【正文】 )9 6 1zXzzz???? ??12 3 41 2 1 4( ) ( ) 33 9 9 8 1 nnnX z z z z z n z? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??長除運(yùn)算，得 由此得到 ( ) 3 ( 1 )nx n n u n?? ? ? ? ?29 部分分式展開法 1001100 1( 1 )()( ) ( 2 . 9 )() ( 1 )MMkkkkkNNkk kk kb c zbzPzXzQz az a d z????? ?? ??? ? ????? ?? 方法：如果有理分式 X(z) 是兩個實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 P(z)和 Q(z)的比，展開成部分分式，求各簡單分式的逆 Z變換，再相加得到 x(n)。當(dāng) z→∞ 時， X(z)趨近于有限值 0，說明收斂域包括 ∞點(diǎn)，因此是因果序列。 26 長除法 : 展開有理分式 X(z) ? 使用前判定對應(yīng) x(n) 類型 : 由收斂域確定 ? 右邊序列 (或因果序列 ) ? 左邊序列 (或逆因果序列 )。 23 逆 Z變換 ? 逆 Z變換 : 由 X(z)及其收斂域求序列 x(n)的變換。 1122( ) ( )( 1 )n n nnnX z a z azaz az a z? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ?????( ) ( 1 )nx n a u n?? ? ?( ) , | | 1 / | |1 azX z z aaz? ? ＜21 雙邊序列 ? 雙邊序列指 n從 ∞到 +∞都具有非零的有限值，可看成右邊序列和左邊序列的和 ? Z變換 1210( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 2 .7 )nnnnnnX z x n z X z X zx n z x n z???? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ??????? 討論： X1(z) 收斂域?yàn)?0＜ |z|＜ Rx+；X2(z)收斂域?yàn)?Rx＜ |z|＜ +∞。 ? 討論：級數(shù) X(z)中沒有負(fù)冪項(xiàng)，|z|= 0時級數(shù)收斂，因此收斂域包括 0點(diǎn)，即為 0 ≤ |z| ＜ Rx+ 19 左邊序列（非因果）的收斂域 ? 當(dāng) n2＞ 0時，序列為非因果序列 22 1012( ) | ( ) | | ( ) | | ( ) |( ) ( )nnn n nn n nX z x n z x n z x n zX z X z?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ?? 顯然，當(dāng) z取 0外的有限值時，級數(shù) X2(z) 的值有限，而級數(shù) X1(z) 收斂。 ? 收斂域?yàn)?0＜ |z|≤+∞。 | ( ) nx n z ? ?| ＜+ ||nz ? ?＜+ ||z ?0＜ ＜+x(n)有 界 開域 ? 邊界討論： z= 0及 z= ∞兩點(diǎn)是否也收斂與 n n2取值情況有關(guān)。 1101( ) ( ) , | | | |1nnzX z a z z aa z z a?????? ? ???? ＞? X(z)可用封閉形式，即解析函數(shù)形式表示為 ? 當(dāng) |z|≤a時級數(shù)發(fā)散，當(dāng) |z|＞ |a|時級數(shù)收斂。 ( ) ( )nx n a u n?解： 序列 x(n)是因果序列，根據(jù) Z變換的定義 1001 1 2 1 3( ) ( ) ( )1 ( ) ( )n n n nn n nX z x n z a z a za z a z a z? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?分 析收斂性： X(z)是無窮項(xiàng)冪級數(shù)。 ? 有限長序列： 0≤|z|＜ +∞ 或 0＜ |z|≤+∞ ? 右邊序列： Rx＜ |z|＜ +∞ ? 左邊序列： 0＜ |z|＜ Rx+ ? 雙邊序列： Rx ＜ |z|＜ Rx+ 12 有限長序列 ? 有限長序列只在有限區(qū)間 n1≤n≤n2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零 ? Z變換 21( ) ( )nnnnX z x n z ??? ?? 要求：在有限區(qū)間內(nèi)級數(shù)的每一項(xiàng)都有界，則有限項(xiàng)的和有界，級數(shù)就收斂。 ? X(z)有一個 z= a的極點(diǎn)，但也有一個 z= a的零點(diǎn)，將零極點(diǎn)對消。所以，級數(shù) X(z)的收斂域是以 Rx為半徑的圓的外部區(qū)域，即 Rx＜ |z|＜ +∞ 17 左邊序列 ? 左邊序列只在有限區(qū)間 n≤n2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零 ? Z變換 2( ) ( ) ( 2 . 6 )nnnX z x n z ?? ? ?? ?? 假設(shè)：級數(shù) ()在某個圓 |z|=|z2|上絕對收斂 22| ( ) |nnnx n z ?? ? ???? ＜18 左邊序列（逆因果）的收斂域 假設(shè) ： z是圓內(nèi)任意一點(diǎn)，即 |z|＜ |z2| ? 當(dāng) n2≤ 0時，序列為逆因果序列 222| ( ) | | ( ) |nnnnnnx n z x n z??? ? ? ? ? ????? ＜＜? 顯然，級數(shù) X(z) 收斂。 X(z)可用封閉形式表示 ? X(z)有一個 z= 1/a的極點(diǎn)，但也有一個 z= 0的零點(diǎn) 。 22 例：求雙邊 序列的 Z變換 例 己知序列 討論： ? 極點(diǎn)為 z1= a和 z2= b ? 零點(diǎn)為 z1= 0和 z2= (a+b)/2 ? 收斂域?yàn)榄h(huán)域 a＜ |z|＜ b 解： 10( ) ( )( 2 )( ) ( )n n n n nn n nX z x n z b z a zz z z z a bz a z b z a z b? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ?,0(),0nnanxnbn???? ???≥＜如果 0＜ a＜ b，求其 Z變換及其收斂域。 展開 X(z)得 解： 利用 ln(1+ x)，且 |x|＜ 1的冪級數(shù)公式 1( ) l n( 1 )X z az ???112311 1 ( 1 ) ( 1 )l n ( 1 ) ( 1 1 )23nnnnnx x x x x x xnn?? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ＜≤111( 1 )( ) l n ( 1 ) n nnnX z a z a zn???????? ? ? ?1( 1 )( ) ( )n nx n a u nn???由收斂域 |a|＜ |z|知 x(n)為右邊序列 注 : X(z)的閉合形式加上收斂域，才能唯一確定 x(n)。 解： 收斂域是圓外部，對應(yīng)右邊序列。當(dāng) z=0時， X(z)趨近于有限值 0，說明收斂域包括 0點(diǎn)，因此是逆因果序列。 求得系數(shù)為 解： 收斂域?yàn)閳A外，右邊序列。 ? 由于 x(n)是 n≥0的有限長序列，收斂域是除 |z|= 0之外的全部 z平面。 解 ： ( ) ( )nx n b u n?112 ( )( ) [ ( ) ( 1 ) ] ( ) ( )1a X zY z a z Y z y z X z Y zaz???? ? ? ? ? ??11( ) ( ) ( )1nx n b u n X zbz ?? ? ? ?于是 1 1 121()1 ( 1 ) ( 1 )aYzaz az bz? ? ???? ? ?111( ) 2 nnn aby n aab??? ????零輸入解和零狀態(tài)解分別為 11 ( ) 2 ny n a ??112 ()nnabyn ab???? ?41 序列