[理學(xué)]第8章傅里葉變換(已修改)
2025-10-26 00:56 本頁面
【正文】 第 7章 傅里葉變換 167。 傅里葉變換的概念 167。 傅里葉變換的性質(zhì) 從 T為周期的周期函數(shù) fT(t)，如果在 上滿足狄利克雷條件，那么在 上 fT(t)可以展成傅氏級數(shù)，在 fT(t)的連續(xù)點(diǎn)處，級數(shù)的 三角形式 為 ??????? 2,2 TT??????? 2,2 TT0001( ) ( c o s sin ) ( 7 .1 .1 )2T n nnaf t a n t b n t????? ? ??dttfTaTT T )(2 220 ??? )321( c os)(2 220 ?,nt dtntfTaTT Tn ?? ?? ?)321( s i n)(2 220 ?,nt dtntfTbTT Tn ?? ?? ?預(yù)備知識 ? ?)0()0(21 00 ??? tftf TT 在 fT(t)的間斷點(diǎn) t0處，式 ()的左端代之為 167。 傅里葉變換的概念 ? ?? ?22222,2( ) c o s 0 , 1 , 2 ,2( ) s in 1 , 2 ,TnTTTnTTTa f t n td t nTb f t n td t nT?????????????其 中? ?01( 0) ( 0)c os sin22TTnnntaf t f ta n t b n t????? ? ?? ? ??在 間 斷 點(diǎn) 處 成 立 ：引進(jìn)復(fù)數(shù)形式： ieetneetn tintintintin2s i n,2c o s???????? ??????????????????? ????????????? ????1010222222ntinnntinnnntintinntintinneibaeibaaieebeeaa??????級數(shù)化為：? ?? ?? ?2000222221, , , ( )2 2 211( ) c os si n ( )11( ) c os si n ( )1 , 2 , ( )Tn n n nn n TTTTin tn T TTTin tn T T nnna a i b a i bc c d c f t dtTc f t n t i n t dt f t e dtTTd f t n t i n t dt f t e dt cTTn c c????????????????? ? ? ?? ? ?? ? ? ????????令 則? ?221 ( ) 0 , 1 , 2 ,T i n tnT Tc f t e d t nT???? ? ? ??合 并 為 ：221 ()Ti n t i n i n tnT Tnnc e f e d eT? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ?????????? ?級 數(shù) 化 為 ： 對任何一個(gè)非周期函數(shù) f (t)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù) fT(t)當(dāng) T??時(shí)轉(zhuǎn)化而來的 . 作周期為 T的函數(shù) fT(t), 使其在 [T/2,T/2]之內(nèi)等于 f (t), 在 [T/2,T/2]之外按周期 T延拓到整個(gè)數(shù)軸上 , 則 T越大 , fT(t)與 f (t)相等的范圍也越大 , 這就說明當(dāng)T??時(shí) , 周期函數(shù) fT(t)便可轉(zhuǎn)化為 f (t), 即有 l im ( ) ( )TT f t f t? ? ? ?22( ) , D ir ic hl e t ,22( ) F our ie r( ) ,12 , ( )nnTTitin tT n nnnTitn n TTTTf t Tftf t c e c en n T c f t e dtT???? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?????????????? ? ????設(shè) 為 周 期 函 數(shù) ， 在 上 滿 足 條 件則 可 展 開 為 級 數(shù) :22jj1( ) ( ) d .TnnTtTTnf t f e eT ? ? ???????? ? ????????? ?即l im ( ) ( )TT f t f t? ? ? ?由Fourier積分公式與 Fourier積分存在定理 22jj1( ) l im ( ) d,TnnTtTTnnf t f e eTn? ? ????????? ? ?? ? ????????? ?可 知當(dāng) 取 一 切 整 數(shù) 時(shí) 所 對 應(yīng) 的 點(diǎn) 便 均 勻 分布 在 整 個(gè) 數(shù) 軸 上 :T?2{ O ?1 ?2 ?3
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