【文章內(nèi)容簡介】 若離散時間復(fù)指數(shù)信號是有連續(xù)時間復(fù)指數(shù)信號等間隔采樣得到，則二者之間將存在一定聯(lián)系。根據(jù)式（）有： （） 式中，稱為數(shù)字頻率，單位是弧度（rad），它表示序列變化的速率，或者說表示相鄰兩個序列值之間相位變化的弧度數(shù)；稱為模擬角頻率，單位是弧度每秒（rad/s），它表示沒秒經(jīng)歷多少弧度。通過（）式的推導(dǎo)，得到，在對連續(xù)時間復(fù)指數(shù)信號的等間隔采樣下得到的離散時間復(fù)指數(shù)信號，其模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的關(guān)系為： （） 在下文中介紹FT與DTFT的關(guān)系時，尺度變換過程就是該關(guān)系式的體現(xiàn)。 連續(xù)時間周期信號與離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)(FS)信號的傅里葉級數(shù)（FS）表示，就是將周期信號表示成一組成諧波關(guān)系的周期復(fù)指數(shù)信號的線性組合[1]。所謂諧波關(guān)系就是一類信號的集合，集合內(nèi)所有信號都有一個公共周期。對于連續(xù)時間復(fù)指數(shù)信號而言，若公共周期為，則成諧波關(guān)系的的復(fù)指數(shù)信號可表示成： ()k的取值可以是任何整數(shù)，對于不同的k，表示不同的周期復(fù)指數(shù)信號。對于離散時間復(fù)指數(shù)信號而言，設(shè)公共周期為N，那么成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號可表示成： （） 由于（）式的原因： （） 故離散時間情況下與連續(xù)時間有一點很大的不同是：成諧波關(guān)系的離散時間復(fù)指數(shù)信號僅有N個互不相同的。 所以，若信號用其傅里葉級數(shù)形式表示時： 連續(xù)： （） 離散： （） 它們之間有一點明顯的不同是：連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)是無限級數(shù)，而離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)是有限項級數(shù)。式中系數(shù)往往稱為傅里葉級數(shù)系數(shù)或頻譜系數(shù)，它可由信號確定： 連續(xù)： （） 離散： （) 對于連續(xù)時間周期信號，存在一個收斂問題，我們有如下結(jié)論：對于連續(xù)時間周期信號，在滿足狄里赫利條件[2]下，除了在某些不連續(xù)的孤立t值外，等于它的傅里葉級數(shù)表示；而在那些不連續(xù)的點上，無窮級數(shù)收斂于不連續(xù)點兩邊值的平均值。 由于離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示是由有限項構(gòu)成，故不存在收斂問題，離散時間周期信號用傅里葉級數(shù)的表示與原信號完全等價。 連續(xù)時間傅里葉變換（FT）與離散時間傅里葉變換（DTFT） 由于傅里葉級數(shù)只能對周期信號進行表示，為了對非周期信號進行推廣，我們在周期信號傅里葉級數(shù)的基礎(chǔ)上引入連續(xù)時間傅里葉變換（FT）和離散時間傅里葉變換（DTFT）。而他們之間的聯(lián)系是我們可以將非周期信號當(dāng)做周期為無限大的周期信號進行處理。 連續(xù)時間傅里葉變換 為了對非周期信號引入傅里葉變換，我們將非周期信號看成是周期無限大的周期信號，觀察周期無限大周期信號的傅里葉級數(shù)表達式的極限特性。，為非周期信號，對于由周期擴展而成的周期信號，當(dāng)周期時，趨于，對任何有限時間t值而言，就等于。 為非周期信號；為由為一個周期構(gòu)成的周期信號Figure (a) Nonperiodic signal。 (b)The periodic signalfor one cycle with 我們來觀察周期信號的傅里葉級數(shù)，將（）式和（）式重寫如下，并將（）式中的積分區(qū)間取為，就有： （） （） 由于在內(nèi)，且在其余地方所以式（）可以寫成： （） 發(fā)現(xiàn)對于不同的周期，的包絡(luò)不變，故定義為的包絡(luò)： （） 這時，頻譜系數(shù)可以寫為 （） 當(dāng)周期，趨近于，結(jié)合（）可得： （） 由此，我們得出了非周期信號的傅里葉變換，將（）式和（）式稱為傅里葉變換對。通常稱為的頻譜，它告訴我們將表示成不同頻率正弦信號的線性組合（就是積分）所需要的信息。同時，式（）向我們揭示了周期信號頻譜系數(shù)與非周期信號傅里葉變換之間的關(guān)系，即：一個周期信號的傅里葉系數(shù)能夠利用的一個周期內(nèi)信號的傅里葉變換的等間隔采樣來表示。 當(dāng)然，由于連續(xù)時間信號的傅里葉變換是由周期信號的傅里葉級數(shù)推導(dǎo)而來，故也存在與傅里葉級數(shù)表示相同的收斂問題，我們有如下結(jié)論：一個穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)就有與之對應(yīng)的頻率響應(yīng)。雖然，這只是三個狄里赫利條件中的其中一個，但所有物理上或?qū)嶋H上有意義的信號都滿足另外兩個條件。 以上討論的是非周期信號的傅里葉變換，其實在引入奇異函數(shù)后對于周期信號也能夠建立傅里葉變換表示，這樣一來就可以在一個統(tǒng)一的框架內(nèi)考慮周期信號與非周期信號。 我們有： （） 而周期信號： （） 故可得出周期信號的傅里葉變換： （） （）式就是周期信號的傅里葉表示形式，它在頻域上是由一串沖擊所組成，各沖擊的面積正比于傅里葉級數(shù)系數(shù)。 離散時間傅里葉變換 對于離散時間非周期序列，為了建立它的傅里葉變換表示，可以用與連續(xù)時間傅里葉變換完全類似的方法進行討論。 設(shè)離散時間非周期信號，它具有有限的持續(xù)期，以外。對信號進行周期性擴展，擴展周期為N，建立周期信號。與連續(xù)時間情況相同，當(dāng)周期時，趨于，也就是說，對任何有限時間n值而言，就等于。 我們討論的傅里葉級數(shù)，將（）式和（）式重寫，有： （） （） 式中，因為在包括區(qū)間的一個周期上，所以（）可寫成： （） 對于不同的周期N，的包絡(luò)不變，定義的包絡(luò)為： （） 可見，頻譜系數(shù)正比于的各個樣本，即： （） 當(dāng)周期時，趨近于，對于任何有限的n值，有，所以結(jié)合（）可得： （） 經(jīng)過與連續(xù)時間情況完全并行的推導(dǎo)，我們得到離散時間非周期信號的傅里葉變換，將（）式和（）式稱為離散時間傅里葉變換對。通常稱為的頻譜，它告訴是怎樣由這些不同頻率的復(fù)指數(shù)序列組成的。當(dāng)然我們會發(fā)現(xiàn)連續(xù)時間傅里葉變換與離散時間傅里葉變換之間一個明顯的不同就是，離散時間信號的傅里葉變換是以為周期的，而連續(xù)時間信號的傅里葉變換不具備這種周期性。 同時，式（）也向我們揭示了周期序列頻譜系數(shù)與離散時間非周期信號傅里葉變換之間的關(guān)系，即：一個周期信號的傅里葉系數(shù)能夠利用在一個周期內(nèi)的序列的傅里葉變換的等間隔采樣來表示。 離散時間信號的傅里葉變換也存在關(guān)于收斂的問題，這是由于（）式信號的傅里葉變換的求和區(qū)間是無限長所致。我們有：若序列絕對可和或能量有限，則一定收斂。 關(guān)于周期序列的傅里葉變換，因為： （） 而一周期為N的周期序列可表示為： （） 故該周期序列的傅里葉變換為： （） 這樣，一個周期序列的傅里葉變換就表示成頻域中的沖擊串，若知道該周期序列的傅里葉系數(shù)便可直接求出其傅里葉變換。同連續(xù)情況一樣，周期序列傅里葉變換的引入，就能在統(tǒng)一的框架內(nèi)對離散序列進行分析。 連續(xù)時間傅里葉變換與離散時間傅里葉變換之間的關(guān)系 ，在現(xiàn)實應(yīng)用中我們也常會碰到連續(xù)、離散相互轉(zhuǎn)換的系統(tǒng)，即混合系統(tǒng)。連續(xù)時間與離散時間之間建立起聯(lián)系的關(guān)鍵是式（）。重寫如下： （） 我們關(guān)心的是連續(xù)信號的連續(xù)時間傅里葉變換（FT）與離散信號的離散時間傅里葉變換（DTFT）之間的關(guān)系。可以借助采樣定理來探討他們這種關(guān)系。 式（）實際上所反映的就是C/D轉(zhuǎn)換的過程，： C/D轉(zhuǎn)換過程Figure C/D conversion process其中為采樣沖擊串，是對連續(xù)信號的沖擊采樣。根據(jù)我們熟知的采樣定理有，的連續(xù)時間傅里葉變換是原信號連續(xù)時間傅里葉變換的周期性擴展，其擴展周期為。 采樣定理各信號間的對應(yīng)關(guān)系Figure The corresponding relationship between the signals of the sampling theorem 是從沖擊到序列的轉(zhuǎn)換，它們間傅里葉變換的對應(yīng)關(guān)系可以用尺度變換表示，或者說是歸一化的過程。討論如下 ， （） 根據(jù)的傅里葉變換是，所以有 （） 考慮的離散時間傅里葉變換，利用（）式得： （） 對比（）式和（）式可見： （）式（）表明可由進行尺度變換得到，這種頻率域尺度的伸縮變換是數(shù)字頻率與模擬頻率的體現(xiàn)。 C/D轉(zhuǎn)換過程中、與之間的關(guān)系Figure The relationship between,andin C/D conve