【正文】 ，求各簡單分式的逆 Z變換，再相加得到 x(n)。 Z [ ( ) ] , 11zu n zz? ? ＞3213Z [ ( 3 ) ] , 111nnzzu n z zzz???? ???? ? ? ???? ＞222( ) Z [ ( ) ] Z [ ( 3 ) ]111X z x n x nz z z zz z z?? ? ??????33 Z變換性質(zhì) ? ２．序列的移位： Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( )n m k mnkx n m x n m z z x k z z X z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???證明 Z [ ( ) ] ( )mx n m z X z???? ３．乘以指數(shù)序列 ： 11Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )n n n nnna x n a x n z x n a z X a z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???證明 1Z [ ( ) ] ( )na x n X a z??34 Z變換性質(zhì) ? ４．序列的線性加權(quán) ： 1dd( ) ( ) ( ) ( )dd( ) [ ( ) ]nnnnnnz X z z x n z z n x n zzzn x n z Z n x n? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ??????證明 ? ? dZ [ ] ( )dn x n z X zz??? ５．序列的折疊 ： 11Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )nnnnx n x n z x n z X z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???證明 1 1 1Z [ ( ) ] ( ) , xxx n X z R z R? ? ????? ＜＜35 Z變換性質(zhì)－－初值定理 ? ６．初值定理 ： 若 x(n)是因果序列，即x(n)= 0， n＜ 0，則 120( ) ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( )nnnX z x n z x x z x z x n z?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??證明： x(n)是因果序列，有 (0 ) l i m ( )zx X z???(0 ) lim ( )zx X z???顯然 0(0 ) lim ( )zx X z??若 x(n)是逆因果序列，即 x(n)= 0， n＞ 0，有 36 Z變換性質(zhì)－－終值定理 ? ７．終值定理 ： 若 x(n)是因果序列，且 X(z)的全部極點(diǎn)，除在 z= 1處可以有一階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則 ? ?( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( ) ] nnz X z z X z X z Z x n x n x n x n z?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??證明：由 移位性質(zhì)可得 1l i m ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]nzx n z X z? ? ? ???1( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]n knkz X z x k x k z ??? ???? ? ? ??x(n)是因果序列，則 11l im [ ( 1 ) ( ) ] l im [ ( 1 ) ( ) ]l im { [ ( 0 ) 0 ] [ ( 1 ) ( 0 ) ] [ ( 1 ) ( ) ] }l im { ( 1 ) } l im ( )nznknnnz X z x k x kx x x x n x nx n x n? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??有 37 Z變換性質(zhì) ? ８．序列的卷積 ： W(z)= Z[x(n)*y(n)]= X(z) 56 例： 求周期序列的傅里葉級數(shù) 例 7 設(shè) { 1， 1， 1， 1， 0， 0， 0， 0， esTz?? ()axt59 s平面到 z平面的映射關(guān)系 ? 將 s平面用直角坐標(biāo)表示，即 s=σ+jΩ， z平面用極坐標(biāo)表示，代入式 ()中，得到 1e , l n ( 2 . 9 0 )sTz s zT??j ( j ) j0 e e e eT T Tr ? ? ?? ? ???? 因此 0 e,TrT? ?? ? ?? σ= 0時， r0= 1， s平面的 jΩ軸映射成 z平面的單位圓； ? σ＜ 0時， r0＜ 1， s平面的左半平面映射成 z平面的單位圓內(nèi)部； ? σ＞ 0時， r0＞ 1， s平面的右半平面映射成 z平面的單位圓外部； 60 序列的 Z變換與傅里葉變換的關(guān)系 ? 傅里葉變換是拉普拉斯變換在虛軸的特例，即 s＝ jΩ，因而映射到 z平面上為單位圓，代入式 ()得 j je ?( ) ( e ) ( j ) ( 2 . 9 4 )T T azX z X X? ? ?? ??? 取樣序列在單位圓上的Ｚ變換，等于其理想取樣信號的傅里葉變換 。 % 多項(xiàng)式的系數(shù) ?[r,p,c]= residuez(b,a)。)。 程序運(yùn)行結(jié)果為 ?留數(shù) : 1 1 ?極點(diǎn) : ?系數(shù)項(xiàng) : X(z)的部分分式形式 為 1111() 1 1 0 .5Xz zz??????逆 Z變換 為 ( ) ( ) ( 0. 5 ) ( )nx n u n u n??64 周期序列傅里葉級數(shù)的 Matlab實(shí)現(xiàn) ? DFS式 ()的矩陣形式 1 2 12 4 2 ( 1 )1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 ( 0)( 0)1 ( 1 )( 1 )1 ( 2. 99 )( 2)( 2)1 ( 1 )( 1 )NN N NNN N NN N N NN N NxXW W W xXX W W W W xxXW W W xNXN??? ? ? ??? ?? ???? ?? ???? ???? ??? ? ? ??? ?? ???? ???? ?? ????????? 由周期序列的 DFS定義， 0≤n≤N1， 0≤k≤N1，有 ? ?39。 % 設(shè)定 Wn因子 ?nk= n39。 % 顯示計(jì)算結(jié)果 (系數(shù) ) 程序運(yùn)行結(jié)果為 ?0 1 2 3 ? + 。k= [0:1:N1]。disp(c39。 % 顯示輸出參數(shù) ?disp(39。 2() 2 3 1zXzzz? ??12 1 20()2 3 1 2 3zzXzz z z z??????? ? ? ??b= [0,1]。邋 242。} 是一個以 N= 4為周期的周期序列，求離散傅里葉級數(shù)。 ? x(n)為實(shí)序列時，頻譜幅度在區(qū)間 0≤ω≤2π內(nèi)是偶對稱函數(shù)，相位是奇對稱函數(shù)。 ? 由于出現(xiàn)零極點(diǎn)抵消，收斂域增大了。 解： 收斂域是圓內(nèi)部，對應(yīng)左邊序列。 24 冪級數(shù)法 (長除法 ) 1 0 1 2( ) ( ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 . 8 )nnX z x n z x z x z x z x z??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? Z變換的定義可知 : X(z)是復(fù)變量 z1的冪級數(shù)，其系數(shù)是序列 x(n)的值 ? 顯見 : 只要在給定的收斂域內(nèi)，把 X(z)展開成冪級數(shù)，則級數(shù)的系數(shù)就是序列 x(n) ? X(z)展開成冪級數(shù)的方法 : ? log， sin， cos等函數(shù) : 利用冪級數(shù)公式 ? 有理分式 : 直接用長除法 25 例：冪級數(shù)法求逆 Z