【文章內(nèi)容簡介】 若離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)是有連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)等間隔采樣得到，則二者之間將存在一定聯(lián)系。根據(jù)式（）有： （） 式中，稱為數(shù)字頻率，單位是弧度（rad），它表示序列變化的速率，或者說表示相鄰兩個(gè)序列值之間相位變化的弧度數(shù)；稱為模擬角頻率，單位是弧度每秒（rad/s），它表示沒秒經(jīng)歷多少弧度。通過（）式的推導(dǎo)，得到，在對(duì)連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)的等間隔采樣下得到的離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)，其模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的關(guān)系為： （） 在下文中介紹FT與DTFT的關(guān)系時(shí)，尺度變換過程就是該關(guān)系式的體現(xiàn)。 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)與離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)(FS)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)（FS）表示，就是將周期信號(hào)表示成一組成諧波關(guān)系的周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合[1]。所謂諧波關(guān)系就是一類信號(hào)的集合，集合內(nèi)所有信號(hào)都有一個(gè)公共周期。對(duì)于連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)而言，若公共周期為，則成諧波關(guān)系的的復(fù)指數(shù)信號(hào)可表示成： ()k的取值可以是任何整數(shù)，對(duì)于不同的k，表示不同的周期復(fù)指數(shù)信號(hào)。對(duì)于離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)而言，設(shè)公共周期為N，那么成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)可表示成： （） 由于（）式的原因： （） 故離散時(shí)間情況下與連續(xù)時(shí)間有一點(diǎn)很大的不同是：成諧波關(guān)系的離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)僅有N個(gè)互不相同的。 所以，若信號(hào)用其傅里葉級(jí)數(shù)形式表示時(shí)： 連續(xù)： （） 離散： （） 它們之間有一點(diǎn)明顯的不同是：連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)是無限級(jí)數(shù)，而離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)是有限項(xiàng)級(jí)數(shù)。式中系數(shù)往往稱為傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)或頻譜系數(shù)，它可由信號(hào)確定： 連續(xù)： （） 離散： （) 對(duì)于連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)，存在一個(gè)收斂問題，我們有如下結(jié)論：對(duì)于連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)，在滿足狄里赫利條件[2]下，除了在某些不連續(xù)的孤立t值外，等于它的傅里葉級(jí)數(shù)表示；而在那些不連續(xù)的點(diǎn)上，無窮級(jí)數(shù)收斂于不連續(xù)點(diǎn)兩邊值的平均值。 由于離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示是由有限項(xiàng)構(gòu)成，故不存在收斂問題，離散時(shí)間周期信號(hào)用傅里葉級(jí)數(shù)的表示與原信號(hào)完全等價(jià)。 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（FT）與離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT） 由于傅里葉級(jí)數(shù)只能對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行表示，為了對(duì)非周期信號(hào)進(jìn)行推廣，我們?cè)谥芷谛盘?hào)傅里葉級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上引入連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（FT）和離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）。而他們之間的聯(lián)系是我們可以將非周期信號(hào)當(dāng)做周期為無限大的周期信號(hào)進(jìn)行處理。 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換 為了對(duì)非周期信號(hào)引入傅里葉變換，我們將非周期信號(hào)看成是周期無限大的周期信號(hào)，觀察周期無限大周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式的極限特性。，為非周期信號(hào)，對(duì)于由周期擴(kuò)展而成的周期信號(hào)，當(dāng)周期時(shí)，趨于，對(duì)任何有限時(shí)間t值而言，就等于。 為非周期信號(hào)；為由為一個(gè)周期構(gòu)成的周期信號(hào)Figure (a) Nonperiodic signal。 (b)The periodic signalfor one cycle with 我們來觀察周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)，將（）式和（）式重寫如下，并將（）式中的積分區(qū)間取為，就有： （） （） 由于在內(nèi)，且在其余地方所以式（）可以寫成： （） 發(fā)現(xiàn)對(duì)于不同的周期，的包絡(luò)不變，故定義為的包絡(luò)： （） 這時(shí)，頻譜系數(shù)可以寫為 （） 當(dāng)周期，趨近于，結(jié)合（）可得： （） 由此，我們得出了非周期信號(hào)的傅里葉變換，將（）式和（）式稱為傅里葉變換對(duì)。通常稱為的頻譜，它告訴我們將表示成不同頻率正弦信號(hào)的線性組合（就是積分）所需要的信息。同時(shí)，式（）向我們揭示了周期信號(hào)頻譜系數(shù)與非周期信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系，即：一個(gè)周期信號(hào)的傅里葉系數(shù)能夠利用的一個(gè)周期內(nèi)信號(hào)的傅里葉變換的等間隔采樣來表示。 當(dāng)然，由于連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換是由周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)而來，故也存在與傅里葉級(jí)數(shù)表示相同的收斂問題，我們有如下結(jié)論：一個(gè)穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)就有與之對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)。雖然，這只是三個(gè)狄里赫利條件中的其中一個(gè)，但所有物理上或?qū)嶋H上有意義的信號(hào)都滿足另外兩個(gè)條件。 以上討論的是非周期信號(hào)的傅里葉變換，其實(shí)在引入奇異函數(shù)后對(duì)于周期信號(hào)也能夠建立傅里葉變換表示，這樣一來就可以在一個(gè)統(tǒng)一的框架內(nèi)考慮周期信號(hào)與非周期信號(hào)。 我們有： （） 而周期信號(hào)： （） 故可得出周期信號(hào)的傅里葉變換： （） （）式就是周期信號(hào)的傅里葉表示形式，它在頻域上是由一串沖擊所組成，各沖擊的面積正比于傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。 離散時(shí)間傅里葉變換 對(duì)于離散時(shí)間非周期序列，為了建立它的傅里葉變換表示，可以用與連續(xù)時(shí)間傅里葉變換完全類似的方法進(jìn)行討論。 設(shè)離散時(shí)間非周期信號(hào)，它具有有限的持續(xù)期，以外。對(duì)信號(hào)進(jìn)行周期性擴(kuò)展，擴(kuò)展周期為N，建立周期信號(hào)。與連續(xù)時(shí)間情況相同，當(dāng)周期時(shí)，趨于，也就是說，對(duì)任何有限時(shí)間n值而言，就等于。 我們討論的傅里葉級(jí)數(shù)，將（）式和（）式重寫，有： （） （） 式中，因?yàn)樵诎▍^(qū)間的一個(gè)周期上，所以（）可寫成： （） 對(duì)于不同的周期N，的包絡(luò)不變，定義的包絡(luò)為： （） 可見，頻譜系數(shù)正比于的各個(gè)樣本，即： （） 當(dāng)周期時(shí)，趨近于，對(duì)于任何有限的n值，有，所以結(jié)合（）可得： （） 經(jīng)過與連續(xù)時(shí)間情況完全并行的推導(dǎo)，我們得到離散時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換，將（）式和（）式稱為離散時(shí)間傅里葉變換對(duì)。通常稱為的頻譜，它告訴是怎樣由這些不同頻率的復(fù)指數(shù)序列組成的。當(dāng)然我們會(huì)發(fā)現(xiàn)連續(xù)時(shí)間傅里葉變換與離散時(shí)間傅里葉變換之間一個(gè)明顯的不同就是，離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換是以為周期的，而連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換不具備這種周期性。 同時(shí)，式（）也向我們揭示了周期序列頻譜系數(shù)與離散時(shí)間非周期信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系，即：一個(gè)周期信號(hào)的傅里葉系數(shù)能夠利用在一個(gè)周期內(nèi)的序列的傅里葉變換的等間隔采樣來表示。 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換也存在關(guān)于收斂的問題，這是由于（）式信號(hào)的傅里葉變換的求和區(qū)間是無限長所致。我們有：若序列絕對(duì)可和或能量有限，則一定收斂。 關(guān)于周期序列的傅里葉變換，因?yàn)椋? （） 而一周期為N的周期序列可表示為： （） 故該周期序列的傅里葉變換為： （） 這樣，一個(gè)周期序列的傅里葉變換就表示成頻域中的沖擊串，若知道該周期序列的傅里葉系數(shù)便可直接求出其傅里葉變換。同連續(xù)情況一樣，周期序列傅里葉變換的引入，就能在統(tǒng)一的框架內(nèi)對(duì)離散序列進(jìn)行分析。 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換與離散時(shí)間傅里葉變換之間的關(guān)系 ，在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中我們也常會(huì)碰到連續(xù)、離散相互轉(zhuǎn)換的系統(tǒng)，即混合系統(tǒng)。連續(xù)時(shí)間與離散時(shí)間之間建立起聯(lián)系的關(guān)鍵是式（）。重寫如下： （） 我們關(guān)心的是連續(xù)信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（FT）與離散信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）之間的關(guān)系?？梢越柚蓸佣ɡ韥硖接懰麄冞@種關(guān)系。 式（）實(shí)際上所反映的就是C/D轉(zhuǎn)換的過程，： C/D轉(zhuǎn)換過程Figure C/D conversion process其中為采樣沖擊串，是對(duì)連續(xù)信號(hào)的沖擊采樣。根據(jù)我們熟知的采樣定理有，的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換是原信號(hào)連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的周期性擴(kuò)展，其擴(kuò)展周期為。 采樣定理各信號(hào)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系Figure The corresponding relationship between the signals of the sampling theorem 是從沖擊到序列的轉(zhuǎn)換，它們間傅里葉變換的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用尺度變換表示，或者說是歸一化的過程。討論如下 ， （） 根據(jù)的傅里葉變換是，所以有 （） 考慮的離散時(shí)間傅里葉變換，利用（）式得： （） 對(duì)比（）式和（）式可見： （）式（）表明可由進(jìn)行尺度變換得到，這種頻率域尺度的伸縮變換是數(shù)字頻率與模擬頻率的體現(xiàn)。 C/D轉(zhuǎn)換過程中、與之間的關(guān)系Figure The relationship between,andin C/D conve