【正文】 則稱為 奇諧函數(shù)或半波對(duì)稱函數(shù)。 其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有正弦和余弦項(xiàng)的 奇次諧波分量 。 )(tft21T1T21T?)2( 1Ttf ?t21T1T?21T?偶諧函數(shù) 若周期信號(hào) f(t)波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期后與原波形完全重疊，即滿足 則為 偶諧函數(shù)或半周期重疊函數(shù)。 其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有正弦和余弦波的 偶次諧波分量 。 21T21T?t1T)(tf一、信號(hào)頻譜的概念 從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種特征量 隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的 頻譜 ，所畫(huà)出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。 描述各次諧波 振幅 與頻率關(guān)系的圖形稱為 振幅頻譜 描述各次諧波 相位 與頻率關(guān)系的圖形稱為 相位頻譜 典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) nA n?則對(duì)應(yīng)的振幅頻譜 和相位頻譜 稱為 單邊頻譜 。 雙 邊頻譜 若周期信號(hào) f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 n?則對(duì)應(yīng)的振幅頻譜 Fn 和相位頻譜 稱為 雙邊頻譜。 單邊頻譜 若周期信號(hào) f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 )c os ()( 110 nnntncctf ?? ??? ?????????ntjnenFtf 1)()(1?? 周期矩形脈沖信號(hào) (1) 傅里葉級(jí)數(shù) ??t)(tf2?2?? 21T21T?1T1T?E0?nb112211001 1 14 4 2( ) c o s c o s Sa ( )2TnnnEa f t n td t E n td t cT T T? ?????? ? ? ???4 4 2 二、常用信號(hào)的頻譜 周期矩形脈沖信號(hào)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)為 f(t)的指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為 nc1TE?12TE??1? 12???2??4nc1TE?12TE??1? 12???2 ??4??2 ??4??n?（ 2）頻譜圖 nF1TE??1? 12???2??4nF1TE??1? 12???2??4??2 ??4??n?????2???4?nc1TE?12TE??1? 12???2??4nF1TE??1? 12???2??4nc1TE?12TE??1? 12???2 ??4nF1TE??1? 12???2??4??2 ??4??n???2 ??4??n?????2???4?單邊頻譜圖 雙邊頻譜圖 周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn) 離散性 頻譜是離散的而不是連續(xù)的，這種頻譜稱為離散頻譜。 諧波性 譜線出現(xiàn)在基波頻率 ω 1= 2π /T1的整數(shù)倍上。 收斂性 幅度譜的譜線幅度隨著 n→ ∞ 而逐漸衰減到零。 頻譜圖的特點(diǎn) （以矩形波的頻譜為例） （ a）單邊振幅頻譜與雙邊振幅頻譜 將雙邊振幅頻譜負(fù) n一邊對(duì)折到 n一邊，并將振幅相加，便得到單邊振幅 (b) 頻譜是離散的，兩譜線間隔為 ω 1=2π /T1 (c)直流分量、基波及各次諧波分量的大小正比于脈幅E和脈寬 τ ，反比于周期 T1，其變化受包絡(luò)線 sinx/x的牽制。 (d) 當(dāng) 時(shí)，譜線的包絡(luò)線過(guò)零點(diǎn)。因此 稱為 零分量頻率 。 )2,1( 2 ??????? mm? ?? 2 ? ?? m?(e) 周期矩形脈沖信號(hào)包含無(wú)限多條譜線，可分解為無(wú)限多個(gè)頻率分量，但其 主要能量集中在第一個(gè)零分量頻率之內(nèi) 。 ??? 2~0? 通常把 這段頻率范圍稱為矩形信號(hào)的有效頻譜寬度 或信號(hào)的占有頻帶，記作 頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系 （ T1, ） ? 若 τ 不變， T1擴(kuò)大一倍 ，即 T1=4τ 1→ T2=8τ 1 ??t)(tf12TE1T?nc4E2E?1???2??4??t)(tfE1T?nc4E8E?1???2??4(1) 離散譜線的間隔 ω 1=2π /T 1將變小，即 譜線變密 。 (2) 各譜線的幅度將變小，包絡(luò)線變化緩慢，即振幅收斂速度變慢 。 (3) 由于不變，故 零分量頻率位置不變 ，信號(hào)有效頻譜寬度亦不變。 當(dāng)周期無(wú)限增大時(shí)， f(t)變?yōu)?非周期信號(hào) ，從而周期信號(hào)的離散頻譜過(guò)渡到非周期信號(hào)的 連續(xù)頻譜 . ??t)(tf12TE1T?nc4E2E?1???2??4??t)(tf12TE1T?nc4E8E?1???2 若 T1不變， τ 減小一倍 ，即 T1=4τ 1→ T1=8τ 2 如果保持矩形信號(hào)的 周期 T1 不變 ，而 改變脈沖寬度 τ ，此時(shí)譜線間隔不變。 ① 若減小 τ 頻譜中的第一個(gè)零分量頻率 ω1=2π/τ 增大 ， 同時(shí)出現(xiàn)零分量頻率的次數(shù)減小，相鄰兩個(gè)零分量頻率間所含的諧波分量增大。 并且各次諧波的振幅減小，即振幅收斂速度變慢。 ② 若增大，則反之。 譜線間隔 ω 1=2π /T1 只與周期 T1有關(guān)，且與T1 成反比； 零值點(diǎn)頻率 ω 1=2mπ /τ 只與 τ 有關(guān)，且與 τ 成反比； 譜線幅度 與 T1和 τ 都有關(guān)系，且與 T1 成反比與 τ 成正比。 周期矩形信號(hào) 一個(gè)周期內(nèi) 的表達(dá)式為： )(tf?????????????11122202)(TtTETtEtf????????? ???6,4,205,3,12s i n)(2 10 11 nnnEt d tntfTbTn ??2E2E?21T?21T0)(tft1T(1)三角形式傅里葉級(jí)數(shù)： 因此 )5s i n513s i n31( s i n2s i n12)(1115,3,11??????? ?????????ttEtnnEtfn得 11 , 3 , 521( ) c o s ( )2nEf t n tn????????)5,3,1(2)a rc t a n( ?????? nabnnn??nncb???????????6,4,205,3,12nnnE??????????????????????6,4,205,3,12)(21nnnjEbjjbaF nnnn ?（ 2）指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù) nc?1? 13? 15?0??E2?32E?52En?01? 13? 15?2??? ?2??2?n?15?? 13?? 1??1? 13? 15? ???nF?E?3E?5E1? 13? 15??1??13??15????)(tf2/E2/E?t1T1T? 41T41T?對(duì)稱矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) )5c o s513c o s31(c o s2c o s)2(Sa)(11111?????? ???tttEtnnEtfn??????022 20101 ?? ? T dtETa0?nb)2(. ..6,4,20. ..5,3,12)s i n (124)c o s (24 4411144111111?????nSaEnnnEtnnETdttnETaTTTTn?????????????????ncE?1?13?15?17?nc?1?13? 15?E17?1? 13? 15? 17???n? 周期鋸齒脈沖信號(hào) E/2 t f(t) E/2 T1/2 T1/2 周期鋸齒脈沖信號(hào)的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂。 周期三角脈沖信號(hào) 周期三角脈沖的頻譜只包含直流、奇次諧波的余弦分量，諧波的幅度以 的規(guī)律收斂。 2/1 nE f(t) t T1 T1/2 T1/2 T1 ......)3c os31(c os42)( 1212 ???? ttEEtf ???三、 周期信號(hào)的功率譜 f(t)的平均功率定義為在 1Ω 電阻上消耗的平均功率，即 ??? 2/ 2/ 2 )(1 T T dttfTP (3 28) 該式稱為 帕塞瓦爾 (Parseval)定理 。它表明周期信號(hào)的平均功率完全可以在頻域 Fn用加以確定。 實(shí)際上它反映周期信號(hào) 在時(shí)域的平均功率 等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量 之和 。 若 f(t)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式代入 與 nω 1的關(guān)系稱為周期信號(hào)的 功率頻譜 ，簡(jiǎn)稱為功率譜。顯然，周期信號(hào)的功率譜也是離散譜。 2nF〔 例 〕 試求圖所示周期矩形脈沖信號(hào) f(t)在有效頻譜寬度內(nèi)，諧波分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)平均功率的百分比。設(shè) E=1， T1=1/4， 解： 因?yàn)? 周期信號(hào)的平均功率為 在 有效頻譜寬度 內(nèi)信號(hào)的平均功率為 ?????? }{2 2423222120 FFFFFP BWSSS aaa )}54()53()5({5 25 1 22222 ???? ???故 在所給出的周期矩形脈沖情況下，包含在有效頻譜寬度內(nèi)的信號(hào)平均功率約占整個(gè)信號(hào)平均功率的 90%。 5/)5/s i n(51)2( ????nnnSTEFan ???ω1 3． 4