【正文】 . . , 1N j k nNnX k D F T x n x n e k N?? ??? ? ? ??210( ) [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , . . . . . . , 1mN j k nmNnY k D F T y n y n e k m N?? ??? ? ? ??( ) , 0 1()0 , 1x n n NynN n m N? ? ???? ? ? ??210()( ), 0 kNjnNmnx n ekkXmmkm?????????? ?? ????整 數(shù)， 整 數(shù)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 離散傅里葉變換的基本性質(zhì) 線性性質(zhì) 如果 x1(n)和 x2(n)是兩個(gè)有限長(zhǎng)序列， 長(zhǎng)度分別為 N1和 N2。 若 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中 a、 b為常數(shù) . 取 N=max［ N1, N2］ ， 則 y(n)的 N點(diǎn) DFT為 其中 X1(k)和 X2(k)分別為 x1(n)和 x2(n)的 N點(diǎn) DFT。 Y(k)=DFT［ y(n)］ =aX1(k)+bX2 (k), 0≤k≤N1 () 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 設(shè) x(n)為有限長(zhǎng)序列 ， 長(zhǎng)度為 N， 則 x(n)的循環(huán)移位定義為 y(n)=x((n+m))NRN(n) () 循環(huán)移位性質(zhì) 1. 序列的循環(huán)移位 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 2 0 2 4 600 . 51n x(n) 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 600 . 512 0 2 4 600 . 512 0 2 4 600 . 51n ()xn0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 … … 2 0 2 4 600 . 512 0 2 4 600 . 512 0 2 4 600 . 51n ( 2 )xn ?0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 … … 圖 循環(huán)移位過(guò)程示意圖 (N=8) 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 2 0 2 4 600 . 512 0 2 4 601n ( ( 2) ) ( )NNx n R n?0 1 2 3 4 5 6 7 圖 循環(huán)移位過(guò)程示意圖 (N=8) （續(xù)） 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 2. 時(shí)域循環(huán)移位定理 設(shè) x(n) 是長(zhǎng)度為 N的有限長(zhǎng)序列， y(n)為 x(n)的循環(huán)移位， 即 y(n)=x((n+m))NRN(n) ( ) [ ( ) ] ( )kmNY k D F T y n W X k???則 () 其中 X(k)=DFT［ x(n)］ , 0≤k≤N1。 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 如果 X(k)=DFT［ x(n)］ , 0≤k≤N1 Y(k)=X((k+l))NRN(k) 3. 頻域循環(huán)移位定理 則 （ ) ( ) [ ( ) ] ( )nlNy n I D F T Y k W x n??第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 循環(huán)卷積定理 有限長(zhǎng)序列 x1(n)和 x2(n)， 長(zhǎng)度分別為 N1和 N2，取 N=max［ N1, N2 ］。 x1(n)和 x2(n)的 N點(diǎn) DFT分別為 : X1(k)=DFT［ x1(n) X2(k)=DFT［ x2(n)］ 如果 X(k)=X1(k)X2(k) 1210( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ( ) ) ] ( )NNNmx n I D F T X k x m x n m R n??? ? ??或 1120( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ( ) ) ] ( )NNNmx n I D F T X k x m x n m R n??? ? ??() 則 一般稱 ()式所表示的運(yùn)算為 x1(n)與 x2(n)的循環(huán)卷積。 一、時(shí)域循環(huán)卷積定理： 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 證明： 直接對(duì) ()式兩邊進(jìn)行 DFT 111200111200( ) [ ( ) ][ ( ) ( ( ) ) ( ) ]( ) ( ( ) )NNknN N NnmNNknNNmnX k D F T x nx m x n m R n Wx m x n m W????????????????? 令 nm=n′， 則有 11()12011120( ) ( ) ( ( ) )( ) ( ( ) )N N mk n mNNm n mN N mk m k nN N Nm n mX k x m x n Wx m W x n W? ? ????? ? ?? ? ???? ? ????????? 因?yàn)樯鲜街? ， 以 N為周期 ， 所以對(duì)其在任一個(gè)周期上求和的結(jié)果不變 。 2 ( ( ) ) knNNx n W ??第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 12( ) ( ) ( ) , 0 1X k X k X k k N? ? ? ?111200( ) ( ) ( )NNk m k nNNmnX k x m W x n W???????? ??因此 即循環(huán)卷積亦滿足交換律。 )())(()(1021 nRmnxmx NNNm?? ???記為 )()()( 21 nxnxnx ??1221( ) [ ( )] ( ) ( )( ) ( )x n ID F T X k x n x nx n x n? ? ???()式的循環(huán)卷積過(guò)程如圖 . 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X x2(m)周期化 , 形成 x2((m))N, 再反轉(zhuǎn)形成 x2((m))N, 取主值序列 x2((m))NRN(m). 稱之為 x2(m)的循環(huán)反轉(zhuǎn) . ,求和變量為 m, n為參變量 . n ( m )0 1 2 3 4 5 6 7x2( n )n0 711x2( ( m ) )NRN( m )0 71m1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61()xn 1()xm第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X n=0,1,2,….. N1時(shí) ,分別將x1(m)與 x2((nm))NRN(m)相乘 ,并對(duì) m在 0~(N1)區(qū)間上求和 ,便得到 x1(n)與 x2(n)的循環(huán)卷積 x(n). x2(m)的循環(huán)反轉(zhuǎn)序列 x2((m))NRN(m)移位 n, 形成 x2((nm))NRN(m). x2( ( 1 m ) )NRN( m )0 71mx2( ( 2 m ) )NRN( m )0 1 2 3 4 5 6 71m0 1 2 3 4 5 6 7n1234x ( n )1 2 3 4 5 6 圖 循環(huán)卷積過(guò)程示意圖 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X )2()()(),(2)( 4 ???? nnnxnRnh ??)()()( nxnhny l ??)5(2)4(2)1(2)(2 ??????? nnnn ????例 循環(huán)卷積的長(zhǎng)度與結(jié)果的關(guān)系 設(shè) (1) (2) 4)()()( ??? Nnxnhny c????3044 )())(()(mnRmnhmx0?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X (3) 6)()()( ??? Nnxnhny c????5066 )())(()(mnRmnhmx2 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 4) 2 ( 5 )n n n n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 0 n … … )(~nh N=4 n 0 … … )(~ nh N=6 )(~ mh ?0 m … … N=6 h(n) 0 n 2 n 1 x(n) 0 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 如果 x(n)=x1(n)x2(n) 則 X1(k)=DFT［ x1(n)］ X2(k)=DFT［ x2(n)］ 0≤k≤N1 二、頻域循環(huán)卷積定理： 2112101( ) ( ) ( )1( ) ( ( ) ) ( )NNNlX k X k X kNX l X k l R kN???????1211201( ) [ ( ) ] ( ) ( )1( ) ( ( ) ) ( )NNNlX k D F T x n X k X kNX l X k l R kN??? ? ????或 其中 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 則 DFT［ x*(n)］ =X*(Nk), 0≤k≤N1 () 且 X(N)=X(0) 復(fù)共軛序列的 DFT 設(shè) x*(n)是 x(n)的復(fù)共軛序列， 長(zhǎng)度為 N X(k)=DFT［ x(n)］ 同樣可以得到 DFT［ x*(Nn)］ =X*(k), 0≤k≤N1 () 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 則二者滿足如下定義式： xep(n)=x*ep(Nn), 0≤n≤N1 () xop(n)= x*op(Nn), 0≤n≤N1 () DFT的共軛對(duì)稱性 1. 有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列 用 xep(n)和 xop(n)分別表示有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列 . 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)