【文章內容簡介】 傅里葉變換 根據(jù)完備正交函數(shù)中的定理二可知，信號的能量是不會變的，在各個域中能量應該守恒，也是說之前用傅里葉級數(shù)推得頻譜函數(shù)是行不通的，怎么解決？ 問題：非周期信號的頻譜是怎樣的？ 周期信號 T1→∞ 時，周期信號就演變?yōu)榉侵芷谛盘枺? 而， T1→∞ ，使得 Fn→0 ，那又何談非周期信號的頻譜問題。 ??t)(tf2?2?? 21T21T?1T1T?E??1T t)(tf2?2??E?1T ??112T?? ?譜線間隔??1T 0211 ?? T?? 0?譜線間隔周期信號的離散譜 非周期信號的連續(xù)譜 一、傅里葉變換 頻譜密度函數(shù) F（ ω）稱為頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù) 推得： 110110)()(2)( limlim11TnFnFFT?? ???? ????dtetfF tj? ?????? ?? )()(??? ? deFtf tj? ????? )(2 1)(傅里葉變換 傅里葉正變換式 ，記為 : F[ f(t) ]=F(ω) 或 f(t)→F(ω). dtetfF tj? ???? ?? ?? )()(??? ? deFtf tj? ????? )(2 1)( 傅里葉逆變換式 ，記為 : )()()()}({1 tfFtfFF ??? ?? 或傅里葉變換的存在條件（充分條件） ? ??? ??dttf )( (3 3 9) 要使 F(ω )存在必須 : tjetf ??)(是變量 t的函數(shù)，它可正可負。但如果取絕對值再進行積分， ??? ??? ???? ???? ? ?? dtetfdtetfdtetf tjtjtj ??? )()()(則必有 證： ? ????? dtetfjF tj ?? )()(??? ? ??? ? dtetfjF tj ?? )()( (3 4 0) 1?? tje ?又 ?? ?????? ? ? dttfdtetf tj )()( ? (3 41) 故 如果 ?????? dttf )(則 )()( ?? jFdtetf tj ?? ???? 必然存在。 二、典型信號的傅里葉變換 單邊指數(shù)信號 )(tf1t???????000)(1ttetfat幅度頻譜 : 2211)(????aF相位頻譜 )a rc t a n()( a??? ?????jadteeFtjat??? ??? ?? 1)(01幅度頻譜 : 2211)(????aF相位頻譜 )a rc t a n()( a??? ??偶雙邊指數(shù)信號 taetf ??)(2幅度頻譜 2222)(?? ?? aaF相位頻譜 0)( ???2222)(?????? ???????aadteeF tjta奇雙邊指數(shù)信號 )0(00)(3 ???????????atetetfatat2232)(????? aF???????????0202)(??????220032)(??? ???????? ???? ?????ajdteedteeFtjattjat矩形脈沖信號 )]2()2([)(4 ?? ???? tutuEtf)2()(4 ???? SaEF ?? ,. ..2,1,0])1(4)12(2[])12(24[0)( ???????????????? nnnnn?????????????)2()2s i n(2)( 224?????????? SaEEdtEeF tj ???? ? ??? 符號函數(shù)信號 信號不滿足絕對可積條件，但它卻存在傅里葉變換。對奇雙邊指數(shù)信號 : ????????????)0(1)0(0)0(1)s g n ()(5tttttf)0(00)(3 ?????????? ? atetetfatat當 a→0 時，有 )s g n ()(30l i m ttfa????2)(5 ?F???????????0202)(???????????jajFF aa2)2()()(220305 l i ml i m ????? ?? 單位直流信號 該信號也不滿足絕對可積條件，但可利用指數(shù)函數(shù)取極限 ?????? ttf 1)(61)()( limlim0206??? ???taaaetftf????????220002)()(22220206 l i ml i m??????????????????daaaaFFaa且)(2)(6 ???? ?F 單位階躍信號 u（ t） 可利用單邊指數(shù)函數(shù)求其傅里葉變換，即 )()()()( l i ml i m0107tuetftutf ataa??????])([1)()( 222200107 limlimlim ?????? ??????? ??? ajaajaFF aaa)(220l i m???? ??? aaa????? jF1)()(7 ?? 單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)，也就是說，在整個頻率范圍內頻譜是均勻的。這種頻譜常常被叫做 “ 均勻譜 ” 或“ 白色頻譜 ” 。 沖激函數(shù)的傅里葉變換 )(1 tf?/12/?2/?? t1 1 ( ) Sa ( )2Fj ??? ???2 ??4??2???4??0??)(t?t)1(0??1 1)( ??jF?1)(8 ??F沖激偶的傅里葉變換 ,1)]([ ?t?? F 上式兩邊對 t 求導得： ? ???? ???? ? dejtdtd tj)(2 1)(同理： F F ? ???? ??? ? det tj2 1)(三、 傅里葉變換的基本性質 線性 〔 例 〕 利用傅里葉變換的線性性質求單位階躍信號的頻譜函數(shù)。 解： 因為 f（ t） =u(t)=1/2+(1/2)sgn(t) )()()()()()()()(21212211????bFaFtbftafFtfFtf?????則：若????????? jjF1)(221)(221)( ?????? 對稱性 證明： 因為 將上式中變量 ω 和 t互換 )(2)()()( ??? ??? ftFFtf 則：若)(2)( ?? ?? ftF??? ? deFtf tj? ????? )(2 1)(??? ? deFtf tj? ???? ??? )()(2)}({)()(2 tFFdetFf tj ??? ? ???? ? ??? ? 傅里葉變換之間存在著 對稱關系 ，即 信號波形與信號頻譜函數(shù) 的波形有著 互相置換 的關系。 其幅度之比為常數(shù) 2π 。式中－ ω 的表示頻譜函數(shù)坐標軸必須正負對調。 EG: )(2)(21)(1)()()(?????????????ftFFttf〔 例 ]若信號 f(t)的傅里葉變換為 求 f(t) 解 : ??????????2022)(??????AF??????????2022)(????? AtF根據(jù)對稱性得 Sa函數(shù)為偶函數(shù) )2()( ???? SaAf ???將 F(ω)中的 ω換成 t，并考慮 F(ω)為 ω的實函數(shù) )2(2)}({ ???? SaAtfF ???傅里葉變換由定義式可知為 奇偶虛實性 (折疊性 ) 無論 f(t)是實函數(shù)還是復函數(shù)，都有： ???????????))(()())(()()()()()(**為虛函數(shù)為實函數(shù)則：若tfFtfFFtfFtf????)()]([)()]([)()]([****???FtfFFtfFFtfF???????(1) 當 f(t)為 實函數(shù) 時，則 當 f(t)為 實偶函數(shù) f(t) = f(t) ，則 )()()()()( )( ???? ?? jXReFFtf j ????若????????????????)()()()()()()()(??????????XXRRFF))((0)( )()( 為實偶函數(shù)?? ?? FX RF?????當 f(t)為 實奇函數(shù) ，則 (2) 當 f(t)為 虛函數(shù) ，則 ))((0)( )()( 為虛奇函數(shù)?? ?? FR jXF?????????????????????)()()()()()()()(??????????XXRRFF四、尺度變換性 由上可見，信號在 時域中壓縮 等效在 頻域中擴展 ； 反之，信號在時域中擴展等效在頻域中壓縮。 特例： f(t) ←→ F(ω ) )()(1)()()(為非零的實常數(shù)則：若aaFaatfFtf????〔 例 〕 已知 ,求頻譜函數(shù) F(ω) 。 解 : 根據(jù)尺度變換性 的頻譜函數(shù) )]2()2([)(4?? ???? tutuEtf)2()(4 ???? SaEF ??)2()( 4 tftf ?)4(2)2(21)( 4 ????? SaEFF ???圖 3 2 1E2/02/ ???)(