機變量設(shè),)(,)(,22DXXEXXEEXXEX??2)( EXXEDX ??方差DX)( 標準差均方差注 : 方差反映了隨機變量相對其均值的 偏離程度 41 ?,2,1,)( ??? kpxXP kk若 X 為離散型隨機變量，概率分布為 ? ?? ??kkk pEXxDX2若 X 為連續(xù)型隨機變量，概率密度為 f (x) ? ? dxxfEXxDX )(2? ???? ??常用的計算方差的公式： 22 )( EXEXDX ??42 2. 方差的性質(zhì) 為常數(shù)）CDC (0)1( ?DXCCXD 2)()2( ?DYDXYXDYX??? )(,)3( 則變量是兩個相互獨立的隨機設(shè)1)(,)(10)4(????CXPEXCCXDX即這里取常數(shù)以概率的充要條件是)()()()5( 22 為任意常數(shù)aaEXaXEDX ????43 例 1 設(shè) X ~ P (?), 求 DX 解 ???????0 !kkkekEX ?? ????????11)!1(kkke ?? ???EXXXEEX ??? )]1([2!)1()]1([0 kekkXXE kk?? ???????? ?2222)!2(??? ? ??? ??????kkke?? ?? 22EX???? 22 )( EXEXDX 3. 方差的計算 44 例 2 設(shè) X ~ B( n , p)，求 DX 解一 仿照上例求 DX 解二 引入隨機變量 nXXX , 21 ?????發(fā)生次試驗事件第發(fā)生次試驗事件第AiAiX i,0,1nXXX , 21 ?相互獨立， ni ,2,1 ??)1( ppDX i ?????niiXX1故 )1(1pnpDXDXnii ??? ??45 解 DX 22 )( EXEX ??22 )2(1 badxabxba???? ?12)( 2ab ??例 3 設(shè) X ~ U( a , b)，求 DX 46 例 4 設(shè) X ~ N ( ? , ? 2), 求 DX 解 dxexDXx222)(221)( ? ?????????????dtetttx222221 ????????? ????令2??47 常見隨機變量的方差 分布 方差 概率分布 參數(shù)為 p 的 01分布 pXPpXP?????1)0()1( p(1p) B(n,p) nkppCkXP knkkn,2,1,0)1()(????? ?np(1p) P(?) ?,2,1,0!)(????kkekXPk ?? ? 48 分布 方差 概率密度 區(qū)間 (a,b)上的 均勻分布 ?????????其它,0,1)( bxaabxf
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