【正文】 式 ， 求出輸出的 FT， 再作逆 FT求出輸出信號 。h(n) () ()11( ) ( ) * ( ) ( ) ( )22( ) ( ) ( )1( ) [ ( ) ]2j j j j jj j nnj j n j nnY e X e H e X e H e dY e x n h n ex n H e e d e?? ? ? ? ? ?????? ? ???????????? ?????? ????????? ?第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ()()1( ) ( ) [ ( ) ]21()21( ) * ( )2j j j nnjjjjY e H e x n e dH e X e dH e H e?? ? ? ???? ? ?????????????? ? ????????? 7. 帕斯維爾 (Parseval)定理 222**1( ) (21( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ) ]2jnj j nn n nx n x e dx n x n x n x n X e e d?????????????? ??? ? ??? ?? ? ?? ? ?????? ?? ? ? ?() 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 帕斯維爾定理告訴我們 ， 信號時(shí)域的總能量等于頻域的總能量 。 最后 ， 表 FT的性質(zhì) ， 這些性質(zhì)在分析問題和實(shí)際應(yīng)用中是很重要的 。 為求系數(shù) ak， 將上 式兩邊乘以 ， 并對 n在一個周期 N中求和 2j mnNe ??第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ()式的證明 ， 作為練習(xí)自己證明 。 如對 ()式兩端乘以 ， 并對 k在一個周期中求和 ， 得到 ~()xk~()xn2j klNe?2 2 2 21 1 1 1 1~ ~ ~ ()0 0 0 0 0( ) [ ( ) ] ( )N N N N Nj k l j k n j k l j l k kN N N Nk k k k kX k e X n e e X n e? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?同樣按照 ()式 ， 得到 21~~01( ) ( )N j k nNkx n x k eN???? ? () 將 ()式和 ()式重寫如下： 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ()式和 ()式稱為一對 DFS。 其波分量的頻率是2π/N， 幅度是 。 21~ ~ ~021~ ~ ~0( ) [ ( ) ] ( )1( ) [ ( ) ] ( )N j k nNnNj k nNnX k D FS x n x n ex k I D FS x k x k eN??? ???????????() () ~(1 / ) ( )N X k~(1 / ) (1)NX第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 x(n)=R4(n)， 將 x(n)以 N=8為周期 ， 進(jìn) 行周期延拓 ， 得到如圖 (a)所示的周期序列 ， 周期為 8， 求 的 DFS。 38sin2sin8jkkek?????~ ()Xk第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 表 基本序列的傅里葉變換 該指數(shù)序列的 FT假設(shè)已知 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 1( ) ( )21( 1 ) ( 1 )2( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )1()1jjx n u nx n u nx n x n u n u n nXee??????? ? ? ?? ? ? ? ? ???對 (a)式進(jìn)行 FT， 得到 ( ) ( ) ( 2 )1( ) ( 2 )1jjkjjkX e U e kU e ke????? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ????第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 FT。 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 對比圖 ， 對于同一個周期信號 ， 其 DFS和 FT分別取模的形狀是一樣的 ， 不同的是 FT用單位沖激函數(shù)表示 (用帶箭頭的豎線表示 )。 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 ， 2π/ω0為有理數(shù) ， 求其 FT。 ω0處的單位沖激函數(shù) ， 強(qiáng)度為 π， 且以 2π為周期進(jìn)行延拓 ， 如圖 所示 。 ∞之間 。 x(n)的一對傅里葉變換用 ()式和 ()式表示 ， 重寫如下： ( ) ( )1( ) ( )2j j nnj j nX e x n ex n X e e d??????????? ???????第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 X(e jω)與 Xa(jΩ)之間有什么關(guān)系 ， 數(shù)字頻率 ω與模擬頻率 Ω(f)之間有什么關(guān)系 ， 這在模擬信號數(shù)字處理中 ， 是很重要的問題 。 將 t=nT代入 ()式中 ， 得到 1( ) ( )2j n Taax n T X j e d?? ???? ? ??() ( 2 1 ) /( 2 1 ) /1( ) ( )2rT j n Taa rTrx n T X j e d???? ???? ? ?? ? ?? ?第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 令 ， 代入上式后 ， 再將 Ω′用 Ω 代替 ， 得到 2 rT??? ? ? ? /2///12( ) ( )212( ) ( )2nTj nT j rnaaTrnTj nTaaTrx nT X j r e e dTx nT X j r e dT???????????? ?????? ??? ? ? ?? ? ? ?? ??? 式中 ， 因?yàn)?r和 n均取整數(shù) ， ej2πrn=1， 交換求和 號和積分號得到 () 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 在第一章中曾得到結(jié)論 ， 如果序列是由一模擬信號取樣產(chǎn)生 ， 則序列的數(shù)字頻率 ω與模擬信號的頻率Ω(f)成線性性關(guān)系 ， 如 ()式所示 ， 重寫如下： ω=ΩT 式中 T是采樣周期 T=1/fs， 將 ()式代入 () 式得到 1 1 2( ) ( )212( ) ( )jnaarjarx nT X j j r e dT T TX e X j j rT T T????????????? ???? ?????????現(xiàn)在對比 ()式和 ()式 ， 得到 () () 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 上面 ()式即表示序列的傅里葉變換 X(ejω)和模擬信號 xa(t)的傅里葉變換 Xa(jΩ)之間的關(guān)系式 ， 我們將()式與 ()式對比 ， 得到結(jié)論： 序列的傅里葉變換和模擬信號的傅里葉變換之間的關(guān)系 ， 與采樣信號 、 模擬信號分別的 FT之間的關(guān)系一樣 ， 都是 Xa(jΩ)以周期 Ωs=2π/T進(jìn)行周期延拓 ， 頻率軸上取值的對應(yīng)關(guān)系用 ()式表示 。 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系 － 0 . 5－ 1 0 0 . 5 1－ 0 . 5－ 1 0 0 . 5 1－ 0 . 5－ 1 0 0 . 5 1－ fs2sf?fs ff ′2s??2sf2s?s?s?? ?? ??? ?000 π2ππ?π2?第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 xa(t)=cos(2πf0t)， f0=50 Hz以采樣頻率fs=200 Hz對 xa(t)進(jìn)行采樣 ， 得到采相信號 和時(shí)域離散信號 x(n)， 求 xa(t)和 的傅里葉變換以及x(n)的 FT。 2πf0處的單位沖激函數(shù) ， 強(qiáng)度為 π， 如圖 (a)所示 。 將采樣信號轉(zhuǎn)換成序 列 x(n)， 用下式表示： x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT) ()aXj? ? 按照 ()式 ， 得到 x(n)的 FT， 實(shí)際上只要將 Ω=ω/T=ωfs代入 中即可 。 π/2， 因此 X(ejω)用下式表示： 00( ) [ ( 2 2 ) ( 2 2 )]js s s skX e f k f f f k f fT? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??( ) [ ( 2 ) ( 2 )]22jkX e k kT? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??() 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 Xa(j Ω )0Ω0－ Ωs2s??2s?Ω s……T?ΩXa(j Ω )＾0… …ω2??2?（ a ）（ b ）（ c ）X (ej ω)π0π2 f0π2 f0π2 f?0π2 f?πππ? π2π2?第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 序列的 Z變換 Z變換的定義 序列 x(n)的 Z變換定義為 ( ) ( ) nnX z x n z? ?? ? ?? ?() 式中 z是一個復(fù)變量 ， 它所在的復(fù)平面稱為 z平面 。 ∞之間求和 ， 可以稱為雙邊 Z變換 。 一 般收斂域用環(huán)狀域表示 這種單邊 Z變換的求和限是從零到無限大 ， 因此對于因果序列 ， 用兩種 Z變換定義計(jì)算出的結(jié)果是一樣的 。 ()式 Z變換存在的條件是等號右邊級數(shù)收斂 ， 要求級數(shù)絕對可和 ， 即 ()nnxxx n zR z R??? ?????????() 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 Z變換的收斂域 第 2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 常用的 Z變換是一個有理函數(shù) ， 用兩個多項(xiàng)式之比表示 分子多項(xiàng)式 P(z)的根是 X(z)的零點(diǎn) ， 分母多項(xiàng)式Q(z)