【正文】 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 離散傅里葉變換的定義 離散傅里葉變換的基本性質(zhì) 頻率域采樣 DFT的應(yīng)用舉例 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 本章在序列傅里葉變換（ DTFT）及 z變換基礎(chǔ)上講述離散傅里葉變換（ DFT）， DFT使信號的頻域離散化。 引言 已經(jīng)學(xué)習(xí)過的幾個(gè)變換： 非周期序列的傅里葉變換（ DTFT） 序列的 Z變換 周期序列的傅里葉級數(shù)（ DFS） 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 非周期序列的傅里葉變換（ DTFT） : ( ) ( )j j nnX e x n e????? ? ?? ???? ?? ?? ?? deeXnx njj )(2 1)(序列的 Z變換 1( ) ( ) ,1( ) ( ) , ( , )2nxxnnxxcX z x n z R z Rx n X z z d z c R Rj?????? ?????? ? ??????c周期序列的傅里葉級數(shù)（ DFS） : 210210( ) [ ( ] ( ) 1( ) [ ( ) ] ( ) Nj k nNnNj k nNnX k DFS x n x n e kx n I DFS X k X k e nN???????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 離散傅里葉變換的定義 DFT的定義 設(shè) x(n)是一個(gè)長度為 M的有限長序列， 則定義 x(n)的 N點(diǎn)離散傅里葉變換為 1,... ...1,0,)()]([)(10???? ???NkWnxnxD F TkXNnknN() X(k)的離散傅里葉逆變換為 1,......1,0,)(1)]([)(10???? ???? NnWkXNkXID F TnxNkknN() N稱為 DFT變換區(qū)間長度 ,N≥M. 式中， NjN eW?2??第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 重要公式 : ????????? ????為整數(shù)為整數(shù)MMNnmMMNnmeNNknmkNj,0,11 10)(2 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 例 x(n)=R4(n) ，求 x(n)的 8點(diǎn)和 16點(diǎn) DFT 。 (1)變換區(qū)間 N=8， 則 2738800( ) ( ) j k nknnnX k x n W e????????kjkjkjkjkjkjkjkjeeeeeeee8822828248211??????????????????????解 : 7, ... ...1,0,)8s i n()2s i n(83???kkkekj???第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X (2) 變換區(qū)間 N=16， 則 ? ?? ????1503016216)()(n nknjkneWnxkX?kjkjkjkjkjkjkjkjeeeeeeee161644164162416211??????????????????????15, .. .. ..1,0,)16s i n ()4s i n (163???kkkekj???第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 0 1 2 3 4 5 6 700 . 511 . 5n()xn7 8 9 10 11 12 13 14 15 1601234()Xkk0 1 2 3 4 5 6 7 16 18 20 22 24 26 28 30 3201234()Xkk0 2 4 6 8 10 12 14 N=8 N=16 s i n ( )4()s i n ( )16 0 , 1 , ......15kXkkk????s i n( )2()s i n( )8 0 , 1 , ......7kXkkk????x(n)=R4(n) 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 設(shè)序列 x(n)的長度為 N， 其 Z變換 、 DFT和 DTFT分別為： 1021010( ) [ ( ) ] ( )( ) [ ( ) ] ( ) 0 1( ) [ ( ) ] ( )NnnNj k nNnNj j nnX z Z T x n x n zX k DFT x n x n e k NX e DT FT x n x n e??????????????? ? ? ?????? DFT和 z變換的關(guān)系 比較上面三式可得關(guān)系式 22( ) ( ) , 0 1 ( )( ) ( ) , 0 1 ( )jkNzejkNX k X z k NX k X e k N??????? ? ?? ? ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X X(k)是 在 區(qū)間的 N點(diǎn)等間隔采樣，是 X(z)在單位圓上 的 N點(diǎn)等間隔采樣。 ()jXe? [0, 2 ]?[0, 2 ]? 是 X(z)在單位圓上的值。 ()jXe ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1601234()Xkk0 1 2 3 4 5 6 7 N=8 16 18 20 22 24 26 28 30 3201234()Xkk0 2 4 6 8 10 12 14 N=16 s i n( )2()s i n( )8 0 , 1 , ......7kXkkk????s i n ( )4()s i n ( )16 0 , 1 , ......15kXkkk????7 8 9 10 11 12 13 14 15 1601234()jXe???2? 2?32?0 )2/s i n()2/4s i n()(??? ??jeX圖 X(k)與 X(e jω)的關(guān)系 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 左圖為 4點(diǎn)矩形信號的 Z變換（局部），紅色的曲線為 4點(diǎn)矩形信號的DTFT，曲線上的黑色標(biāo)記為 4點(diǎn)矩形信號的 8點(diǎn) DFT。 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 左圖為 4點(diǎn)矩形信號的 Z變換，紅色的曲線為 4點(diǎn)矩形信號的DTFT。 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X DFT的隱含周期性 對任意整數(shù) m， 總有 均為整數(shù) NmkWeeW mNkNmNkNjkNjkN ,)()(22???? ?????knNW由于 的周期性 ， 使 ()式和 ()式中的 X(k)隱含周期性 ， 且周期均為 N。 所以 ()式中 ， X(k)滿足 1()010( ) ( )( ) ( )Nk m N nNnNknNnX k m N x n Wx n W X k???????????第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 同理可證明 ()式中 x(n+mN)=x(n) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )mNx n x n m Nx n x n R n?? ? ?????? 實(shí)際上， 任何周期為 N的周期序列 都可以看作長度為 N的有限長序列 x(n)的周期延拓序列， 而 x(n)則是 的一個(gè)周期， 即 )(~ nx)(~ nx 一般定義周期序列 中從 n=0到 N1的第一個(gè)周期為 的主值區(qū)間 。主值區(qū)間上的序列稱為 的主值序列 . )(~ nx)(~ nx)(~ nx第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 2 0 2 4 600 . 51n x(n) 0 1 2 3 4 5 6 圖 有限長序列及其周期延拓 2 0 2 4 600 . 512 0 2 4 600 . 512 0 2 4 600 . 51n x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 … … 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 式中 x((n))N表示 x(n)以 N為周期的周期延拓序列 , ((n))N表示 n對 N求余 . 為了以后敘述方便， 將 ()式用如下形式表示： ( ) ( ( ) ) ( .7)Nx n x n? 則有 ~7~5( 7 ) ( ( 7 ) ) ( 0)( 6) ( ( 6) ) ( 1 )x x xx x x??? ? ? ?所得結(jié)果符合圖 。 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N1， M為整數(shù)， 則 ((n))N=n1 ~77 , ( ) ( ( ) ) ,N x n x n??例如， 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 210( ) [ ( ] ( )N j k nNnX k D F S x n x n e?? ???? ?????? k????? n 2101( ) [ ( ] ( )N j k nNkx n I D F S x n X k eN????? ? 討論： DFT和 DFS的關(guān)系 時(shí)域 ( ) ( )( ) ( ) ( )mNx n x n m Nx n x n R n?? ? ?????? ~ ( ) ( )( ) ( ) ( )mNX k X k m NX k X k R k?? ? ??????頻域 2101( ) [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , . . . . . . , 1N j k nNkx n I D F T X k X k e n NN???? ? ? ??210( ) [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , . . . . . . , 1N j k nNnX k D F T x n x n e k N?? ??? ? ? ??第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 例 第三章 習(xí)題 9 210( ) [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , . . . .