【正文】 % 設(shè)定 n和 k ?WN= exp(j*2*pi/N)。極點 :39。? ?e ?( ) ( e ) ( 2 . 8 9 )sT sT azX z X X s? ??? 當(dāng) 時，取樣序列 xa(nT)的Ｚ變換等于取樣信號 的拉普拉斯變換。 解 ： 2j 44 ejW ?? ? ? 4 1 3400( ) ( ) ( j ) ( ) , 1 , 2 ,k n k nnnX k x n W x n k???? ? ? ? ? ???30( 0 ) ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 6nX x n x x x x?? ? ? ? ? ??因此得到，離散傅里葉級數(shù) { ? 由于 x(n)是 n≥0的有限長序列，收斂域是除 |z|= 0之外的全部 z平面。 展開 X(z)得 解： 利用 ln(1+ x)，且 |x|＜ 1的冪級數(shù)公式 1( ) l n( 1 )X z az ???112311 1 ( 1 ) ( 1 )l n ( 1 ) ( 1 1 )23nnnnnx x x x x x xnn?? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ＜≤111( 1 )( ) l n ( 1 ) n nnnX z a z a zn???????? ? ? ?1( 1 )( ) ( )n nx n a u nn???由收斂域 |a|＜ |z|知 x(n)為右邊序列 注 : X(z)的閉合形式加上收斂域，才能唯一確定 x(n)。 ? X(z)有一個 z= a的極點，但也有一個 z= a的零點，將零極點對消。 | ( ) nx n z ? ?| ＜+ ||nz ? ?＜+ ||z ?0＜ ＜+x(n)有 界 開域 ? 邊界討論： z= 0及 z= ∞兩點是否也收斂與 n n2取值情況有關(guān)。 23 逆 Z變換 ? 逆 Z變換 : 由 X(z)及其收斂域求序列 x(n)的變換。 z→∞ 時， X(z)趨近于有限值 1，確定是因果序列。 解 ： 如圖 (a)是周期序列的周期 N= 8，傅里葉變換為 j 22( e ) ( ) ( ) , 8kX X k k NNN? ?? ????? ? ?? ? ??參考例 ，可以得到 2213 j j800( ) ( )e eN k n k nNnnX k x n?????????7j8 s i n ( )( ) es i n ( / 8 )k kXkk? ???7jj 8 s i n ( )(e ) e ( )4 s i n ( / 8 ) 4kkkXkk?? ? ? ??????? ? ????58 序列的 Z變換與連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系 ? 對連續(xù)時間信號的理想取樣輸出，求拉普拉斯變換 ? 與離散時間信號的Ｚ變換式比較，得到 ? ?( ) ( ) e d ( ) ( ) e d( ) ( ) e d( ) ( ) e d ( ) est sta a astanst sntaannX s x t t x t p t tx nT t nT tx nT t nT t x nTdd+ ? ? ? ?+?+??= ?+ ? ?+??= ? ?==== =蝌229。disp(r39。N= 4。WNnk = WN.^nk。)。 10111 1001()( ) ( 2 . 9 8 )( ) 1M N M N kMk kN kkNkb b z b z RBzX z C za a z a z A z p z?? ? ?? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? 函數(shù) residuez基本調(diào)用方式 : [r,p,c]= residuez(b,a)。 6， 2+2j， 2， 22j， 6，2+2j， 2， 22j， 39 利用 Z變換求解差分方程 ? N階線性常系數(shù)差分方程 ? 時域求解 Z變換 移位性質(zhì) ? Z變換求解 差分方程 代數(shù)方程 Z變換式 輸出序列 逆 Z變換 解方程 40 例： Z變換 求差分方程 例 5 已知一個線性時不變系統(tǒng)的差分方程 y(n)= ay(n1)+ x(n)，設(shè)初始條件 y(1)= 2，輸入 時系統(tǒng)的輸出序列。 27 例：長除法 X(z) 降冪排列 例 求 ， |z|＞ 3的逆 Z變換。 ? 討論：級數(shù) X(z)中沒有正冪項，|z|= +∞時級數(shù)收斂，因此收斂域包括 ∞點，即為 Rx＜ |z|≤+∞ 16 右邊序列（非因果）的收斂域 ? 當(dāng) n1＜ 0時，序列為非因果序列 111012( ) | ( ) | | ( ) | | ( ) |( ) ( )n n nn n n n nX z x n z x n z x n zX z X z? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?? 顯然，當(dāng) z取有限值時，級數(shù) X1(z) 的值有限，而級數(shù) X2(z) 收斂。 10 Z變換的收斂域 ? 根據(jù)級數(shù)理論，式 ()收斂的充分必要條件是滿足絕對可和條件，即 ? 收斂域 : 對于給定的任意序列 x(n)，使其 Z變換收斂的所有 z值的集合組成的區(qū)域。雙邊序列Z變換的收斂域是公共部分。 ? 式中， ? ck是 X(z)的非零零點， dk是 X(z)的非零極點 ? P(z)和 Q(z)的階次分別為 M和 N。 % 求留數(shù)、極點和系數(shù)項 ?disp(39。0 0 0 0 01 0 1 2 10 1 2 1 ( 2. 10 0)2 0 2 4 2( 1 )1 0 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )Nn k N NN N N N N? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? 只需計算 WN因子，由矩陣?yán)碚摽捎嬎闶?() 39。disp(Xk)。)。 解 : 有理分式 X(z) 分子和分母多項式都按 z的降冪排列。} 30( 1 ) ( j ) ( ) ( 0 ) j ( 1 ) ( 2 ) j ( 3 ) 2 2 jnnX x n x x x x?? ? ? ? ? ? ? ? ??3 20( 2 ) ( j ) ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 2nnX x n x x x x?? ? ? ? ? ? ? ??3 30( 3 ) ( j ) ( ) ( 0 ) j ( 1 ) ( 2 ) j ( 3 ) 2 2 jnnX x n x x x x?? ? ? ? ? ? ? ? ??57 周期序列的傅里葉變換表示 例 8 設(shè) = { 45 序列傅里葉變換的特點 ? 頻譜是 ω的連續(xù)周期函數(shù)，周期為 2π。把 X(z)的分子分母按 z的降冪排列 1123()(1 3 )zXzz??? ?1123()1 6 9zXzzz???? ??1 2 2 3 3 4 40( ) 0 3 2 3 3 3 4 3 3 nnnX z z z z z n z??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??長除運算，得 由此得到 ( ) 3 ( )nx n n u n??28 例：長除法 X(z) 升 冪排列 例 求 ， |z|＜ 3的逆 Z變換。所以，級數(shù) X(z)的收斂域是以 Rx+為半徑的圓的內(nèi)部區(qū)域，即 0＜ |z|＜ Rx+ 20 例：求左邊 序列的 Z變換 例