【正文】 ? ? ? ? ? ? ? ??3 20( 2 ) ( j ) ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 2nnX x n x x x x?? ? ? ? ? ? ? ??3 30( 3 ) ( j ) ( ) ( 0 ) j ( 1 ) ( 2 ) j ( 3 ) 2 2 jnnX x n x x x x?? ? ? ? ? ? ? ? ??57 周期序列的傅里葉變換表示 例 8 設 = {， 1， 1， 1， 1， 0， 0， 0， 0， } 是一個以 N = 8為周期的周期序列，求傅里葉變換。 解 ： 如圖 (a)是周期序列的周期 N= 8，傅里葉變換為 j 22( e ) ( ) ( ) , 8kX X k k NNN? ?? ????? ? ?? ? ??參考例 ，可以得到 2213 j j800( ) ( )e eN k n k nNnnX k x n?????????7j8 s i n ( )( ) es i n ( / 8 )k kXkk? ???7jj 8 s i n ( )(e ) e ( )4 s i n ( / 8 ) 4kkkXkk?? ? ? ??????? ? ????58 序列的 Z變換與連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換、傅里葉變換的關系 ? 對連續(xù)時間信號的理想取樣輸出，求拉普拉斯變換 ? 與離散時間信號的Ｚ變換式比較，得到 ? ?( ) ( ) e d ( ) ( ) e d( ) ( ) e d( ) ( ) e d ( ) est sta a astanst sntaannX s x t t x t p t tx nT t nT tx nT t nT t x nTdd+ ? ? ? ?+?+??= ?+ ? ?+??= ? ?==== =蝌229。242。邋 242。? ?e ?( ) ( e ) ( 2 . 8 9 )sT sT azX z X X s? ??? 當 時，取樣序列 xa(nT)的Ｚ變換等于取樣信號 的拉普拉斯變換。 esTz?? ()axt59 s平面到 z平面的映射關系 ? 將 s平面用直角坐標表示，即 s=σ+jΩ， z平面用極坐標表示，代入式 ()中，得到 1e , l n ( 2 . 9 0 )sTz s zT??j ( j ) j0 e e e eT T Tr ? ? ?? ? ???? 因此 0 e,TrT? ?? ? ?? σ= 0時， r0= 1， s平面的 jΩ軸映射成 z平面的單位圓； ? σ＜ 0時， r0＜ 1， s平面的左半平面映射成 z平面的單位圓內部； ? σ＞ 0時， r0＞ 1， s平面的右半平面映射成 z平面的單位圓外部； 60 序列的 Z變換與傅里葉變換的關系 ? 傅里葉變換是拉普拉斯變換在虛軸的特例，即 s＝ jΩ，因而映射到 z平面上為單位圓，代入式 ()得 j je ?( ) ( e ) ( j ) ( 2 . 9 4 )T T azX z X X? ? ?? ??? 取樣序列在單位圓上的Ｚ變換，等于其理想取樣信號的傅里葉變換 。 61 Matlab實現(xiàn) ? 序列逆 Z變換的 Matlab實現(xiàn) ? 周期序列傅里葉級數的 Matlab實現(xiàn) 62 序列逆 Z變換的 Matlab實現(xiàn) ? 函數 residuez: 適合計算離散系統(tǒng)有理函數的留數和極點，可以用于求解序列的逆 Z變換。 10111 1001()( ) ( 2 . 9 8 )( ) 1M N M N kMk kN kkNkb b z b z RBzX z C za a z a z A z p z?? ? ?? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? 函數 residuez基本調用方式 : [r,p,c]= residuez(b,a)。 ? 輸入參數 : b=[b0， b1， … ， bM]為分子多項式的系數 , a=[a0， a1， … ， aN]為分母多項式的系數，這些多項式都按z的降冪排列 ? 輸出參數 : r是極點的留數， p是極點， c是無窮項多項式的系數項，僅當 M≥N時存在。 63 例：計算逆 Z變換 例 計算 的逆 Z變換 。 解 : 有理分式 X(z) 分子和分母多項式都按 z的降冪排列。 2() 2 3 1zXzzz? ??12 1 20()2 3 1 2 3zzXzz z z z??????? ? ? ??b= [0,1]。 a= [2,3,1]。 % 多項式的系數 ?[r,p,c]= residuez(b,a)。 % 求留數、極點和系數項 ?disp(39。留數 :39。)。disp(r39。)。 % 顯示輸出參數 ?disp(39。極點 :39。)。disp(p39。)。 ?disp(39。系數項 :39。)。disp(c39。)。 程序運行結果為 ?留數 : 1 1 ?極點 : ?系數項 : X(z)的部分分式形式 為 1111() 1 1 0 .5Xz zz??????逆 Z變換 為 ( ) ( ) ( 0. 5 ) ( )nx n u n u n??64 周期序列傅里葉級數的 Matlab實現(xiàn) ? DFS式 ()的矩陣形式 1 2 12 4 2 ( 1 )1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 ( 0)( 0)1 ( 1 )( 1 )1 ( 2. 99 )( 2)( 2)1 ( 1 )( 1 )NN N NNN N NN N N NN N NxXW W W xXX W W W W xxXW W W xNXN??? ? ? ??? ?? ???? ?? ???? ???? ??? ? ? ??? ?? ???? ???? ?? ????????? 由周期序列的 DFS定義， 0≤n≤N1， 0≤k≤N1，有 ? ?39。0 0 0 0 01 0 1 2 10 1 2 1 ( 2. 10 0)2 0 2 4 2( 1 )1 0 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )Nn k N NN N N N N? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? 只需計算 WN因子，由矩陣理論可計算式 () 39。()( ) ( 2 . 1 0 1 )nkNX W x W x?? ? ? ?65 例：計算 周期序列 離散傅里葉級數 例 計算 以 N= 4為周期進行周期延拓 ，求周期序列的離散傅里葉級數 。 解 : , 0 3()0,nnxn ?? ??≤≤其它?xn= [0,1,2,3]。N= 4。 % 設定序列和周期 ?n= [0:1:N1]。k= [0:1:N1]。 % 設定 n和 k ?WN= exp(j*2*pi/N)。 % 設定 Wn因子 ?nk= n39。*k。WNnk = WN.^nk。 % 計算 W矩陣 ?Xk= xn*WNnk。 % 計算 DFS的系數 Xk ?disp(xn)。disp(Xk)。 % 顯示計算結果 (系數 ) 程序運行結果為 ?0 1 2 3 ? +