【正文】 :電子工業(yè)出版社,2009.[12] 芮坤生,潘夢賢,(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[13] 覃 [J].科技向?qū)?2013,(05):54.[14] [J].現(xiàn)代電子技術(shù),2006,(11):134137.[15] 高西全,(第三版)[M].西安:.[16] 鄭君里,應(yīng)啟珩,(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004.[17] Alan V Oppenheim,Ronald W Schafer,John R ,黃建國,:西安交通大學(xué)出版社,2001.[18] (第三版)[M].北京:.[19] [M].北京:北京理工大學(xué)出版社,1997. WORD格式整理 。 本文從基本概念出發(fā)，介紹了傅里葉變換的基本內(nèi)容，并分析討論了各種傅里葉變換的概念及其相互間的關(guān)系。 8點DFT一次時域抽取分解運算流圖Figure The flow diagram of one time deposition operation in 8 point DFT 依照上述方法，對信號進行M次分解最后將N點DFT分解成N個1點DFT和M級蝶形運算，而一點DFT就是時域序列本身。其周期性表現(xiàn)為 （） 其對稱性表現(xiàn)為 （) （） FFT算法就是不斷把長序列的DFT分解成幾個短序列的DFT，并利用的周期性和對稱性來減少DFT的運算次數(shù)。這大大限制了DFT算法的使用。而DFT對應(yīng)的是有限長序列和有限點頻域采樣，故對連續(xù)非周期信號進行DFT處理時通常先對信號進行預(yù)濾波和截取處理，使信號滿足DFT的要求，當(dāng)然這也必然引入誤差，這不是本文所要討論的內(nèi)容。由于可以用矩陣法和利用DFT計算循環(huán)卷積，故在滿足時，我們也可以用相同的方法計算線性卷積。 序列及其循環(huán)卷積波形Figure Sequence and its cyclic convolution waveform 循環(huán)卷積定理表明，對于式（）所示卷積，的L點DFT為： （） 其中。循環(huán)卷積與線性卷積具有一定的關(guān)系使得循環(huán)卷積定理具有很強的實用性，在計算系統(tǒng)輸出以及用FFT實現(xiàn)FIR濾波器等都是以該定理為基礎(chǔ)。 將（）式代入上式化簡得： （） 所以： （）式（）說明，在上的N點等間隔采樣的N點IDFT是原序列以N為周期進行周期擴展后的主值序列。 離散傅里葉變換（DFT） 在離散傅里葉級數(shù)的變換中，我們已知與都是以N為周期的序列。然而以上討論的信號處理方式都是連續(xù)函數(shù)或者以積分的形式出現(xiàn)，這樣不利于計算機進行處理。 （） 序列采樣與抽取間的關(guān)系Figure The relationship between the sequence of sampling and extraction為了確定抽取在頻域中的效果，希望能求得的傅里葉變換和之間的關(guān)系。該圖的左邊是某一具有代表性的頻譜，和，其中假定，所以沒有頻譜混疊。討論如下 ， （） 根據(jù)的傅里葉變換是，所以有 （） 考慮的離散時間傅里葉變換，利用（）式得： （） 對比（）式和（）式可見： （）式（）表明可由進行尺度變換得到，這種頻率域尺度的伸縮變換是數(shù)字頻率與模擬頻率的體現(xiàn)。同連續(xù)情況一樣，周期序列傅里葉變換的引入，就能在統(tǒng)一的框架內(nèi)對離散序列進行分析。與連續(xù)時間情況相同，當(dāng)周期時，趨于，也就是說，對任何有限時間n值而言，就等于。同時，式（）向我們揭示了周期信號頻譜系數(shù)與非周期信號傅里葉變換之間的關(guān)系，即：一個周期信號的傅里葉系數(shù)能夠利用的一個周期內(nèi)信號的傅里葉變換的等間隔采樣來表示。 由于離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示是由有限項構(gòu)成，故不存在收斂問題，離散時間周期信號用傅里葉級數(shù)的表示與原信號完全等價。根據(jù)式（）有： （） 式中，稱為數(shù)字頻率，單位是弧度（rad），它表示序列變化的速率，或者說表示相鄰兩個序列值之間相位變化的弧度數(shù)；稱為模擬角頻率，單位是弧度每秒（rad/s），它表示沒秒經(jīng)歷多少弧度。若令，則有另一種表示形式： （） 同連續(xù)時間情況一樣，我們更關(guān)心的是復(fù)指數(shù)信號是局限為純虛數(shù)的情形，特別考慮： （） 觀察頻率為的離散時間復(fù)指數(shù)信號，我們發(fā)現(xiàn)： （）這表明離散時間復(fù)指數(shù)信號是以頻率的周期信號，而連續(xù)時間復(fù)指數(shù)信號，對于不同的，表示不同頻率的復(fù)指數(shù)信號，不具備頻率上的周期性。 離散時間序列 離散時間序列是自變量取值離散，函數(shù)值取值連續(xù)的一類信號，也可以表示成一串有序數(shù)字的集合。本章并不打算涉及傅里葉變換的所有內(nèi)容，而是立足于連續(xù)信號與離散信號之間的對應(yīng)關(guān)系，分析討論幾種基本的傅里葉變換并著重闡述這幾種傅里葉變換之間的聯(lián)系。如在引言中我們曾介紹過，在滿足狄里赫利條件下，周期信號可以表示成它的級數(shù)形式，即成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)形式。也就是說： 離散時間： （） 其中， （） 這里，對于每個給定的z值，為常數(shù)。 利用卷積定理計算系統(tǒng)響應(yīng)原理框圖Figure The principle frame graph of calculation system response by using convolution theorem 式（）所示的卷積運算也是通常所說的線性卷積，在離散傅里葉變換（DFT）中要有還將定義一種卷積，為循環(huán)卷積。 我們知道一個時域離散信號可以表示成一串移位的單位脈沖序列的線性組合。 設(shè)和分別作為系統(tǒng)的輸入序列，對應(yīng)系統(tǒng)輸出分別為和，則線性系統(tǒng)一定滿足下面兩個公式： （） （） （）表征線性系統(tǒng)的可加性；（）表征線性系統(tǒng)的齊次性，式中為常數(shù)。并介紹了它的一種快速算法。最后，簡要介紹了LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)，其響應(yīng)以一個簡單的形式呈現(xiàn)，特別強調(diào)復(fù)指數(shù)信號的原因是傅里葉變換的實質(zhì)就是將信號表示成復(fù)指數(shù)信號的疊加。 本文所研究內(nèi)容關(guān)于傅里葉變換的推導(dǎo)研究有很多錯綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式和概念之間的聯(lián)系。這是由于拉格朗日頑固地堅持50年前就已經(jīng)提出過的關(guān)于拒絕接受三角級數(shù)的觀點，強烈反對這篇論文的發(fā)表。1753年D關(guān)鍵字：LTI系統(tǒng)；卷積；傅里葉變換；DFTAnalysis of Fourier TransformLIU ChaoyuanSchool of Electronic and Information Engineering, Southwest China University, Chongqing 400715, ChinaAbstract: The essence of the Fourier transform to signal is deposed into different frequency of plex exponential signals, due to the response of plex exponential signals in LTI system is very simple, and the Fourier transform has many useful properties make Fourier transform can be widely used in signal analysis. Signal Fourier transform has many forms, and has a strong link between each other: such as periodic extension of nonperiodic signal, the Fourier series(FS) is the original signal Fourier transform(FT) interval sampling。各種FFT算法的提出大大減少了DFT的運算次數(shù)，使DFT得以廣泛應(yīng)用，并極大促進了數(shù)字信號處理技術(shù)的發(fā)展。關(guān)于傅里葉分析方法的建立有過一段漫長的歷史[2]，它涉及到很多人的工作和許多不同物理現(xiàn)象的研究。當(dāng)時，1807年傅里葉的那篇論文并未公開露面。然而，也正是由于理論的拓展我們往往很容易就混淆與各種不同的概念之間也很難把握各種傅里葉變換之間的關(guān)系。本章介紹線性時不變系統(tǒng)的基本概念；并以離散信號為例，說明信號通過LTI系統(tǒng)后的響應(yīng)，即響應(yīng)為輸入和系統(tǒng)函數(shù)的卷積。本章介紹了DFT的引入和其基本內(nèi)容，它的物理意義是對信號傅里葉變換的有限取樣。 時域離散系統(tǒng)Figure Discrete timedomain system 線性系統(tǒng) 線性即為線性疊加，它包含可加性和齊次性。這里也通過卷積的推導(dǎo)過程來加深對LTI系統(tǒng)的了解。該方法中，將兩個信號的卷積轉(zhuǎn)化為它們的傅里葉變換相乘這種簡單的代數(shù)運算，這一點既方便與信號與系統(tǒng)的分析，又大大深化了一個LTI系統(tǒng)對施加于它的輸入信號響應(yīng)這一問題的理解。由卷積和可以確定系統(tǒng)輸出為：