【正文】 第二章 序列的 Z變換與傅里葉變換 2 本章目錄 ? 序列的 Z變換 ? 序列的傅里葉變換 ? 序列的 Z變換與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系 ? Matlab實(shí)現(xiàn) 3 引言 ? 信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法 : ? 時(shí)域 分析 ? 變換域 分析 ? 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) ? 信號(hào)用 時(shí)間 t的函數(shù) 表示 ? 系統(tǒng)用 微分方程 描述 ? 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) ? 信號(hào)用 序列 表示 ? 系統(tǒng)用 差分方程 描述 4 時(shí)域與頻域分析 傅里葉變換 時(shí)間域 頻率域 (復(fù)頻域 ) 拉普拉斯 變換 推 廣 傅里葉變換 時(shí)間域 頻率域 (復(fù)頻域 ) Z變換 推 廣 ? 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) ? 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 5 本章主要內(nèi)容 ? 序列的 Z變換 ? Z變換的主要性質(zhì) ? 序列的傅里葉變換 ? 傅里葉變換的主要性質(zhì) 6 序列的 Z變換 ? Z變換及其收斂域的 定義 ? 幾種序列 的 Z變換及其收斂域 ? 逆 Z變換 ? Z變換的 性質(zhì)和定理 ? 利用 Z變換 求解差分方程 7 Z變換及其收斂域的定義 ? 序列的 Z變換定義 ? 雙 邊 Z變 換 ( ) [ ( ) ] ( ) ( 2 . 1 )nnX z x n x n z?? ?? ? ?? ? ? ?? 單 邊 Z變 換 110( ) [ ( ) ] ( ) ( 2 . 2 )nnX z x n x n z?? ??? ? ? ?? 因果序列 的 Z變換 : 單 邊 Z變換可以看成因果序列情況下的雙邊 Z變換 8 Z平面與單位圓 ? 變量 z的極坐標(biāo)形式 ? Z平面 : Z變換定義 式中 z所在的復(fù)平面， z是一個(gè)連續(xù)復(fù)變量，具有實(shí)部和虛部 ? 單位圓 : ? 在 Z平面上 |z|= 1為半徑的圓 ? 單位圓上的參數(shù)可表示為 j| | ezz ??jez ??9 例 : 求序列的 Z變換 例 求序列 的 Z變換 。 ( ) ( )nx n a u n?解： 序列 x(n)是因果序列，根據(jù) Z變換的定義 1001 1 2 1 3( ) ( ) ( )1 ( ) ( )n n n nn n nX z x n z a z a za z a z a z? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?分 析收斂性： X(z)是無(wú)窮項(xiàng)冪級(jí)數(shù)。 1101( ) ( ) , | | | |1nnzX z a z z aa z z a?????? ? ???? ＞? X(z)可用封閉形式，即解析函數(shù)形式表示為 ? 當(dāng) |z|≤a時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng) |z|＞ |a|時(shí)級(jí)數(shù)收斂。 10 Z變換的收斂域 ? 根據(jù)級(jí)數(shù)理論，式 ()收斂的充分必要條件是滿足絕對(duì)可和條件，即 ? 收斂域 : 對(duì)于給定的任意序列 x(n)，使其 Z變換收斂的所有 z值的集合組成的區(qū)域。 ? 根據(jù)羅朗級(jí)數(shù)性質(zhì)，收斂域一般是某個(gè)環(huán)域 | ( ) |nnx n z???? ? ???? ＜? 收斂半徑 Rx可以小到 0， Rx+可以大到 ∞ ? 收斂域以原點(diǎn)為中心， Rx和 Rx+為半徑的環(huán)域 11 幾種序列的 Z變換及其收斂域 序列 x(n)的性質(zhì)決定了 X(z)的收斂域，不同形式的序列其收斂域不同 。 ? 有限長(zhǎng)序列： 0≤|z|＜ +∞ 或 0＜ |z|≤+∞ ? 右邊序列： Rx＜ |z|＜ +∞ ? 左邊序列： 0＜ |z|＜ Rx+ ? 雙邊序列： Rx ＜ |z|＜ Rx+ 12 有限長(zhǎng)序列 ? 有限長(zhǎng)序列只在有限區(qū)間 n1≤n≤n2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零 ? Z變換 21( ) ( )nnnnX z x n z ??? ?? 要求：在有限區(qū)間內(nèi)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都有界，則有限項(xiàng)的和有界，級(jí)數(shù)就收斂。 | ( ) nx n z ? ?| ＜+ ||nz ? ?＜+ ||z ?0＜ ＜+x(n)有 界 開域 ? 邊界討論： z= 0及 z= ∞兩點(diǎn)是否也收斂與 n n2取值情況有關(guān)。 （具體見教材 p40與例題） 13 例：求有限長(zhǎng) 序列的 Z變換 例 求序列 的 Z變換。 討論： ? 假設(shè) |a|是有限值，且 |a|＜ 1。 ? X(z)有一個(gè) z= a的極點(diǎn)，但也有一個(gè) z= a的零點(diǎn)，將零極點(diǎn)對(duì)消。 ? 收斂域?yàn)?0＜ |z|≤+∞。 解： 根據(jù) Z變換的定義 11111001 ( )( ) ( )1NNNn n nnnazX z a z a zaz?????????? ? ????( ) ( )n Nx n a R n?14 右邊序列 ? 右邊序列只在有限區(qū)間 n≥n1 內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零 ? Z變換 1( ) ( ) ( 2 . 5 )nnnX z x n z????? ?? 假設(shè)：級(jí)數(shù) ()在某個(gè)圓 |z|=|z1|上絕對(duì)收斂 11| ( ) |nnnx n z??????? ＜15 右邊序列（因果）的收斂域 假設(shè) ： z是圓外任意一點(diǎn)，即 |z|＞ |z1| ? 當(dāng) n1≥0時(shí)，序列為因果序列 111( ) | ( ) | | ( ) |nnn n n nX z x n z x n z? ? ? ?????? ? ??? ＜＜? 顯然，級(jí)數(shù) X(z) 收斂。 ? 討論：級(jí)數(shù) X(z)中沒有正冪項(xiàng)，|z|= +∞時(shí)級(jí)數(shù)收斂，因此收斂域包括 ∞點(diǎn)，即為 Rx＜ |z|≤+∞ 16 右邊序列（非因果）的收斂域 ? 當(dāng) n1＜ 0時(shí)，序列為非因果序列 111012( ) | ( ) | | ( ) | | ( ) |( ) ( )n n nn n n n nX z x n z x n z x n zX z X z? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?? 顯然，當(dāng) z取有限值時(shí)，級(jí)數(shù) X1(z) 的值有限，而級(jí)數(shù) X2(z) 收斂。所以，級(jí)數(shù) X(z)的收斂域是以 Rx為半徑的圓的外部區(qū)域，即 Rx＜ |z|＜ +∞ 17 左邊序列 ? 左邊序列只在有限區(qū)間 n≤n2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零 ? Z變換 2( ) ( ) ( 2 . 6 )nnnX z x n z ?? ? ?? ?? 假設(shè)：級(jí)數(shù) ()在某個(gè)圓 |z|=|z2|上絕對(duì)收斂 22| ( ) |nnnx n z ?? ? ???? ＜18 左邊序列（逆因果）的收斂域 假設(shè) ： z是圓內(nèi)任意一點(diǎn)，即 |z|＜ |z2| ? 當(dāng) n2≤ 0時(shí)，序列為逆因果序列 222| ( ) | | ( ) |nnnnnnx n z x n z??? ? ? ? ? ????? ＜＜? 顯然，級(jí)數(shù) X(z) 收斂。 ? 討論：級(jí)數(shù) X(z)中沒有負(fù)冪項(xiàng)，|z|= 0時(shí)級(jí)數(shù)收斂，因此收斂域包括 0點(diǎn)，即為 0 ≤ |z| ＜ Rx+ 19 左邊序列（非因果）的收斂域 ? 當(dāng) n2＞ 0時(shí)，序列為非因果序列 22 1012( ) | ( ) | | ( ) | | ( ) |( ) ( )nnn n nn n nX z x n z x n z x n zX z X z?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ?? 顯然，當(dāng) z取 0外的有限值時(shí)，級(jí)數(shù) X2(z) 的值有限，而級(jí)數(shù) X1(z) 收斂。所以，級(jí)數(shù) X(z)的收斂域是以 Rx+為半徑的圓的