【正文】 （） 觀察式（）發(fā)現(xiàn)：一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)也是同樣一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)。因?yàn)楦道锶~變換的內(nèi)容簡(jiǎn)言之就是對(duì)于各種不同類型信號(hào)，如何將它表示成復(fù)指數(shù)信號(hào)的疊加。例如，連續(xù)時(shí)間信號(hào)的脈沖采樣信號(hào)，其連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（FT）是原信號(hào)FT的周期性延拓。在下文中為了加深對(duì)傅里葉變換的認(rèn)識(shí)我們將具體介紹這種處理過程。一種重要的復(fù)指數(shù)信號(hào)是將限制為純虛數(shù)，特別考慮如下信號(hào)： （） 利用歐拉公式，（）式復(fù)指數(shù)信號(hào)可以用正弦信號(hào)來表示，即： （） 容易求得，對(duì)于任意，復(fù)指數(shù)信號(hào)為周期信號(hào)，基波周期 離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)具有如下形式： （） 這里和一般均為復(fù)數(shù)。 若離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)是有連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)等間隔采樣得到，則二者之間將存在一定聯(lián)系。式中系數(shù)往往稱為傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)或頻譜系數(shù)，它可由信號(hào)確定： 連續(xù)： （） 離散： （) 對(duì)于連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)，存在一個(gè)收斂問題，我們有如下結(jié)論：對(duì)于連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)，在滿足狄里赫利條件[2]下，除了在某些不連續(xù)的孤立t值外，等于它的傅里葉級(jí)數(shù)表示；而在那些不連續(xù)的點(diǎn)上，無窮級(jí)數(shù)收斂于不連續(xù)點(diǎn)兩邊值的平均值。通常稱為的頻譜，它告訴我們將表示成不同頻率正弦信號(hào)的線性組合（就是積分）所需要的信息。對(duì)信號(hào)進(jìn)行周期性擴(kuò)展，擴(kuò)展周期為N，建立周期信號(hào)。 關(guān)于周期序列的傅里葉變換，因?yàn)椋? （） 而一周期為N的周期序列可表示為： （） 故該周期序列的傅里葉變換為： （） 這樣，一個(gè)周期序列的傅里葉變換就表示成頻域中的沖擊串，若知道該周期序列的傅里葉系數(shù)便可直接求出其傅里葉變換。 采樣定理各信號(hào)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系Figure The corresponding relationship between the signals of the sampling theorem 是從沖擊到序列的轉(zhuǎn)換，它們間傅里葉變換的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用尺度變換表示，或者說是歸一化的過程。 利用離散時(shí)間濾波器過濾連續(xù)時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)Figure the system by using discretetime filters processing continuous time signal Figure The description of the system in frequency domain。所以在應(yīng)用中通常用序列的抽取序列來替代。第四章 數(shù)字信號(hào)處理 在傅里葉變換和信號(hào)分析中，我們總希望能運(yùn)用數(shù)值運(yùn)算的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析[13]。于是有： （） （） 將（）式和（）式稱為一對(duì)DFS，、都以N為周期且都為離散序列。那么在頻域中是否也有類似的規(guī)律[16]？ 我們?cè)O(shè)任意序列的DTFT： 對(duì)在上N點(diǎn)等間隔采樣： （） 將看做是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列的DFT，即 由DFT與DFS之間的關(guān)系可知，是以N為周期的周期擴(kuò)展信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的主值序列，是的主值序列。 循環(huán)卷積 在DFT中有個(gè)及其重要的概念：循環(huán)卷積，并有循環(huán)卷積定理[17]。對(duì)給定序列進(jìn)行4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積，其卷積結(jié)果是不同的。（）式說明了循環(huán)卷積與線性卷積之間的關(guān)系，在的情況下，循環(huán)卷積等于線性卷積。 信號(hào)及其傅里葉變換之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系Figure the conversion relationship between signal and its Fourier transform 在傅里葉變換理論中我們知道對(duì)有限持續(xù)時(shí)間的信號(hào)其頻譜是無限寬的，同樣對(duì)頻譜有限寬的信號(hào)其持續(xù)時(shí)間為無限長(zhǎng)。 快速傅里葉變換FFT 有限長(zhǎng)序列的N點(diǎn)DFT為： （）根據(jù)定義式發(fā)現(xiàn)計(jì)算N點(diǎn)的DFT需要進(jìn)行次復(fù)數(shù)乘法和次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算，當(dāng)N較大時(shí)，計(jì)算量太大。另外，旋轉(zhuǎn)因子具有明顯的周期性和對(duì)稱性。 蝶形運(yùn)算符號(hào)Figure The butterfly putation symbols 采樣這種圖示法，經(jīng)過一次奇偶抽取分解后，圖中，N=8，由（）式給出，而則由（）式給出。對(duì)比時(shí)域分析，它具有簡(jiǎn)化計(jì)算、便于分析等優(yōu)勢(shì)。拉普拉斯變換是連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅里葉變換的推廣，Z變換是離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間傅里葉變換的推廣，引入拉普拉斯變換和Z變換可將傅里葉分析推廣到更廣泛的信號(hào)，并都有其特定的分析理論和方法。 為了使傅里葉變換能夠利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析計(jì)算。 DITFFT算法與直接計(jì)算DFT所需復(fù)數(shù)乘法次數(shù)的比較曲線Figure The parison curve of plex multiplications required for DITFFT algorithm and direct DFT calculation ，在圖中我們能直觀的看出FFT算法的優(yōu)越性。 設(shè)序列的長(zhǎng)度為N，且滿足，M為自然數(shù)。快速博里葉變換并不是與DFT不同的另外一種變換，而是為減少DFT計(jì)算次數(shù)的一種快速有效的算法[19]。這說明在滿足一定條件下連續(xù)信號(hào)的等間隔采樣可恢復(fù)原信號(hào)。由于工程中遇到很多信號(hào)都為連續(xù)非周期信號(hào)，這種信號(hào)在時(shí)域和頻域均是連續(xù)的，因此無法利用計(jì)算機(jī)直接對(duì)其進(jìn)行頻譜分析。 所以： （）式（）說明，對(duì)于有限長(zhǎng)序列和的L點(diǎn)循環(huán)卷積是其線性卷積的以L為周期的周期擴(kuò)展信號(hào)的主值序列，由于的長(zhǎng)度為N+M1，所以當(dāng)時(shí)，的周期擴(kuò)展不產(chǎn)生時(shí)域混疊，故此時(shí)。直接計(jì)算循環(huán)卷積比較麻煩，在計(jì)算機(jī)中通常采用矩陣相乘或通過循環(huán)卷積定理利用離散傅里葉變換進(jìn)行計(jì)算。 頻域采樣定理的驗(yàn)證Figure Verification of the frequency domain sampling theorem ，(b)與(a)分別為原序列及其DTFT，序列長(zhǎng)度為26。若是以周期為N的拓展序列，將（）、（）式與（）、（）式進(jìn)行對(duì)比，將發(fā)現(xiàn)、分別是、的主值序列，即： （） （） 因此，可以說反映了的周期拓展序列的頻譜特性。 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù) 我們先從周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）說起。 采樣與抽取之間的關(guān)系在頻域中的說明Figure Description the relationship between the sampling and extraction in the frequency domain 與之間的關(guān)系可以從另一個(gè)角度進(jìn)行理解。觀察整個(gè)變換過程，對(duì)比與的頻譜，顯而易見 （） 這樣，對(duì)于輸入是充分帶限的，并滿足采樣定理的條件下，與離散時(shí)間頻率響應(yīng)的關(guān)系為 （） 這個(gè)等效的連續(xù)時(shí)間濾波器的頻率響應(yīng)就是該離散時(shí)間濾波器在一個(gè)周期內(nèi)的特性，只是頻率軸有一個(gè)線性尺度變換。可以簡(jiǎn)單表述為：若離散時(shí)間信號(hào)由連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行周期采樣得到，則離散時(shí)間信號(hào)的DTFT就是連續(xù)時(shí)間信號(hào)FT進(jìn)行周期擴(kuò)展后的尺度變換[1]。重寫如下： （） 我們關(guān)心的是連續(xù)信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（FT）與離散信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）之間的關(guān)系。當(dāng)然我們會(huì)發(fā)現(xiàn)連續(xù)時(shí)間傅里葉變換與離散時(shí)間傅里葉變換之間一個(gè)明顯的不同就是，離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換是以為周期的，而連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換不具備這種周期性。 以上討論的是非周期信號(hào)的傅里葉變換，其實(shí)在引入奇異函數(shù)后對(duì)于周期信號(hào)也能夠建立傅里葉變換表示，這樣一來就可以在一個(gè)統(tǒng)一的框架內(nèi)考慮周期信號(hào)與非周期信號(hào)。 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換 為了對(duì)非周期信號(hào)引入傅里葉變換，我們將非周期信號(hào)看成是周期無限大的周期信號(hào)，觀察周期無限大周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式的極限特性。所謂諧波關(guān)系就是一類信號(hào)的集合，集合內(nèi)所有信號(hào)都有一個(gè)公共周期。連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)是以的周期信號(hào)，離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)是否具有同樣的周期性呢？我們?cè)O(shè)： N為周期，N0。通常也通過（）式建立連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間的聯(lián)系。，其中和都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，而和都是對(duì)應(yīng)于和的離散時(shí)間信號(hào)。且隨著理論研究的不斷深入，傅里葉變換所涉及的內(nèi)容也將不斷延伸。由上述討論得，LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)有一個(gè)簡(jiǎn)單的形式，即復(fù)指數(shù)信號(hào)通過LTI系統(tǒng)其響應(yīng)仍是相同頻率的復(fù)指數(shù)信號(hào)，不同的只是幅度上的變?cè)抂8]。用式子分別表示為： （） 掌握這幾種性質(zhì)與利于加深對(duì)LTI系統(tǒng)的了解。結(jié)合（）與（）式，得： （） 定義（）式為卷積運(yùn)算，用符號(hào)記作： （） 所以，綜上，可以通俗的表述為：對(duì)于LTI系統(tǒng)，在已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的情況下，可直接通過計(jì)算系統(tǒng)輸入與的卷積，便能得出系統(tǒng)輸出。 時(shí)不變系統(tǒng) 對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)的描述可以用輸入時(shí)移，輸出產(chǎn)生同樣的時(shí)移來描述，換句話說就是系統(tǒng)的特性行為不隨時(shí)間而變。第二章 線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI系統(tǒng)）在了解傅里葉變換之前，我們必須先了