傅里葉變換、拉普拉斯變換、z變換(編輯修改稿)
2025-09-01 02:04 本頁面
【文章內容簡介】 應了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波。動圖請戳：File:Fourier series and 老實說，在我學傅里葉變換時，維基的這個圖還沒有出現(xiàn)，那時我就想到了這種表達方法，而且，后面還會加入維基沒有表示出來的另一個譜——相位譜。但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計好多人對這句話都已經吐槽半天了。想象一下，世界上每一個看似混亂的表象，實際都是一條時間軸上不規(guī)則的曲線，但實際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是一個旋轉的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會產生一個什么畫面呢？我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個小人——那就是我們自己。我們只看到這個小人毫無規(guī)律的在幕布前表演，卻無法預測他下一步會去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠一直那樣不停的旋轉，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實話，這種對人生的描繪是我一個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的，當時想想似懂非懂，直到有一天我學到了傅里葉級數(shù)……這三種變換都非常重要！任何理工學科都不可避免需要這些變換。這三種變換的本質是將信號從時域轉換為頻域。傅里葉變換的出現(xiàn)顛覆了人類對世界的認知：世界不僅可以看作雖時間的變化，也可以看做各種頻率不同加權的組合。舉個不太恰當?shù)睦樱阂皇卒撉偾穆曇舨ㄐ问菚r域表達，而他的鋼琴譜則是頻域表達。三種變換由于可以將微分方程或者差分方程轉化為多項式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的計算成本。另外，在通信領域，沒有信號的頻域分析，將很難在時域理解一個信號。因為通信領域中經常需要用頻率劃分信道，所以一個信號的頻域特性要比時域特性重要的多。具體三種變換的分析（應該是四種）是這樣的：傅里葉分析包含傅里葉級數(shù)與傅里葉變換。傅里葉級數(shù)用于對周期信號轉換，傅里葉變換用于對非周期信號轉換。但是對于不收斂信號，傅里葉變換無能為力，只能借助拉普拉斯變換。（主要用于計算微分方程）而z變換則可以算作離散的拉普拉斯變換。（主要用于計算差分方程）從復平面來說，傅里葉分析直注意虛數(shù)部分，拉普拉斯變換則關注全部復平面，而z變換則是將拉普拉斯的復平面投影到z平面，將虛軸變?yōu)橐粋€圓環(huán)。（不恰當?shù)谋确骄褪悄欠N一幅畫只能通過在固定位置放一個金屬棒，從金屬棒反光才能看清這幅畫的人物那種感覺。）我假定樓主對這些變換已有一些了解，至少知道這些變換怎么算。好了，接下來我將從幾個不同的角度來闡述這些變換。一個信號，通常用一個時間的函數(shù)來表示，這樣簡單直觀，因為它的函數(shù)圖像可以看做信號的波形，比如聲波和水波等等。很多時候，對信號的處理是很特殊的，比如說線性電路會將輸入的正弦信號處理后，輸出仍然是正弦信號，只是幅度和相位有一個變化（實際上從數(shù)學上看是因為指數(shù)函數(shù)是線性微分方程的特征函數(shù)，就好像矩陣的特征向量一樣，而這個復幅度對應特征值）。因此，如果我們將信號全部分解成正弦信號的線性組合（傅里葉變換），那么就可以用一個傳遞函數(shù)來描述這個線性系統(tǒng)。倘若這個信號很特殊，例如，傅里葉變換在數(shù)學上不存在，這個時候就引入拉普拉斯變換來解決這個問題。這樣一個線性系統(tǒng)都可以用一個傳遞函數(shù)來表示。所以，從這里可以看到將信號分解為正弦函數(shù)（傅里葉變換）或者 復指數(shù)函數(shù)（拉普拉斯變換）對分析線性系統(tǒng)至關重要。如果只關心信號本身，不關心系統(tǒng)，這幾個變換的關系可以通過這樣一個過程聯(lián)系起
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