【正文】 內(nèi)部區(qū)域，即 0＜ |z|＜ Rx+ 20 例：求左邊 序列的 Z變換 例 求序列 的 Z變換。 解： 討論： ? 當(dāng) |az|＜ 1，即 |z|＜ 1/|a|時，級數(shù)收斂。 X(z)可用封閉形式表示 ? X(z)有一個 z= 1/a的極點，但也有一個 z= 0的零點 。 1122( ) ( )( 1 )n n nnnX z a z azaz az a z? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ?????( ) ( 1 )nx n a u n?? ? ?( ) , | | 1 / | |1 azX z z aaz? ? ＜21 雙邊序列 ? 雙邊序列指 n從 ∞到 +∞都具有非零的有限值，可看成右邊序列和左邊序列的和 ? Z變換 1210( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 2 .7 )nnnnnnX z x n z X z X zx n z x n z???? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ??????? 討論： X1(z) 收斂域為 0＜ |z|＜ Rx+；X2(z)收斂域為 Rx＜ |z|＜ +∞。雙邊序列Z變換的收斂域是公共部分。 ? 如果滿足 RxRx+ ，則 X(z)的收斂域為環(huán)狀區(qū)域，即 Rx＜ |z|＜ Rx+ ； ?如果滿足 Rx≥Rx+，則 X(z)無收斂域。 22 例：求雙邊 序列的 Z變換 例 己知序列 討論： ? 極點為 z1= a和 z2= b ? 零點為 z1= 0和 z2= (a+b)/2 ? 收斂域為環(huán)域 a＜ |z|＜ b 解： 10( ) ( )( 2 )( ) ( )n n n n nn n nX z x n z b z a zz z z z a bz a z b z a z b? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ?,0(),0nnanxnbn???? ???≥＜如果 0＜ a＜ b，求其 Z變換及其收斂域。 23 逆 Z變換 ? 逆 Z變換 : 由 X(z)及其收斂域求序列 x(n)的變換。 ? 求逆 Z變換的方法 : ? 冪級數(shù)法 (長除法 ) ? 部分分式展開法 ? 圍線積分法。 24 冪級數(shù)法 (長除法 ) 1 0 1 2( ) ( ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 . 8 )nnX z x n z x z x z x z x z??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? Z變換的定義可知 : X(z)是復(fù)變量 z1的冪級數(shù)，其系數(shù)是序列 x(n)的值 ? 顯見 : 只要在給定的收斂域內(nèi)，把 X(z)展開成冪級數(shù)，則級數(shù)的系數(shù)就是序列 x(n) ? X(z)展開成冪級數(shù)的方法 : ? log， sin， cos等函數(shù) : 利用冪級數(shù)公式 ? 有理分式 : 直接用長除法 25 例：冪級數(shù)法求逆 Z變換 例 求 ， |a|＜ |z| 的逆 Z變換。 展開 X(z)得 解： 利用 ln(1+ x)，且 |x|＜ 1的冪級數(shù)公式 1( ) l n( 1 )X z az ???112311 1 ( 1 ) ( 1 )l n ( 1 ) ( 1 1 )23nnnnnx x x x x x xnn?? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ＜≤111( 1 )( ) l n ( 1 ) n nnnX z a z a zn???????? ? ? ?1( 1 )( ) ( )n nx n a u nn???由收斂域 |a|＜ |z|知 x(n)為右邊序列 注 : X(z)的閉合形式加上收斂域，才能唯一確定 x(n)。 26 長除法 : 展開有理分式 X(z) ? 使用前判定對應(yīng) x(n) 類型 : 由收斂域確定 ? 右邊序列 (或因果序列 ) ? 左邊序列 (或逆因果序列 )。 ? 根據(jù) x(n) 類型展開 X(z) ? 右邊序列 : X(z)展成負(fù)冪級數(shù)，分子分母應(yīng)按 z的降冪排列 ? 左邊序列 : X(z)展成正冪級數(shù)，分子分母應(yīng)按 z的升冪排列。 27 例：長除法 X(z) 降冪排列 例 求 ， |z|＞ 3的逆 Z變換。 解： 收斂域是圓外部，對應(yīng)右邊序列。當(dāng) z→∞ 時， X(z)趨近于有限值 0，說明收斂域包括 ∞點，因此是因果序列。把 X(z)的分子分母按 z的降冪排列 1123()(1 3 )zXzz??? ?1123()1 6 9zXzzz???? ??1 2 2 3 3 4 40( ) 0 3 2 3 3 3 4 3 3 nnnX z z z z z n z??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??長除運算，得 由此得到 ( ) 3 ( )nx n n u n??28 例：長除法 X(z) 升 冪排列 例 求 ， |z|＜ 3的逆 Z變換。 解： 收斂域是圓內(nèi)部，對應(yīng)左邊序列。當(dāng) z=0時， X(z)趨近于有限值 0，說明收斂域包括 0點，因此是逆因果序列。把 X(z)的分子分母按 z的升冪排列 1123()(1 3 )zXzz??? ?1213()9 6 1zXzzz???? ??12 3 41 2 1 4( ) ( ) 33 9 9 8 1 nnnX z z z z z n z? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??長除運算，得 由此得到 ( ) 3 ( 1 )nx n n u n?? ? ? ? ?29 部分分式展開法 1001100 1( 1 )()( ) ( 2 . 9 )() ( 1 )MMkkkkkNNkk kk kb c zbzPzXzQz az a d z????? ?? ??? ? ????? ?? 方法：如果有理分式 X(z) 是兩個實系數(shù)多項式 P(z)和 Q(z)的比，展開成部分分式，求各簡單分式的逆 Z變換，再相加得到 x(n)。 ? 式中， ? ck是 X(z)的非零零點， dk是 X(z)的非零極點 ? P(z)和 Q(z)的階次分別為 M和 N。 30 部分分式系數(shù)的計算 ? 當(dāng) M＜ N且 X(z)只有一階極點時，則 11( ) ( 2 . 1 0 )1N kk kAXzdz ??? ??? 由留數(shù)定理 1( 1 ) ( ) | (2 . 1 1 )kk k z dA d z X z? ???? 當(dāng) M≥N且 X(z)除有一階極點外，在 z= di處還具有 s階極點，則 110 1 1( ) ( 2 . 1 2 )1 ( 1 )M N N s srkmr mr k mkiAcX z B zd z d z?? ???? ? ?? ? ???? ? ?? 式中， Br用長除法得到，系數(shù) cm由式 ()得到 110 1 1( ) ( 2 . 1 3 )1 ( 1 )M N N s sr kmr mr k mkiAcX z B zd z d z?? ???? ? ?? ? ???? ? ?31 例：部分分式法求逆 Z變換 例 用部分分式法求逆 Z變換。 求得系數(shù)為 解： 收斂域為圓外，右邊序列。 z→∞ 時， X(z)趨近于有限值 1，確定是因果序列。 X(z)有兩個一階極點： z1= 2和 z2= 111( ) , | | 2( 1 2 ) ( 1 )X z zzz??? ?? ＞1211()