[理學(xué)]第8章傅里葉變換(編輯修改稿)
2024-11-15 00:56 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ?? ? ? ?????????????22000c o s sind / 2 0e0 tttttt?? ? ? ???????????? ????? ????因 此2201 c o s s in( ) dttft ? ? ? ? ?? ? ??? ???? 0 , 0()e , 0ttftt????? ???δ－函數(shù)及其傅立葉變換 在物理和工程技術(shù)中 ,除了用到指數(shù)衰減函數(shù)外 ,還常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù) .因?yàn)樵谠S多物理現(xiàn)象中 ,除了有連續(xù)分布的物理量外 ,還會(huì)有集中在一點(diǎn)的量（點(diǎn)源） ,或者具有脈沖性質(zhì)的量 .例如瞬間作用的沖擊力 ,電脈沖等 .在電學(xué)中 ,我們要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后所產(chǎn)生的電流；在力學(xué)中 ,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等 .研究這類問(wèn)題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù) .有了這種函數(shù) ,對(duì)于許多集中在一點(diǎn)或一瞬間的量 ,例如點(diǎn)電荷、點(diǎn)熱源、集中于一點(diǎn)的質(zhì)量以及脈沖技術(shù)中的非常狹窄的脈沖等 ,就能夠像處理連續(xù)分布的量那樣 ,用統(tǒng)一的方式來(lái)加以解決 . 1 δ函數(shù)的定義 ? （ 1） δ函數(shù)的數(shù)學(xué)定義 ? （ 2）物理學(xué)家狄拉克給出的定義 滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)稱為 δ函數(shù)： （ i） （ ii） 000( ) li m ( )0????tttt????? ????( ) 0 ( 0 )? tt??( ) 1? t d t???? ??0 , 0 。1( ) , 00,tttt?????????? ? ??????0001( ) d lim ( ) d lim 1?????? ?t t t t d t? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? δ函數(shù)的傅氏變換是廣義傅氏變換，許多重要的函數(shù)，如常函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等是不滿足傅氏積分定理中的絕對(duì)可積條件的 ， 這些函數(shù)的廣義傅氏變換都可以利用 δ函數(shù)而得到。 2. δ函數(shù)的性質(zhì) （ 1）對(duì)任意的連續(xù)函數(shù) ()ft? ?( ) ( ) = 0 ? t f t d t f????? ? ?00( ) ( )? t t f t d t f t???? ???（ 2） 函數(shù)為偶函數(shù) ,即 ()t? ( ) ( )tt????（ 3） ()t t d t???? ? ?ut?其中 , ??????0001)(tttu 稱為單位階躍函數(shù) . )(tudtd ? ?t??. ?函數(shù)的傅氏變換為 : 0[ ( ) ] ( ) ( ) e d e 1j t j ttt F t t??? ? ??? ?????? ? ? ??F于是 ? (t)與常數(shù) 1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì) . 1 1( ) [ 1 ]2jtt e d??????? ? ??? ?F 2 ( )jte d t??????? ? ? ? ?證法 2：若 F(?)=2?? (?), 由傅氏逆變換可得 j01( ) 2 ( ) e d 12t j tf t e???? ? ? ?? ?????? ? ??例 1 證明： 1和 2?? (?)構(gòu)成傅氏變換對(duì) . 證法 1： ? ? ? ?1 2 .j t j se d t s t e d s?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ???F1000jjjj0j01( ) ( ) e d212 ( ) e d e e .2e 2 ( )tttttf t F??????????? ? ? ? ??? ? ? ???????????? ? ? ????證 ：即 和 構(gòu) 成 了 一 個(gè) 傅 氏 變 換 對(duì) 。0j 0e 2 ( )t? ? ? ? ??例 2 證 明 和 構(gòu) 成 一 個(gè) 傅 氏 變 換 對(duì) 。由上面兩個(gè)函數(shù)的變換可得 0jj( )0e d 2 ( )e d 2 ( )tttt???? ? ?? ? ? ?????????????????例 3 證明符號(hào)函數(shù)的付氏變換為 2j?證： 1 , 0sg n 0 , 01 , 0tttt???????? ??? 1 2[]j??1 2 1 c os sin21 sin c osjt t j te d djjttjd? ????? ? ? ????? ? ?? ? ? ?? ? ? ???????????? ???????02 s i n t d? ?????? ?02 , 0sin2 , 0tt dt?? ????? ???? ????1 , 00 , 01 , 0ttt???????? ??例 4 求單位階躍函數(shù)的傅氏變換 解 注意到 1 ()
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