第3章離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析——傅里葉變換-在線瀏覽
2024-12-14 13:40本頁面
【正文】 k e I D F S X kN?????? 0 , 1 , 2 , . . . , 1kN??其中 為周期序列傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，其大小為 ()Xk第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 210( ) ( ) [ ( ) ]N j n kNnX k x n e D F S x n?? ????? 0 , 1 , 2 , . . . , 1kN??為了書寫方便，常令符號(hào) 這樣周期序列的傅里葉變換對可以寫為： 正變換： 反變換： 2jNNWe???10( ) [ ( ) ] ( )NnkNnX k D F S x n x n W???? ?0 , 1 , 2 , . . . , 1kN??101( ) [ ( ) ] ( )N nkNnx n I D F S X k X k WN????? ?0 , 1 , 2 , .. ., 1nN??第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 例 34 設(shè) ，將 以 N=10為周期作周期延拓， 得到周期信號(hào) ，求 的 DFS。 ()yn1()xn 2()xn解 : N 0 1 2 N1 N m 1()xmN 0 1 2 N1 N m 2()xmN 0 1 2 N1 N m 2 (0 )xm?N 0 1 2 N1 N m 2 (1 )xm?第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 N 0 1 2 N1 N m 2 (2 )xm?N 0 1 2 N1 N m 2 (3 )xm?N 0 1 2 N1 N m 12( ) ( 2 )x m x m?N 0 1 2 N1 N n ()yn( ) ( 2 )x m x m?()yn第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 如果 12( ) ( ) ( )y n x n x n?則 ? ? 111 2 2 10011( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )NNllY k D F S y n X l X k l X l X k lNN????? ? ? ? ???第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 有限長序列的離散傅里葉變換 (DFT) 設(shè) x(n)為有限長序列，長度為 N，即 x(n)只在 n=0,1,…N 1有 值，其他值時(shí)， x(n)=0。 ()xn()xn為了書寫方便，將上式簡寫為： ( ) ( ( ) ) Nx n x n?其中， 表示數(shù)學(xué)上“ n對 N取余數(shù)”，或稱為“ n對 N取模值。 ( ) ( )x n n?? ()xn解： 11000( ) ( ) ( ) 1 , 1 , ..., 1NNnk nkN N NnnX k x n W n W W k N?????? ? ? ? ? ???3. 離散傅里葉變換的性質(zhì) (1)線性 ? ?? ?1122( ) ( )( ) ( )D F T x n X kD F T x n X k??如果序列 和 長度都為 N，且 1()xn 2()xn則有： ? ?1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )D F T a x n b x n a X k b X k? ? ?第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 (2) 序列的圓周移位性 若設(shè) 是 的圓周移位，即 ()yn ()xn? ?? ? ? ?() NNy n x n m R n??則 ( ) [ ( ) ] ( )mkNY k D F T y n W X k???(3) 圓周卷積和 設(shè)有限長序列 和 ，長度分別為 和 ， 1()xn 2()xn 1N 2N12m a x [ , ]N N N? 1()xn和 2()xn 的 N點(diǎn) DFT分別為： 1 1 2 2[ ( ) ] ( ) , [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , . . . , 1D F T x n X k D F T x n X k k N? ? ? ?時(shí)域圓周卷積和定理 若 12( ) ( ) ( )Y k X k X k?則有： 1( ) ( )y n x n?N 2()xn 1120[ ( ) ( ( ) ) ] ( )NNNmx m x n m R n?????第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 頻域圓周卷積和定理 如果 12( ) ( ) ( )y n x n x n??則有： 11( ) ( )Y k X kN?N 2 ()XK 圓周相關(guān)原理 若有兩有限長序列 和 圓周相關(guān)，即 11**00( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )NNx y N N N Nnnr m y n x n m R m x n y n m R m????? ? ? ???則相關(guān)序列 的 DFT與兩序列 和 的 DFT滿足： *( ) ( ) ( )xyR k X k Y k?當(dāng) 和 為實(shí)序列時(shí)，則有 1100( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )NNx y N N N Nnnr m y n x n m R m x n y n m R m????? ? ? ???()xn ()yn()xn ()yn()yn()xn()xyrn第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 5. 共軛對稱性 設(shè) 為 的共軛復(fù)序列，則 *()xn ()xn**[ ( ) ] ( ) , 0 1D F T x n X N k k N? ? ? ? ?**[ ( ) ] ( ) , 0 1D F T x N n X k k N? ? ? ? ?有限長序列長度為 N，則它的圓周共軛對稱分量 和圓周共軛凡對稱分量 分別定義為： ()epxn()opxn**1( ) [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] ( )21( ) [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] ( )2e p N N Nop N N Nx n x n x N n R nx n x n x N n R n? ? ?? ? ?任何
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