傅里葉變換、拉普拉斯變換、z變換(編輯修改稿)
2025-09-01 02:04 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 應(yīng)了圖中的彩色直線(xiàn)。振幅為 0 的正弦波。動(dòng)圖請(qǐng)戳：File:Fourier series and 老實(shí)說(shuō)，在我學(xué)傅里葉變換時(shí)，維基的這個(gè)圖還沒(méi)有出現(xiàn)，那時(shí)我就想到了這種表達(dá)方法，而且，后面還會(huì)加入維基沒(méi)有表示出來(lái)的另一個(gè)譜——相位譜。但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么。記得前面說(shuō)過(guò)的那句“世界是靜止的”嗎？估計(jì)好多人對(duì)這句話(huà)都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個(gè)看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線(xiàn)，但實(shí)際這些曲線(xiàn)都是由這些無(wú)窮無(wú)盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影，而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線(xiàn)上的投影。那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫(huà)面呢？我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無(wú)數(shù)的齒輪，大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪再帶動(dòng)更小的。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人——那就是我們自己。我們只看到這個(gè)小人毫無(wú)規(guī)律的在幕布前表演，卻無(wú)法預(yù)測(cè)他下一步會(huì)去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說(shuō)來(lái)有些宿命論的感覺(jué)。說(shuō)實(shí)話(huà)，這種對(duì)人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的，當(dāng)時(shí)想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級(jí)數(shù)……這三種變換都非常重要！任何理工學(xué)科都不可避免需要這些變換。這三種變換的本質(zhì)是將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換為頻域。傅里葉變換的出現(xiàn)顛覆了人類(lèi)對(duì)世界的認(rèn)知：世界不僅可以看作雖時(shí)間的變化，也可以看做各種頻率不同加權(quán)的組合。舉個(gè)不太恰當(dāng)?shù)睦樱阂皇卒撉偾穆曇舨ㄐ问菚r(shí)域表達(dá)，而他的鋼琴譜則是頻域表達(dá)。三種變換由于可以將微分方程或者差分方程轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的計(jì)算成本。另外，在通信領(lǐng)域，沒(méi)有信號(hào)的頻域分析，將很難在時(shí)域理解一個(gè)信號(hào)。因?yàn)橥ㄐ蓬I(lǐng)域中經(jīng)常需要用頻率劃分信道，所以一個(gè)信號(hào)的頻域特性要比時(shí)域特性重要的多。具體三種變換的分析（應(yīng)該是四種）是這樣的：傅里葉分析包含傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換。傅里葉級(jí)數(shù)用于對(duì)周期信號(hào)轉(zhuǎn)換，傅里葉變換用于對(duì)非周期信號(hào)轉(zhuǎn)換。但是對(duì)于不收斂信號(hào)，傅里葉變換無(wú)能為力，只能借助拉普拉斯變換。（主要用于計(jì)算微分方程）而z變換則可以算作離散的拉普拉斯變換。（主要用于計(jì)算差分方程）從復(fù)平面來(lái)說(shuō)，傅里葉分析直注意虛數(shù)部分，拉普拉斯變換則關(guān)注全部復(fù)平面，而z變換則是將拉普拉斯的復(fù)平面投影到z平面，將虛軸變?yōu)橐粋€(gè)圓環(huán)。（不恰當(dāng)?shù)谋确骄褪悄欠N一幅畫(huà)只能通過(guò)在固定位置放一個(gè)金屬棒，從金屬棒反光才能看清這幅畫(huà)的人物那種感覺(jué)。）我假定樓主對(duì)這些變換已有一些了解，至少知道這些變換怎么算。好了，接下來(lái)我將從幾個(gè)不同的角度來(lái)闡述這些變換。一個(gè)信號(hào)，通常用一個(gè)時(shí)間的函數(shù)來(lái)表示，這樣簡(jiǎn)單直觀(guān)，因?yàn)樗暮瘮?shù)圖像可以看做信號(hào)的波形，比如聲波和水波等等。很多時(shí)候，對(duì)信號(hào)的處理是很特殊的，比如說(shuō)線(xiàn)性電路會(huì)將輸入的正弦信號(hào)處理后，輸出仍然是正弦信號(hào)，只是幅度和相位有一個(gè)變化（實(shí)際上從數(shù)學(xué)上看是因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是線(xiàn)性微分方程的特征函數(shù)，就好像矩陣的特征向量一樣，而這個(gè)復(fù)幅度對(duì)應(yīng)特征值）。因此，如果我們將信號(hào)全部分解成正弦信號(hào)的線(xiàn)性組合（傅里葉變換），那么就可以用一個(gè)傳遞函數(shù)來(lái)描述這個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)。倘若這個(gè)信號(hào)很特殊，例如，傅里葉變換在數(shù)學(xué)上不存在，這個(gè)時(shí)候就引入拉普拉斯變換來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。這樣一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)都可以用一個(gè)傳遞函數(shù)來(lái)表示。所以，從這里可以看到將信號(hào)分解為正弦函數(shù)（傅里葉變換）或者 復(fù)指數(shù)函數(shù)（拉普拉斯變換）對(duì)分析線(xiàn)性系統(tǒng)至關(guān)重要。如果只關(guān)心信號(hào)本身，不關(guān)心系統(tǒng)，這幾個(gè)變換的關(guān)系可以通過(guò)這樣一個(gè)過(guò)程聯(lián)系起
法律信息相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1