【正文】 號(hào)與系統(tǒng) 5 本章主要內(nèi)容 ? 序列的 Z變換 ? Z變換的主要性質(zhì) ? 序列的傅里葉變換 ? 傅里葉變換的主要性質(zhì) 6 序列的 Z變換 ? Z變換及其收斂域的 定義 ? 幾種序列 的 Z變換及其收斂域 ? 逆 Z變換 ? Z變換的 性質(zhì)和定理 ? 利用 Z變換 求解差分方程 7 Z變換及其收斂域的定義 ? 序列的 Z變換定義 ? 雙 邊 Z變 換 ( ) [ ( ) ] ( ) ( 2 . 1 )nnX z x n x n z?? ?? ? ?? ? ? ?? 單 邊 Z變 換 110( ) [ ( ) ] ( ) ( 2 . 2 )nnX z x n x n z?? ??? ? ? ?? 因果序列 的 Z變換 : 單 邊 Z變換可以看成因果序列情況下的雙邊 Z變換 8 Z平面與單位圓 ? 變量 z的極坐標(biāo)形式 ? Z平面 : Z變換定義 式中 z所在的復(fù)平面， z是一個(gè)連續(xù)復(fù)變量，具有實(shí)部和虛部 ? 單位圓 : ? 在 Z平面上 |z|= 1為半徑的圓 ? 單位圓上的參數(shù)可表示為 j| | ezz ??jez ??9 例 : 求序列的 Z變換 例 求序列 的 Z變換 。 ? 根據(jù)羅朗級(jí)數(shù)性質(zhì)，收斂域一般是某個(gè)環(huán)域 | ( ) |nnx n z???? ? ???? ＜? 收斂半徑 Rx可以小到 0， Rx+可以大到 ∞ ? 收斂域以原點(diǎn)為中心， Rx和 Rx+為半徑的環(huán)域 11 幾種序列的 Z變換及其收斂域 序列 x(n)的性質(zhì)決定了 X(z)的收斂域，不同形式的序列其收斂域不同 。 討論： ? 假設(shè) |a|是有限值，且 |a|＜ 1。 ? 討論：級(jí)數(shù) X(z)中沒(méi)有正冪項(xiàng)，|z|= +∞時(shí)級(jí)數(shù)收斂，因此收斂域包括 ∞點(diǎn)，即為 Rx＜ |z|≤+∞ 16 右邊序列（非因果）的收斂域 ? 當(dāng) n1＜ 0時(shí)，序列為非因果序列 111012( ) | ( ) | | ( ) | | ( ) |( ) ( )n n nn n n n nX z x n z x n z x n zX z X z? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?? 顯然，當(dāng) z取有限值時(shí)，級(jí)數(shù) X1(z) 的值有限，而級(jí)數(shù) X2(z) 收斂。 解： 討論： ? 當(dāng) |az|＜ 1，即 |z|＜ 1/|a|時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。 ? 如果滿(mǎn)足 RxRx+ ，則 X(z)的收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域，即 Rx＜ |z|＜ Rx+ ； ?如果滿(mǎn)足 Rx≥Rx+，則 X(z)無(wú)收斂域。 24 冪級(jí)數(shù)法 (長(zhǎng)除法 ) 1 0 1 2( ) ( ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 . 8 )nnX z x n z x z x z x z x z??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? Z變換的定義可知 : X(z)是復(fù)變量 z1的冪級(jí)數(shù)，其系數(shù)是序列 x(n)的值 ? 顯見(jiàn) : 只要在給定的收斂域內(nèi)，把 X(z)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列 x(n) ? X(z)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法 : ? log， sin， cos等函數(shù) : 利用冪級(jí)數(shù)公式 ? 有理分式 : 直接用長(zhǎng)除法 25 例：冪級(jí)數(shù)法求逆 Z變換 例 求 ， |a|＜ |z| 的逆 Z變換。 27 例：長(zhǎng)除法 X(z) 降冪排列 例 求 ， |z|＞ 3的逆 Z變換。 解： 收斂域是圓內(nèi)部，對(duì)應(yīng)左邊序列。 30 部分分式系數(shù)的計(jì)算 ? 當(dāng) M＜ N且 X(z)只有一階極點(diǎn)時(shí)，則 11( ) ( 2 . 1 0 )1N kk kAXzdz ??? ??? 由留數(shù)定理 1( 1 ) ( ) | (2 . 1 1 )kk k z dA d z X z? ???? 當(dāng) M≥N且 X(z)除有一階極點(diǎn)外，在 z= di處還具有 s階極點(diǎn)，則 110 1 1( ) ( 2 . 1 2 )1 ( 1 )M N N s srkmr mr k mkiAcX z B zd z d z?? ???? ? ?? ? ???? ? ?? 式中， Br用長(zhǎng)除法得到，系數(shù) cm由式 ()得到 110 1 1( ) ( 2 . 1 3 )1 ( 1 )M N N s sr kmr mr k mkiAcX z B zd z d z?? ???? ? ?? ? ???? ? ?31 例：部分分式法求逆 Z變換 例 用部分分式法求逆 Z變換。 ? 由于出現(xiàn)零極點(diǎn)抵消，收斂域增大了。 39 利用 Z變換求解差分方程 ? N階線性常系數(shù)差分方程 ? 時(shí)域求解 Z變換 移位性質(zhì) ? Z變換求解 差分方程 代數(shù)方程 Z變換式 輸出序列 逆 Z變換 解方程 40 例： Z變換 求差分方程 例 5 已知一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的差分方程 y(n)= ay(n1)+ x(n)，設(shè)初始條件 y(1)= 2，輸入 時(shí)系統(tǒng)的輸出序列。 ? x(n)為實(shí)序列時(shí)，頻譜幅度在區(qū)間 0≤ω≤2π內(nèi)是偶對(duì)稱(chēng)函數(shù)，相位是奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)。} 是一個(gè)以 N= 4為周期的周期序列，求離散傅里葉級(jí)數(shù)。 6， 2+2j， 2， 22j， 6，2+2j， 2， 22j， 邋 242。 10111 1001()( ) ( 2 . 9 8 )( ) 1M N M N kMk kN kkNkb b z b z RBzX z C za a z a z A z p z?? ? ?? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? 函數(shù) residuez基本調(diào)用方式 : [r,p,c]= residuez(b,a)。 2() 2 3 1zXzzz? ??12 1 20()2 3 1 2 3zzXzz z z z??????? ? ? ??b= [0,1]。留數(shù) :39。 % 顯示輸出參數(shù) ?disp(39。)。disp(c39。()( ) ( 2 . 1 0 1 )nkNX W x W x?? ? ? ?65 例：計(jì)算 周期序列 離散傅里葉級(jí)數(shù) 例 計(jì)算 以 N= 4為周期進(jìn)行周期延拓 ，求周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù) 。k= [0:1:N1]。WNnk = WN.^nk。 % 顯示計(jì)算結(jié)果 (系數(shù) ) 程序運(yùn)行結(jié)果為 ?0 1 2 3 ? + 。 % 計(jì)算 DFS的系數(shù) Xk ?disp(xn)。 % 設(shè)定 Wn因子 ?nk= n39。N= 4。 程序運(yùn)行結(jié)果為 ?留數(shù) : 1 1 ?極點(diǎn) : ?系數(shù)項(xiàng) : X(z)的部分分式形式 為 1111() 1 1 0 .5Xz zz??????逆 Z變換 為 ( ) ( ) ( 0. 5 ) ( )nx n u n u n??64 周期序列傅里葉級(jí)數(shù)的 Matlab實(shí)現(xiàn) ? DFS式 ()的矩陣形式 1 2 12 4 2 ( 1 )1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 ( 0)( 0)1 ( 1 )( 1 )1 ( 2. 99 )( 2)( 2)1 ( 1 )( 1 )NN N NNN N NN N N NN N NxXW W W xXX