【文章內(nèi)容簡介】 kXNkXnx上式中 ，因此 1??kNNW????????? 10111)(1)( NkkNNzWzkXNzX359 2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 31 令 ? 則 1111)(??????zWzNz kNNk?????10)()()(Nkk zkXzX ?360 361 式 (361)稱為用 X(k)表示 X(z)的內(nèi)插公式， φk(z)稱為內(nèi)插函數(shù)。當 z=ejω時， (360)式和 (361)式就成為 x(n)的傅里葉變換變換 X(ejω)的內(nèi)插函數(shù)和內(nèi)插公式，即 )/2(111)(NkjNjk eeN ????? ??????????10)()()(Nkkj kXeX ???2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 32 進一步化簡可得 ? 在數(shù)字濾波器的結(jié)構與設計中，我們將會看到，頻域采樣理論及有關公式可提供一種有用的濾波器結(jié)構和濾波器設計途徑。 ?????10)2()()(Nkj kNkXeX????)2 1()2/s i n()2/s i n(1)( ??? NjweNN ????362 363 2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 33 DFT的應用舉例 ? DFT的快速算法 FFT的出現(xiàn)，使 DFT在數(shù)字通信、語音信號處理、圖象處理、功率譜估計、仿真、系統(tǒng)分析、雷達理論、光學、醫(yī)學、地震以及數(shù)值分析等各個領域都得到廣泛應用。 ? 然而，各種應用一般都以卷積和相關運算的具體處理為依據(jù)，或者以 DFT作為連續(xù)傅里葉變換的近似為基礎。 ? 本節(jié)主要介紹用 DFT計算卷積和相關系數(shù)的基礎原理以及用 DFT對連續(xù)信號和序列進行譜分析等最基本的應用。只要掌握了這兩種基本應用的原理，就為用 DFT解決數(shù)字濾波和系統(tǒng)分析等問題打下了基礎。 2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 34 DFT計算線性卷積 ? 如果 ?????? 10 2121)())(()()()()( Lm LLnRmnxmxnxnxny且 )]([DF T)()]([DF T)(2211nxkXnxkX?? 則由時域循環(huán)卷積定理有 0≤k≤L1 10),()()]([D F T)( 21 ????? lkkXkXnykY由此可見，循環(huán)卷積既可在時域直接計算，也可以按照圖 310所示的計算框圖，在頻域計算。由于 DFT有快速算法 FFT，當 N很大時，在頻域計算的速度快得多，因而常用 DFT(FFT)計算循環(huán)卷積。 2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 35 圖 310 用 DFT計算循環(huán)卷積 ? 在實際應用中，為了分析時域離散線性非時變系統(tǒng)或者對序列進行濾波處理等，需要計算兩個序列的線性卷積。和計算循環(huán)卷積一樣，為了提高運算速度，也希望用 DFT(FFT)計算線性卷積。而 DFT只能用來計算循環(huán)卷積，為此導出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關系以及循環(huán)卷積和線性卷積相等的條件。 2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 36 假設 h(n)和 x(n)都是有限長序列，長度分別是 N和 M。它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下： ? 其中， L≥max[N， M]， ，所以 ???????10)()()()()(Nml mnxmhnxnhny? ??????10)())(()()()()(NmLLc nRmnxmhnxnhny364 365 ???????qL qLnxnx )())(()()()()()()()(1010nRmqLnxmhnRqLmnxmhnyLqNmNmLqc? ?? ???????????????????2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 37 對照式 (364)可以看出，上式中 ? 即 )()()(10qLnymqLnxmh lNm??????????????qLlc nRqLnyny )()()(366 式 (366)說明， yc(n)等于 yl(n)以 L為周期的周期延拓序列的主值序列。我們知道， yl(n)長度為 N+M1，因此只有當循環(huán)卷積長度 L≥N+M1時， yl(n)以 L為周期進行周期延拓才混疊現(xiàn)象。此時取主值序列顯然滿足yc(n)=yl(n)。由此證明循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是L≥N+M1。圖 311中畫出了 h(n)、 x(n)、 h(n)*x(n)和 L分別取 10時 h(n) x(n)的波形。由于 h(n)長度N=4， x(n)長度 M=4， N+M1=8，所以只有 L≥8時，h(n) x(n)的波形才與 h(n)*x(n)相同。 2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 38 圖 311 線性卷積與循環(huán)卷積 2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 39 如果取 L=N+M1 ，則可用 DFT(FFT)計算線性卷積，計算框圖如圖 312所示。其中 DFT和 IDFT通常用快速算法 (FFT)來實現(xiàn)，故常稱其為快速卷積。 ? 圖 312 用 DFT計算線性卷積框圖 2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 40 實際上，經(jīng)常遇到兩個序列的長度相差很大的情況，例如 MN時，直接套用上述方法是不行的。解決這個問題的方法是將長序列分段處理計算。這種分段處理法有重疊相加法和重疊保留法兩種。下面只介紹重疊相加法。 ? 設序列 h(n)長度為， x(n)為無限長序列。將均勻分段，每段長度取，則 ????0)()(kk nxnx式中 xk(n)= x(n)RM(nkM) 2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 41 于是， h(n)與 x(n)的線性卷積可表示為 ? 式中 ????????????00)()()()()()()()(kkkkk nynxnhnxnhnxnhny367 )()()( nxnhny kk ??式 (367)說明，計算 h(n)與 x(n)的線性卷積時，可先進行分段線性卷積 yk(n)= h(n)*xk(n)，然后再把分段卷積結(jié)果疊加起來即可。如圖 313所示。每一分段卷積 yk(n)的長度為 N+M1，因此 yk(n)與 yk+1(n)有 N1個點重疊，必須把重疊部分的 yk(n)與 yk+1(n)相加，才能得到完整的卷積序列 y(n)。 2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 42 圖 313 重疊相加法卷積示意圖 2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 43 ? 用 DFT對信號進行譜分析 ? 所謂信號的譜分析就是計算信號的傅里葉變換 。 連續(xù)信號與系統(tǒng)的傅里葉分析顯然不便于直接用計算機進行計算 ， 使其應用受到限制 ， 而 DFT是一種時域和頻域均離散化的變換 ， 適合數(shù)值運算 ， 成分分析離散信號和系統(tǒng)的有力工具 。 ? 1. 用 DFT對連續(xù)信號進行譜分析 ? 工程實際中 ， 經(jīng)常遇到的連續(xù)信號 xa(t)， 其頻譜函數(shù) Xa(jΩ)也是連續(xù)函數(shù) 。 2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 44 ? 設連續(xù)信號 xa(t)持續(xù)時間和 Tp， 最高頻率為 fc， 如圖 314所示 。 xa(t)的傅里葉變換為 ? 以間隔 T≤1/2fc (即 fs=1/T≥2fc)采樣 xa(t)得 = xa(nT)。設共采樣 N點 ， 并對 Xa(jf)作零階近似 (t=nT， dt=T)得 2( ) [ ( ) ] ( ) jfa a aX if FT x t x t e tdt?? ????? ?120( ) ( )Nj f n TanX i f T x n T e ????? ?)(? txa顯然， Xa(jf)仍是 f的連續(xù)周期函數(shù)， 和 如圖 314(b)所示。對在區(qū)間等間隔采樣 N點，采樣間隔為 F，如圖 314(c)所示。 )(? txa )(? jfX a2021/11/10 西安建筑科技大學信于與控制學院 45 參數(shù) fc、 Tp、 N和 F滿足如下關系式： ? 由于 NT= Tp，所以 NTNfF s 1?? 368 pTF 1? 369 將 f=