【正文】 求序列 的 Z變換。第二章 序列的 Z變換與傅里葉變換 2 本章目錄 ? 序列的 Z變換 ? 序列的傅里葉變換 ? 序列的 Z變換與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系 ? Matlab實(shí)現(xiàn) 3 引言 ? 信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法 : ? 時(shí)域 分析 ? 變換域 分析 ? 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) ? 信號(hào)用 時(shí)間 t的函數(shù) 表示 ? 系統(tǒng)用 微分方程 描述 ? 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) ? 信號(hào)用 序列 表示 ? 系統(tǒng)用 差分方程 描述 4 時(shí)域與頻域分析 傅里葉變換 時(shí)間域 頻率域 (復(fù)頻域 ) 拉普拉斯 變換 推 廣 傅里葉變換 時(shí)間域 頻率域 (復(fù)頻域 ) Z變換 推 廣 ? 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) ? 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 5 本章主要內(nèi)容 ? 序列的 Z變換 ? Z變換的主要性質(zhì) ? 序列的傅里葉變換 ? 傅里葉變換的主要性質(zhì) 6 序列的 Z變換 ? Z變換及其收斂域的 定義 ? 幾種序列 的 Z變換及其收斂域 ? 逆 Z變換 ? Z變換的 性質(zhì)和定理 ? 利用 Z變換 求解差分方程 7 Z變換及其收斂域的定義 ? 序列的 Z變換定義 ? 雙 邊 Z變 換 ( ) [ ( ) ] ( ) ( 2 . 1 )nnX z x n x n z?? ?? ? ?? ? ? ?? 單 邊 Z變 換 110( ) [ ( ) ] ( ) ( 2 . 2 )nnX z x n x n z?? ??? ? ? ?? 因果序列 的 Z變換 : 單 邊 Z變換可以看成因果序列情況下的雙邊 Z變換 8 Z平面與單位圓 ? 變量 z的極坐標(biāo)形式 ? Z平面 : Z變換定義 式中 z所在的復(fù)平面， z是一個(gè)連續(xù)復(fù)變量，具有實(shí)部和虛部 ? 單位圓 : ? 在 Z平面上 |z|= 1為半徑的圓 ? 單位圓上的參數(shù)可表示為 j| | ezz ??jez ??9 例 : 求序列的 Z變換 例 求序列 的 Z變換 。 解： 討論： ? 當(dāng) |az|＜ 1，即 |z|＜ 1/|a|時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。 解： 收斂域是圓內(nèi)部，對(duì)應(yīng)左邊序列。 ? x(n)為實(shí)序列時(shí)，頻譜幅度在區(qū)間 0≤ω≤2π內(nèi)是偶對(duì)稱函數(shù)，相位是奇對(duì)稱函數(shù)。 2() 2 3 1zXzzz? ??12 1 20()2 3 1 2 3zzXzz z z z??????? ? ? ??b= [0,1]。disp(c39。 % 顯示計(jì)算結(jié)果 (系數(shù) ) 程序運(yùn)行結(jié)果為 ?0 1 2 3 ? + 。 程序運(yùn)行結(jié)果為 ?留數(shù) : 1 1 ?極點(diǎn) : ?系數(shù)項(xiàng) : X(z)的部分分式形式 為 1111() 1 1 0 .5Xz zz??????逆 Z變換 為 ( ) ( ) ( 0. 5 ) ( )nx n u n u n??64 周期序列傅里葉級(jí)數(shù)的 Matlab實(shí)現(xiàn) ? DFS式 ()的矩陣形式 1 2 12 4 2 ( 1 )1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 ( 0)( 0)1 ( 1 )( 1 )1 ( 2. 99 )( 2)( 2)1 ( 1 )( 1 )NN N NNN N NN N N NN N NxXW W W xXX W W W W xxXW W W xNXN??? ? ? ??? ?? ???? ?? ???? ???? ??? ? ? ??? ?? ???? ???? ?? ????????? 由周期序列的 DFS定義， 0≤n≤N1， 0≤k≤N1，有 ? ?39。 % 多項(xiàng)式的系數(shù) ?[r,p,c]= residuez(b,a)。 1， 1， 1， 1， 0， 0， 0， 0， 56 例： 求周期序列的傅里葉級(jí)數(shù) 例 7 設(shè) {把 X(z)的分子分母按 z的升冪排列 1123()(1 3 )zXzz??? ?1213()9 6 1zXzzz???? ??12 3 41 2 1 4( ) ( ) 33 9 9 8 1 nnnX z z z z z n z? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??長(zhǎng)除運(yùn)算，得 由此得到 ( ) 3 ( 1 )nx n n u n?? ? ? ? ?29 部分分式展開法 1001100 1( 1 )()( ) ( 2 . 9 )() ( 1 )MMkkkkkNNkk kk kb c zbzPzXzQz az a d z????? ?? ??? ? ????? ?? 方法：如果有理分式 X(z) 是兩個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 P(z)和 Q(z)的比，展開成部分分式，求各簡(jiǎn)單分式的逆 Z變換，再相加得到 x(n)。 1122( ) ( )( 1 )n n nnnX z a z azaz az a z? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ?????( ) ( 1 )nx n a u n?? ? ?( ) , | | 1 / | |1 azX z z aaz? ? ＜21 雙邊序列 ? 雙邊序列指 n從 ∞到 +∞都具有非零的有限值，可看成右邊序列和左邊序列的和 ? Z變換 1210( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 2 .7 )nnnnnnX z x n z X z X zx n z x n z???? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ??????? 討論： X1(z) 收斂域?yàn)?0＜ |z|＜ Rx+；X2(z)收斂域?yàn)?Rx＜ |z|＜ +∞。 1101( ) ( ) , | | | |1nnzX z a z z aa z z a?????? ? ???? ＞? X(z)可用封閉形式，即解析函數(shù)形式表示為 ? 當(dāng) |z|≤a時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng) |z|＞ |a|時(shí)級(jí)數(shù)收斂。所以，級(jí)數(shù) X(z)的收斂域是以 Rx為半徑的圓的外部區(qū)域，即 Rx＜ |z|＜ +∞ 17 左邊序列 ? 左邊序列只在有限區(qū)間 n≤n2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零 ? Z變換 2( ) ( ) ( 2 . 6 )nnnX z x n z ?? ? ?? ?? 假設(shè)：級(jí)數(shù) ()在某個(gè)圓 |z|=|z2|上絕對(duì)收斂 22| ( ) |nnnx n z ?? ? ???? ＜18 左邊序列（逆因果）的收斂域 假設(shè) ： z是圓內(nèi)任意一點(diǎn)，即 |z|＜ |z2| ? 當(dāng) n2≤ 0時(shí)，序列為逆因果序列 222| ( ) | | ( ) |nnnnnnx n z x n z??? ? ? ? ? ????? ＜＜? 顯然，級(jí)數(shù) X(z) 收斂。 解： 收斂域是圓外部，對(duì)應(yīng)右邊序列。 解 ： ( ) ( )nx n b u n?112 ( )( ) [ ( ) ( 1 ) ] ( ) ( )1a X zY z a z Y z y z X z Y zaz???? ? ? ? ? ??11( ) ( ) ( )1nx n b u n X zbz ?? ? ? ?于是 1 1 121()1 ( 1 ) ( 1 )aYzaz az bz? ? ???