【正文】 并且有多種快速算法，使得離散傅里葉變換得到廣泛使用。第五章 總結(jié) 由于不同頻率的復(fù)指數(shù)信號可疊加成相當(dāng)廣泛的一類有用信號，且對于LTI系統(tǒng)，復(fù)指數(shù)對系統(tǒng)的響應(yīng)十分簡單，其輸出有一個很方便的表達(dá)式，所以我們可以運(yùn)用傅里葉變換，從頻率域?qū)π盘栠M(jìn)行分析，并且傅里葉變換有多個極其有用的性質(zhì)。由于和均以為周期，且，因此又可表示為 （） （） 這樣，就將N點(diǎn)的DFT分解為兩個點(diǎn)的DFT和（）與（）式。如上所述，N點(diǎn)DFT的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為。所以在滿足采樣定理的條件下對連續(xù)時(shí)間信號的等間隔脈沖采樣信號可通過低通濾波器恢復(fù)原連續(xù)信號；在變換區(qū)間長度N大于采樣序列長度的條件下，對序列傅里葉變換在主值區(qū)間內(nèi)的等間隔采樣可通過IDFT恢復(fù)原序列。故我們想到可以利用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行近似的頻譜分析。 線性卷積與循環(huán)卷積Figure Linear convolution and cyclic convolution 用DFT計(jì)算循環(huán)卷積的原理框圖Figure The principle frame graph of calculating cyclic convolution，因?yàn)橛醒h(huán)卷積定理，我們可以用計(jì)算DFT的方式計(jì)算循環(huán)卷積，這與在第一章中介紹的可以用計(jì)算序列的DTFT來計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的方法類似。由于，所以構(gòu)造循環(huán)卷積矩陣和進(jìn)行矩陣相乘時(shí)需要按情況進(jìn)行補(bǔ)零。 對恢復(fù)出的信號進(jìn)行DTFT可得到。由此可見，對于不同的變換區(qū)間長度N，DFT對在區(qū)間上的采樣點(diǎn)數(shù)和采樣間隔是不同的。設(shè)是以周期為N的周期序列，將求和區(qū)間限定在主值序列內(nèi)，有： （） （） 表示周期序列的頻譜系數(shù)?？梢詫⒃蛄泻统槿⌒蛄卸伎闯墒菍B續(xù)時(shí)間信號的采樣，從而序列與的關(guān)系是，序列的采樣間隔是的倍。此時(shí)可用低通濾波器恢復(fù)原信號。采樣序列經(jīng)過離散時(shí)間系統(tǒng)處理后進(jìn)行D/C轉(zhuǎn)換。 式（）實(shí)際上所反映的就是C/D轉(zhuǎn)換的過程，： C/D轉(zhuǎn)換過程Figure C/D conversion process其中為采樣沖擊串，是對連續(xù)信號的沖擊采樣。 離散時(shí)間信號的傅里葉變換也存在關(guān)于收斂的問題，這是由于（）式信號的傅里葉變換的求和區(qū)間是無限長所致。 離散時(shí)間傅里葉變換 對于離散時(shí)間非周期序列，為了建立它的傅里葉變換表示，可以用與連續(xù)時(shí)間傅里葉變換完全類似的方法進(jìn)行討論。 為非周期信號；為由為一個周期構(gòu)成的周期信號Figure (a) Nonperiodic signal。對于離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號而言，設(shè)公共周期為N，那么成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號可表示成： （） 由于（）式的原因： （） 故離散時(shí)間情況下與連續(xù)時(shí)間有一點(diǎn)很大的不同是：成諧波關(guān)系的離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號僅有N個互不相同的。所以若為一有理數(shù)，就是周期信號，否則就不是周期的。所以在涉及傅里葉變換時(shí)，我們更關(guān)注的是連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號和離散時(shí)間復(fù)指數(shù)序列及它們間的關(guān)系。 連續(xù)時(shí)間信號的離散時(shí)間處理Figure The discretization of continuous time signal processing。例如，連續(xù)時(shí)間的周期信號通常用傅里葉級數(shù)（FS）表示，但引入沖擊函數(shù)后連續(xù)周期信號同樣可以用傅里葉變換（FT）表示。也基于此，在信號分析中我們更樂于將信號分解為不同頻率的復(fù)指數(shù)信號的疊加（傅里葉變換）而不是分解其他形式的級數(shù)。 LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)傅里葉變換的實(shí)質(zhì)就是將信號分解為不同頻率復(fù)指數(shù)信號的疊加，而LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號有著怎樣的響應(yīng)特性呢？這是本節(jié)討論的內(nèi)容。根據(jù)卷積定理可得，對于LTI系統(tǒng)，若、和分別是系統(tǒng)輸入序列、系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)和系統(tǒng)輸出的離散時(shí)間傅里葉變換。 同時(shí)滿足線性和時(shí)不變的系統(tǒng)便是線性時(shí)不變系統(tǒng)，它是信號分析里最為基礎(chǔ)的系統(tǒng)。LTI系統(tǒng)作為傅里葉分析中的基本系統(tǒng)對傅里葉變換的研究具有重要意義。第4章 ，數(shù)字信號處理。闡述本論文的出發(fā)點(diǎn)和體系結(jié)構(gòu)。如今，傅里葉分析的基本理論已經(jīng)得到很大的發(fā)展。另外，他還斷言：任何周期信號都可以用這樣的級數(shù)來表示??？當(dāng)然這一斷言存在一定的缺陷也并未給出完善的數(shù)學(xué)證明，但他洞察出這個級數(shù)表示法的潛在威力，并且在很大程度上正是由于他的工作和斷言，才大大激勵和推動了傅里葉級數(shù)問題的深入研究。傅里葉變換的豐富和發(fā)展，極大地促進(jìn)了信息科學(xué)的豐富和發(fā)展。信號的傅里葉變換有多種形式，且各種變換間具有很強(qiáng)聯(lián)系：如非周期信號的周期性擴(kuò)展，其傅里葉級數(shù)是原信號傅里葉變換的等間隔采樣；若離散序列由連續(xù)信號周期取樣得到，則離散序列的DTFT是連續(xù)信號FT以取樣頻率進(jìn)行周期性擴(kuò)展后的尺度變換。Convolution。但是，他并沒有繼續(xù)從數(shù)學(xué)上進(jìn)行深入探討；同時(shí)，在當(dāng)時(shí)他的想法也并未被廣泛接受。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發(fā)表出來。本文從基礎(chǔ)出發(fā)，簡化數(shù)學(xué)推導(dǎo)，注重概念間的聯(lián)系，向讀者呈現(xiàn)傅里葉變換的內(nèi)涵及各種變換間的內(nèi)在聯(lián)系。以連續(xù)和離散相對應(yīng)的方式介紹傅里葉變換的基本內(nèi)容?？偨Y(jié)本文的工作。 對于線性系統(tǒng)來說，疊加性質(zhì)的一個直接結(jié)果是：零輸入產(chǎn)生零輸出，即：在全部時(shí)間輸入為零，則其輸出也恒為零。則由可完全表征系統(tǒng)的特性。 卷積運(yùn)算中還有三個重要的性質(zhì)：交換律、分配律和集合律[7]。從特征值的角度可理解為，復(fù)指數(shù)信號是離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)；對于某一給定的z值，常數(shù)就是與特征函數(shù)有關(guān)的特征值。傅里葉變換的形式和內(nèi)容有很多，就連續(xù)信號而言，其傅里葉變換內(nèi)容包括連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)（FS）、連續(xù)非周期信號的傅里葉變換（FT）與連續(xù)信號傅里葉變換的的推廣——拉普拉斯變換等；就離散信號而言，其傅里葉變換內(nèi)容包括離散時(shí)間信號的離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）、離散周期信號的離散傅里葉級數(shù)（DFS）、有限長序列的離散傅里葉變換（DFT）、離散傅里葉變換DFT的快速算法（FFT），還有離散信號DTFT的推廣——z變換等[9]。這是由于離散信號的處理可以借助于某一通用或?qū)Ｓ糜?jì)算機(jī)，借助于各種微處理器，或任何面向離散時(shí)間信號處理而專門設(shè)計(jì)的各種裝置來實(shí)現(xiàn)，相比連續(xù)時(shí)間信號的處理具有顯著優(yōu)勢[10]。 （） 連續(xù)時(shí)間信號的離散采樣Figure Discrete sampling of continuous time signals 其中，為連續(xù)信號，為采樣間隔。把握這種頻率的周期性有利于我們理解離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）的周期性，因?yàn)殡x散信號的DTFT就是將信號表示成對的積分形式。 連續(xù)時(shí)間周期信號與離散時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)(FS)信號的傅里葉級數(shù)（FS）表示，就是將周期信號表示成一組成諧波關(guān)系的周期復(fù)指數(shù)信號的線性組合[1]。而他們之間的聯(lián)系是我們可以將非周期信號當(dāng)做周期為無限大的周期信號進(jìn)行處理。雖然，這只是三個狄里赫利條件中的其中一個，但所有物理上或?qū)嶋H上有意義的信號都滿足另外兩個條件。通常稱為的頻譜，它告訴是怎樣由這些不同頻率的復(fù)指數(shù)序列組成的。連續(xù)時(shí)間與離散時(shí)間之間建立起聯(lián)系的關(guān)鍵是式（）。但當(dāng)信號間具有式（）所示關(guān)系時(shí)，我們可以從圖形上直觀了解兩種變換間的關(guān)系。變換到就相當(dāng)于對進(jìn)行頻率域的尺度變換，然后進(jìn)行低通濾波。如果原來序列的頻譜被適當(dāng)?shù)膸蓿灾劣谠谥胁淮嬖诨殳B，抽取的效果就是將原來序列的頻譜擴(kuò)展到一個較寬的頻帶部分?；诖?，我們引入離散時(shí)間傅里葉變換（DFT），它是為了適應(yīng)利用計(jì)算機(jī)分析傅里葉變換而規(guī)定的一種專門運(yùn)算, 是對連續(xù)時(shí)間信號頻譜分析的逼近[14]?；诖耍覀兌x長度為M的有限長序列的N點(diǎn)離散傅里葉變換： （） （） 式中，N稱為DFT變換區(qū)間長度，可證的具有唯一性[15]。這就是頻域采樣定理的內(nèi)容。用表示循環(huán)卷積，表示L點(diǎn)循環(huán)卷積，所以上式表示為。 關(guān)于線性卷積與循環(huán)卷積之間的關(guān)系，我們對比線性卷積和循環(huán)卷積的定義式，假設(shè)與的長度分別為N和M，有： （） （） 其中。 基于DFT的信號頻譜分析所謂信號的頻譜分析就是計(jì)算信號的傅里葉變換，獲得信號的頻譜函數(shù)，研究信號的頻譜特性。對連續(xù)時(shí)間信號以采樣間隔進(jìn)行等間隔脈沖采樣，則其頻譜以進(jìn)行周期性延拓，當(dāng)采樣頻率大于兩倍的最高頻率時(shí)，將不產(chǎn)生頻譜混疊，于是對采樣信號進(jìn)行低通濾波處理便可恢復(fù)原信號。這些算法，稱之為快速傅立葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）。在此，我們僅以時(shí)域抽取基2FFT算法（簡稱DITFFT）為例進(jìn)行討論。所以，M級運(yùn)算總的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為 lb （） 復(fù)數(shù)加法次數(shù)為 lb （） 所以對比直接計(jì)算N點(diǎn)DFT，DITFFT大大減少了運(yùn)算次數(shù)。然后對信號的離散化處理和離散信號的采樣與抽取進(jìn)行了簡要介紹以加深對傅里葉變換的認(rèn)識。參考文獻(xiàn)：[1] [N].新聞天地(論文版),2009,(01):138140.[2] 奧本海姆 A V :西安交通大學(xué)出版社,2002.[3] 彭啟琮,邵懷宗,[M].北京:電子工業(yè)出版社,2006.[4] (第四版)[M].北京:高等教育出版社,2005.[5] Joyce Van de of digital signal processing [M].Beijing: Publishing House of Electronics Industry,2003:470481.[6] [M].北京:科學(xué)出版社,2008.[7] Gabel R A,Robert R and Linear ed.[.]:John Wiley and Sons, Inc. ,1987.[8] Ambardar 、[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2001.[9] 李亞峻,史興榮,[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2012. 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