【正文】 其中。這是DFT中關鍵的一個定理。 關于線性卷積與循環(huán)卷積之間的關系，我們對比線性卷積和循環(huán)卷積的定義式，假設與的長度分別為N和M，有： （） （） 其中。 所以： （）式（）說明，對于有限長序列和的L點循環(huán)卷積是其線性卷積的以L為周期的周期擴展信號的主值序列，由于的長度為N+M1，所以當時，的周期擴展不產(chǎn)生時域混疊，故此時。，它說明了線性卷積與循環(huán)卷積之間的關系。 線性卷積與循環(huán)卷積Figure Linear convolution and cyclic convolution 用DFT計算循環(huán)卷積的原理框圖Figure The principle frame graph of calculating cyclic convolution，因為有循環(huán)卷積定理，我們可以用計算DFT的方式計算循環(huán)卷積，這與在第一章中介紹的可以用計算序列的DTFT來計算系統(tǒng)響應的方法類似。在L很大的情況下，這種算法將大大提高計算速度。（）式說明了循環(huán)卷積與線性卷積之間的關系，在的情況下，循環(huán)卷積等于線性卷積。由于可以用矩陣法和利用DFT計算循環(huán)卷積，故在滿足時，我們也可以用相同的方法計算線性卷積。從而可以借助計算機計算線性卷積。 基于DFT的信號頻譜分析所謂信號的頻譜分析就是計算信號的傅里葉變換，獲得信號的頻譜函數(shù)，研究信號的頻譜特性。由于工程中遇到很多信號都為連續(xù)非周期信號，這種信號在時域和頻域均是連續(xù)的，因此無法利用計算機直接對其進行頻譜分析。而DFT是對連續(xù)信號時域和頻率的采樣，是離散的傅里葉變換，適合數(shù)值運算。故我們想到可以利用DFT對連續(xù)信號進行近似的頻譜分析。 [18]，并直觀的理解用DFT對連續(xù)非周期信號進行頻譜分析的方法。 信號及其傅里葉變換之間的相互轉(zhuǎn)換關系Figure the conversion relationship between signal and its Fourier transform 在傅里葉變換理論中我們知道對有限持續(xù)時間的信號其頻譜是無限寬的，同樣對頻譜有限寬的信號其持續(xù)時間為無限長。而DFT對應的是有限長序列和有限點頻域采樣，故對連續(xù)非周期信號進行DFT處理時通常先對信號進行預濾波和截取處理，使信號滿足DFT的要求，當然這也必然引入誤差，這不是本文所要討論的內(nèi)容。假設連續(xù)非周期信號是經(jīng)過預濾波和截取處理后的有限長帶限信號。對連續(xù)時間信號以采樣間隔進行等間隔脈沖采樣，則其頻譜以進行周期性延拓，當采樣頻率大于兩倍的最高頻率時，將不產(chǎn)生頻譜混疊，于是對采樣信號進行低通濾波處理便可恢復原信號。這說明在滿足一定條件下連續(xù)信號的等間隔采樣可恢復原信號。對于從等間隔取樣的序列，其N點DFT就是對的離散時間傅里葉變換在上的等間隔采樣，用表示，在前邊的討論中我們知道，當變換區(qū)間長度N大于序列的長度時，對進行IDFT變能還原序列。所以在滿足采樣定理的條件下對連續(xù)時間信號的等間隔脈沖采樣信號可通過低通濾波器恢復原連續(xù)信號；在變換區(qū)間長度N大于采樣序列長度的條件下，對序列傅里葉變換在主值區(qū)間內(nèi)的等間隔采樣可通過IDFT恢復原序列。這就是可以用離散傅里葉變換DFT來擬合連續(xù)信號頻譜的基本思路。 快速傅里葉變換FFT 有限長序列的N點DFT為： （）根據(jù)定義式發(fā)現(xiàn)計算N點的DFT需要進行次復數(shù)乘法和次復數(shù)加法運算，當N較大時，計算量太大。這大大限制了DFT算法的使用。為了快速計算 DFT，近半個世紀以來，人們對離散傅立葉變換的計算進行了大量的研究，提出了很多有效的快速計算 DFT 的方法。這些算法，稱之為快速傅立葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）?？焖俨├锶~變換并不是與DFT不同的另外一種變換，而是為減少DFT計算次數(shù)的一種快速有效的算法[19]。其突出的優(yōu)點在于能快速高效地和比較精確地完成 DFT 的計算。如上所述，N點DFT的復數(shù)乘法次數(shù)為。顯然，把N點DFT分解為幾個較短的DFT可使乘法次數(shù)大大減少。另外，旋轉(zhuǎn)因子具有明顯的周期性和對稱性。其周期性表現(xiàn)為 （） 其對稱性表現(xiàn)為 （) （） FFT算法就是不斷把長序列的DFT分解成幾個短序列的DFT，并利用的周期性和對稱性來減少DFT的運算次數(shù)。目前，已經(jīng)研究出了多種不同的FFT算法，但基本原理都是相同的。在此，我們僅以時域抽取基2FFT算法（簡稱DITFFT）為例進行討論。 設序列的長度為N，且滿足，M為自然數(shù)。按n的奇偶將分解為兩個點的子序列 則的DFT為 因為： 所以 （） 其中和分別為和的點DFT。由于和均以為周期，且，因此又可表示為 （） （） 這樣，就將N點的DFT分解為兩個點的DFT和（）與（）式。（）和（），稱為蝶形運算符號。 蝶形運算符號Figure The butterfly putation symbols 采樣這種圖示法，經(jīng)過一次奇偶抽取分解后，圖中，N=8，由（）式給出，而則由（）式給出。 8點DFT一次時域抽取分解運算流圖Figure The flow diagram of one time deposition operation in 8 point DFT 依照上述方法，對信號進行M次分解最后將N點DFT分解成N個1點DFT和M級蝶形運算，而一點DFT就是時域序列本身。 8點DITFFT運算流圖Figure The flow diagram of 8 point DITFFT ，時，其運算流圖應有M級蝶形，每一級由N/2個蝶形運算構成。所以，M級運算總的復數(shù)乘法次數(shù)為 lb （） 復數(shù)加法次數(shù)為 lb （） 所以對比直接計算N點DFT，DITFFT大大減少了運算次數(shù)。 DITFFT算法與直接計算DFT所需復數(shù)乘法次數(shù)的比較曲線Figure The parison curve of plex multiplications required for DITFFT algorithm and direct DFT calculation ，在圖中我們能直觀的看出FFT算法的優(yōu)越性。也正是由于各種快速算法的提出，大大提高了DFT的運算速度，使得DFT能夠在信號處理中得到廣泛的應用，并極大促進了數(shù)字信號處理技術的發(fā)展。第五章 總結(jié) 由于不同頻率的復指數(shù)信號可疊加成相當廣泛的一類有用信號，且對于LTI系統(tǒng)，復指數(shù)對系統(tǒng)的響應十分簡單，其輸出有一個很方便的表達式，所以我們可以運用傅里葉變換，從頻率域?qū)π盘栠M行分析，并且傅里葉變換有多個極其有用的性質(zhì)。使得傅里葉變換在信號分析領域得以廣泛運用的原因。對比時域分析，它具有簡化計算、便于分析等優(yōu)勢。 本文從基本概念出發(fā)，介紹了傅里葉變換的基本內(nèi)容，并分析討論了各種傅里葉變換的概念及其相互間的關系。如非周期信號的周期性延拓，其傅里葉級數(shù)是原信號傅里葉變換的等間隔采樣；若離散序列由連續(xù)信號周期取樣得到，則離散序列的離散時間傅里葉變換是連續(xù)時間信號傅里葉變換以取樣頻率進行周期性延拓后的尺度變換。然后對信號的離散化處理和離散信號的采樣與抽取進行了簡要介紹以加深對傅里葉變換的認識。 為了使傅里葉變換能夠利用計算機進行分析計算。我們對信號及其頻譜進行有限長取樣，從而引入離散傅里葉變換DFT，這是對信號頻譜分析的逼近。并且有多種快速算法，使得離散傅里葉變換得到廣泛使用。限于篇幅，關于傅里葉分析理論中兩個極其重要的概念拉普拉斯變換和Z變換本文并不涉及。拉普拉斯變換是連續(xù)時間信號傅里葉變換的推廣，Z變換是離散時間信號離散時間傅里葉變換的推廣，引入拉普拉斯變換和Z變換可將傅里葉分析推廣到更廣泛的信號，并都有其特定的分析理論和方法。參考文獻：[1] [N].新聞天地(論文版),2009,(01):138140.[2] 奧本海姆 A V :西安交通大學出版社,2002.[3] 彭啟琮,邵懷宗,[M].北京:電子工業(yè)出版社,2006.[4] (第四版)[M].北京:高等教育出版社,2005.[5] Joyce Van de of digital signal processing [M].Beijing: Publishing House of Electronics Industry,2003:470481.[6] [M].北京:科學出版社,2008.[7] Gabel R A,Robert R and Linear ed.[.]:John Wiley and Sons, Inc. ,1987.[8] Ambardar 、[M].北京:機械工業(yè)出版社,2001.[9] 李亞峻,史興榮,[J].數(shù)學學習與研究,2012. [10] 桂志國,[M].北京:國防工業(yè)出版社,2012.[11] 桂志國,[M].北京:電子工業(yè)出版社,2009.[12] 芮坤生,潘夢賢,(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[13] 覃 [J].科技向?qū)?2013,(05):54.[14] [J].現(xiàn)代電子技術,2006,(11):134137.[15] 高西全,(第三版)[M].西安:.[16] 鄭君里,應啟珩,(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004.[17] Alan V Oppenheim,Ronald W Schafer,John R ,黃建國,:西安交通大學出版社,2001.[18] (第三版)[M].北京:.[19] [M].北京:北京理工大學出版社,1997. WORD格式整理