02-第二章-序列的z變換與傅里葉變換(編輯修改稿)
2024-08-20 01:47 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1 2 1 0 .5AAXzzz??????1121112 0 . 51114( 1 2 ) |( 1 2 ) ( 1 0 .5 ) 3( 1 0 .5 ) |( 1 2 ) ( 1 0 .5 ) 3zzAzzzzz????????? ? ? ???? ? ? ? ???41( ) [ 2 0 .5 ] ( )33nnx n u n? ? ? ?查表 32 Z變換的性質(zhì)和定理 ? １．線性： 滿足疊加原理 Z[ax(n)+by(n)] = aX(z)+bY(z)， R＜ |z|＜ R+ () 例 求序列 x(n) = u(n) u(n3)的 Z變換。 ? 由于出現(xiàn)零極點(diǎn)抵消，收斂域增大了。 ? 由于 x(n)是 n≥0的有限長(zhǎng)序列，收斂域是除 |z|= 0之外的全部 z平面。 Z [ ( ) ] , 11zu n zz? ? ＞3213Z [ ( 3 ) ] , 111nnzzu n z zzz???? ???? ? ? ???? ＞222( ) Z [ ( ) ] Z [ ( 3 ) ]111X z x n x nz z z zz z z?? ? ??????33 Z變換性質(zhì) ? ２．序列的移位： Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( )n m k mnkx n m x n m z z x k z z X z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???證明 Z [ ( ) ] ( )mx n m z X z???? ３．乘以指數(shù)序列 ： 11Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )n n n nnna x n a x n z x n a z X a z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???證明 1Z [ ( ) ] ( )na x n X a z??34 Z變換性質(zhì) ? ４．序列的線性加權(quán) ： 1dd( ) ( ) ( ) ( )dd( ) [ ( ) ]nnnnnnz X z z x n z z n x n zzzn x n z Z n x n? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ??????證明 ? ? dZ [ ] ( )dn x n z X zz??? ５．序列的折疊 ： 11Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )nnnnx n x n z x n z X z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???證明 1 1 1Z [ ( ) ] ( ) , xxx n X z R z R? ? ????? ＜＜35 Z變換性質(zhì)－－初值定理 ? ６．初值定理 ： 若 x(n)是因果序列，即x(n)= 0， n＜ 0，則 120( ) ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( )nnnX z x n z x x z x z x n z?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??證明： x(n)是因果序列，有 (0 ) l i m ( )zx X z???(0 ) lim ( )zx X z???顯然 0(0 ) lim ( )zx X z??若 x(n)是逆因果序列，即 x(n)= 0， n＞ 0，有 36 Z變換性質(zhì)－－終值定理 ? ７．終值定理 ： 若 x(n)是因果序列，且 X(z)的全部極點(diǎn)，除在 z= 1處可以有一階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則 ? ?( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( ) ] nnz X z z X z X z Z x n x n x n x n z?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??證明：由 移位性質(zhì)可得 1l i m ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]nzx n z X z? ? ? ???1( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]n knkz X z x k x k z ??? ???? ? ? ??x(n)是因果序列，則 11l im [ ( 1 ) ( ) ] l im [ ( 1 ) ( ) ]l im { [ ( 0 ) 0 ] [ ( 1 ) ( 0 ) ] [ ( 1 ) ( ) ] }l im { ( 1 ) } l im ( )nznknnnz X z x k x kx x x x n x nx n x n? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??有 37 Z變換性質(zhì) ? ８．序列的卷積 ： W(z)= Z[x(n)*y(n)]= X(z)Y(z)， R＜ |z|＜ R+ ( ) Z [ ( ) * ( ) ] [ ( ) ( ) ] nnkW z x n y n x k y n k z???? ? ? ? ? ?? ? ???證明 交換求和次序，并代入 m= nk得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nknkmkmW z x k y n k zx k z y m z X z Y z???? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ???? ? ?????38 例： Z變換性質(zhì) 求卷積 例 X(z)和 H(z)收斂域分別為 |z|＞ a和 |z|＞ b，所以 解 ： 查表得 1( ) ( ) , ( ) ( ) ( 1 )n n nx n a u n h n b u n a b u n?? ? ? ?111 1 1 11 1 1( ) , ( )1 1 1 1az azX z H zaz bz bz bz??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?( ) ( ) ( ) , | |zY z X z H z z bzb? ? ? ? ＞1( ) ( n ) * ( n ) = Z [ ( ) ] = ( )ny n x h Y z b u n?由收斂域知 y(n)是因果序列 討論 ： 在 z= a處， X(z)的極點(diǎn)被 H(z)的零點(diǎn)所抵消，如果 |b|＜ |a|，則 Y(z)的收斂域比 X(z)與 H(z)收斂域的重疊部分要大，如圖 。 39 利用 Z變換求解差分方程 ? N階線性常系數(shù)差分方程 ? 時(shí)域求解 Z變換 移位性質(zhì) ? Z變換求解 差分方程 代數(shù)方程 Z變換式 輸出序列 逆 Z變換 解方程 40 例： Z變換 求差分方程 例 5 已知一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的差分方程 y(n)= ay(n1)+ x(n)，設(shè)初始條件 y(1)= 2，輸入 時(shí)系統(tǒng)的輸出序列。 解 ： ( ) ( )nx n b u n?112 ( )( ) [ ( ) ( 1 ) ] ( ) ( )1a X zY z a z Y z y z X z Y zaz???? ? ? ? ? ??11( ) ( ) ( )1nx n b u n X zbz ?? ? ? ?于是 1 1 121()1 ( 1 ) ( 1 )aYzaz az bz? ? ???? ? ?111( ) 2 nnn aby n aab??? ????零輸入解和零狀態(tài)解分別為 11 ( ) 2 ny n a ??112 ()nnabyn ab???? ?41 序列的傅里葉變換 ? 序列傅里葉變換的定義 ? 序列傅里葉變換的性質(zhì) ? 周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)表示 ? 周期序列的傅里葉變換表示 42 序列傅里葉變換的定義 ? 序列的傅里葉變換定義 ? 傅里葉逆變換定義 j j( e ) F [ ( ) ] ( ) e ( 2 . 3 8 )nnX x n x n????? ? ??? ?1 j j j1( ) F
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