【正文】 23 逆 Z變換 ? 逆 Z變換 : 由 X(z)及其收斂域求序列 x(n)的變換。 ? 討論：級數(shù) X(z)中沒有負冪項，|z|= 0時級數(shù)收斂，因此收斂域包括 0點，即為 0 ≤ |z| ＜ Rx+ 19 左邊序列（非因果）的收斂域 ? 當 n2＞ 0時，序列為非因果序列 22 1012( ) | ( ) | | ( ) | | ( ) |( ) ( )nnn n nn n nX z x n z x n z x n zX z X z?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ?? 顯然，當 z取 0外的有限值時，級數(shù) X2(z) 的值有限，而級數(shù) X1(z) 收斂。 | ( ) nx n z ? ?| ＜+ ||nz ? ?＜+ ||z ?0＜ ＜+x(n)有 界 開域 ? 邊界討論： z= 0及 z= ∞兩點是否也收斂與 n n2取值情況有關。 ( ) ( )nx n a u n?解： 序列 x(n)是因果序列，根據(jù) Z變換的定義 1001 1 2 1 3( ) ( ) ( )1 ( ) ( )n n n nn n nX z x n z a z a za z a z a z? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?分 析收斂性： X(z)是無窮項冪級數(shù)。 ? X(z)有一個 z= a的極點，但也有一個 z= a的零點，將零極點對消。 X(z)可用封閉形式表示 ? X(z)有一個 z= 1/a的極點，但也有一個 z= 0的零點 。 展開 X(z)得 解： 利用 ln(1+ x)，且 |x|＜ 1的冪級數(shù)公式 1( ) l n( 1 )X z az ???112311 1 ( 1 ) ( 1 )l n ( 1 ) ( 1 1 )23nnnnnx x x x x x xnn?? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ＜≤111( 1 )( ) l n ( 1 ) n nnnX z a z a zn???????? ? ? ?1( 1 )( ) ( )n nx n a u nn???由收斂域 |a|＜ |z|知 x(n)為右邊序列 注 : X(z)的閉合形式加上收斂域，才能唯一確定 x(n)。當 z=0時， X(z)趨近于有限值 0，說明收斂域包括 0點，因此是逆因果序列。 ? 由于 x(n)是 n≥0的有限長序列，收斂域是除 |z|= 0之外的全部 z平面。 j( 2 ) j( e ) ( e )XX? ? ?? ?46 序列傅里葉變換的性質 ? １．線性： 滿足疊加原理 jj1 2 1 2F [ ( ) ( ) ] ( e ) ( e )a x n b x n a X b X??? ? ?00j j( )F [ e ( ) ] ( e )n x n X? ? ??? j jF [ ( ) ] e ( e )kx n k X????? 2．序列的移位 ： ? 3．序列的調制 ： jd ( e )F [ ( ) ] jdXnx n ???? 4．序列乘以 n ： 47 序列傅里葉變換的性質 ? 5．序列的折疊： jF [ ( ) ] ( e )x n X ???jF [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] e nnx n y n x n y n ?? ?? ? ?? ? ??* * jF [ ( ) ] ( e )x n X ??? 6．序列的復共軛 ： ? 7．序列的卷積 ： j( ) ( )e nnkx k y n k ??? ?? ? ? ? ? ?????* * jF [ ( ) ] ( e )x n X ???j j j j( ) e ( ) e ( e ) ( e )knkmx k y m X Y? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ?????令 nk= m 48 序列的乘積 jF [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] e nnx n y n x n y n ?? ?? ? ??? ?? 8．序列的乘積 ： j j j1 (e )e d ( )e2nnnX y n? ? ? ?? ??? ??? ? ???? ?j j ( )1 (e )d ( )e2nnX y n? ? ? ?? ?? ? ???? ? ?? ??j j( )1 ( e ) ( e ) d2 XY? ? ? ?? ????? ?49 序列的乘積 2 j j1| ( ) | ( ) ( ) ( ) [ ( e ) e d ]2nn n nx n x n x n x n X? ??? ??? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? 8．帕斯瓦爾定理 ：能量守恒定理，表明信號在時域的總能量等于其頻域的總能量 jj1 ( e ) ( ) e d2nnX x n? ??? ?? ?? ??? ? ?? ??jj1 (e ) (e )d2 XX? ??? ????? ?j21 | (e ) | d2 X? ?? ?? ?? ?50 序列傅里葉變換的對稱性 ? 任何序列 x(n)總能表示為一個共軛對稱序列xe(n)和共軛反對稱序列 xo(n)之和 eo( ) ( ) ( )x n x n x n??**e e o o( ) ( ) , ( ) ( )x n x n x n x n? ? ? ? ?eo11( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]22x n x n x n x n x n x n??? ? ? ? ? ?? 定義 xe(n)和 xo(n) ? 序列 x(n)與 xe(n)和 xo(n)的關系 51 序列傅里葉變換的對稱性質 52 周期序列的傅里葉級數(shù)表示 ? 周期序列 定義 ： ? 周期序列 不是絕對可和 的： 在任何 z值下，其 Z變換都不收斂 ( ) ( ) , kx n x n k N?? 為任意整數(shù)? 周期序列的 傅里葉級數(shù)表示 2j( ) e knNkkx n a???? ? ?? ? （2 . 7 . 4 ）? ak: 傅里葉級數(shù)的系數(shù) ? 基頻序列 : e1(n) ? k次諧波序列 : ek(n) 2j1e (n)=enN?2je ( ) e knNk n??53 周期序列用離散傅里葉級數(shù)表示 ? 離散傅里葉級數(shù)只有 N個獨立諧波分量 : 因為復指數(shù)序列是 k的周期函數(shù) ? 周期序列 : 只取 k＝ 0到 N1的 N個獨立諧波分量足以表示原信號 54 周期序列的離散傅里葉級數(shù)變換對 ? DFS推導過程見 P63，得到變換對 : ? 離散傅里葉級數(shù)正變換 ? 離散傅里葉級數(shù)反變換 55 周期序列： 時域與頻域 ? 時域周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域也是周期序列 ? 周期序列與有限長序列之間本質聯(lián)系： 周期序列的信息可用它在一個周期中的 N個值來代表，式()與 ()中只取 N個序列值說明這一點。 解 ： 2j 44 ejW ?? ? ? 4 1 3400( ) ( ) ( j ) ( ) , 1 , 2 ,k n k nnnX k x n W x n k???? ? ? ? ? ???30( 0 ) ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 6nX x n x x x x?? ? ? ? ? ??因此得到，離散傅里葉級數(shù) {? ?e ?( ) ( e ) ( 2 . 8 9 )sT sT azX z X X s? ??? 當 時，取樣序列 xa(nT)的Ｚ變換等于取樣信號 的拉普拉斯變換。 a= [2,3,1]。極點 :39。)。 % 設定 n和 k ?WN= exp(j*2*p