傅立葉變換基本性質(zhì)(已修改)
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【正文】 2022年 6月 4日 自動化學(xué)院 408教研室 ? 狄拉克函數(shù) ? 周期函數(shù)傅立葉變換 ? 連續(xù)時間傅立葉變換的性質(zhì) 狄拉克函數(shù)與周期函數(shù)傅立葉變換 2022年 6月 4日 自動化學(xué)院 408教研室 狄拉克函數(shù) 概念 問題 ? 質(zhì)點的密度函數(shù)如何表示？ 思路 ? 質(zhì)點是物體在尺度趨于零時的理想模型； ? 一個位于原點的單位質(zhì)點，可以看成一個線密度為 的物體在寬度 趨向零時的極限； ? 極限密度為 ? 一般定義 ???????0,00,)(xxx?)(lim)( 0 xSx ??? ??)(xS??2022年 6月 4日 自動化學(xué)院 408教研室 ? ?? daxaax )()()( ???狄拉克函數(shù)的應(yīng)用 描述功能 ? 位于 x=a處質(zhì)量為 m的質(zhì)點，質(zhì)量線密度為 mδ(x a)； ? 位于 x=a處電量為 q的點電荷，電荷線密度為 qδ(x a)； ? 位于 t=a時刻強度為 I的脈沖信號，信號函數(shù)為 Iδ(t a)； 分解功能 ? 質(zhì)量密度為 ρ(x) 的物體，可分解為質(zhì)點的空間疊加 ? 電荷密度為 ρ(x) 的帶電體，可分解為點電荷的空間疊加 ? 信號函數(shù)為 ρ(t) 的信號，可分解為脈沖信號的時間疊加 ? ?? daxaax )()()( ???? ?? daxaax )()()( ???2022年 6月 4日 自動化學(xué)院 408教研室 信號分析中常用的函數(shù) ?函數(shù) : 是一個理想函數(shù)，是物理不可實現(xiàn)信號。 ???????0,00,)(ttt?( ) l i m ( ) 1t d t S t d t?????? ? ? ???????)()( l i m0tSt ?????? t 1/? ()St?t ()t? 1 面積恒等于 1 2022年 6月 4日 自動化學(xué)院 408教研室 中包括了所有的頻率成分，且所有頻率分量的幅度、相位都相同。因此，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)才能完全描述一個線性時間系統(tǒng)的特性， 才在信號與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。 ()t?()t?2022年 6月 4日 自動化學(xué)院 408教研室 特性： （ 1）乘積性 f t t f t f t t t f t t t( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ?? ? ? ?0 0 0 0（ 2）積分性 f t t f f t t t f t( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )? ?? ? ??????? ?? 0 0 0（ 3）卷積性 ( ) * ( ) ( ) ( ) ( )f t t f t d f t? ? ? ? ????? ? ??（ 4）傅氏變換 2( ) ( ) 1j ftj f t e dt??? ???? ? ??2022年 6月 4日 自動化學(xué)院 408教研室 ()xtt1T1T?1 0 ()xtt12T12T?1 0 ()Xj?0 ?1T?12T12T??()Xj?14T0 不同脈沖寬度對頻譜的影響 可見， 信號在時域和頻域之間有一種相反的關(guān)系 。 2022年 6月 4日 自動化學(xué)院 408教研室 (稱為 理想低通濾波器 ) 與矩形脈沖情況對比，可以發(fā)現(xiàn) 信號在時域和頻域之間存在一種對偶關(guān)系。 1， 0， ()Xj? ? W? ?W? ??1 s i n( ) S a ( ) s i n c ( )2W jtWW t W W W tx t e d W tt? ?? ? ? ? ??? ? ? ??()Xj??W? W1 0 ()xtt( / )W ?0 W?2022年 6月 4日 自動化學(xué)院 408教研室 對偶關(guān)系可表示如下 : ()xtt1T1T?1 0 ()Xj??W? W1 0 ()Xj?0 ?1T?12T()xtt( / )W ?0 W?2022年 6月 4日 自動化學(xué)院 408教研室 同時可以看到， 信號在時域和頻域之間也有一種相反的關(guān)系 。即信號在時域脈沖越窄，則其頻譜主瓣越寬，反之亦然。 對該例， 我們可以想到，如果 ，則 將趨于一個沖激。 W ?? ()xt 若 則有 ( ) 1xt ? ( ) 2 ( )Xj ? ? ? ??因為 11()22W jtWed?? ? ??????所以 ( ) 1 2 ( )Fxt ? ? ?? ? ??2022年 6月 4日 自動化學(xué)院 408教研室 信號的帶寬 ( Bandwidth of Signals ): 由信號的頻譜可以看出：信號的主要能量總是集中于低頻分量。另一方面，傳輸信號的系統(tǒng)都具有自己的頻率特性。因而，工程中在傳輸信號時，沒有必要一定要把信號的所有頻率分量都有效傳輸，而只要保證將占據(jù)信號能量主要部分的頻率分量有效傳輸即可。為此，需要對信號定義帶寬。通常有如下定義帶寬的方法 : 2022年 6月 4日 自動化學(xué)院 408教研室 2. 對包絡(luò)是
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