【正文】 展成以下部分分式形式 式中，若 時，才存在整式部分系數(shù) （即上式右邊第一項），可用長除法得到，而當(dāng) 時， ； 為 的各一階極點； 為 的一個 k階極點。 22)2)(1(2)(??? zzzzX 2?z)(nx2)()1(1???????? ????zzzXzA2212 )2(21)2)(1(2)(????????? zCzCzAzzzzzX 解： 第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 32 /186 2)()2(221 ??????? ????zzzXzdzdC4)()2(222 ??????? ????zzzXzC所以 2)2(42212)(???????zzzzzzzX考慮 收斂域知 應(yīng)為右邊序列。 )6(5)(2 ??? zzzzX 32 ?? z)(nx32)3)(2(5)( 21??????? zAzAzzzzX解 1)()2(21 ??????? ???zzzXzA1)()2(21 ??????? ???zzzXzA第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 34 /186 則 32)( ???? zzzzzX上式第一項只有極點 ，由收斂域中 可知，該項的反變換應(yīng)為右邊因果序列，則 2?z 3?znzzZ )3(]3[1 ????? 0?n， 第二項只有極點 ，同樣由收斂域中 可知，該項的反變換應(yīng)為左邊序列，則 ， 3??z 3?znzzZ )3(]3[1 ????? 1??n第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 35 /186 所以，所求序列為 ??????????1,)3(0,2)(nnnxnn或?qū)懗? )1()3()(2)( ????? nununx nn 由以上分析可見，在求 z反變換時，一定要考慮收斂域，注意區(qū)別哪些極點對應(yīng)右邊序列，哪些極點對應(yīng)左邊序列。 將 展開為冪級數(shù)常用的方法有兩種。下面通過例子對其進行說明。 解 : 依據(jù)冪級數(shù)展開公式 ， 以及 中的 （由收斂域得到），可得 由上式看到， 項的系數(shù)是 ，又由收斂域的形式得知， 是一個右邊序列，則所求 為 )1ln ()( 1??? azzX az ?)(nx???????11)1()1ln(nnnnxx 11 ??? x)(zX 11 ??az?????? ????111 )1()1l n ()(nnnnnzaazzXnz?na nn 1)1( ??)(nx)(nx??????????0,01,)1()(1nnnanxnn第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 39 /186 2）長除法 一般為有理分式，用 的分母多項式去除分子多項式就可得到其冪級數(shù)形式。觀察 z變換的定義式 ，若 是右邊序列，當(dāng) 時 ,z的冪逐漸減小，則此時，應(yīng)該將 展開 z的降冪級數(shù)；若 是左邊序列，當(dāng) 時， z的冪逐漸增加，則應(yīng)該將 展開 z的升冪級數(shù)。 解 由表達(dá)式知， 只有一個極點 ，且收斂域 在極點所在圓的外部，所以 應(yīng)為右邊序列，則應(yīng)將 展開成 z的降冪級數(shù)。 ??????? ??? 2211 11 1)( zaazazzX)()( nuanx n?第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 42 /186 例 試用長除法求 ， 的 z反變換 。對于雙邊序列可先將其分解為右邊序列和左邊序列，所以先將 展開成部分分式再長除。分別運用長除法如下： 第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 45 /186 即 zzzzzzX 441664)( 23451 ?????? ?第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 46 /186 ?????????641641)(3212zzzzX 的冪級數(shù)形式為 所以 z反變換 為 )(zX5 4 3 1 2 321( ) ( 4 1 )15 64 16 4 4 16 64z z z z z zX z z z ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?)(nx21( 4 ) , 115()11( ) , 01 5 4nnnxnn??????? ?? ???第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 47 /186 . 圍線積分法 (留數(shù)法 ) 除了以上討論的求解 z反變換的兩種方法外， z反變換也可以用反演積分來計算。 對 z變換定義式兩端同乘以 ，得 對上式兩端進行圍線積分，可得 )(zX1?kz11 )()( ???????? ?? knnk znxzzX? ?? ???????? ?cknnck dzznxjdzzzXj11 )(21)(21??第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 48 /186 其中 c是一條位于 收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的逆時針圍線。 ? ?? c n dzzzXjnx 1)(2 1)( ?第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 50 /186 直接計算式 （ ） 的圍線積分比較復(fù)雜， 當(dāng) 是有理分式時，通常都采用留數(shù)定理來求解。 mz1)( ?nzzX1)( ?nzzX111( ) ( ) R e [ ( ) ]2 mnnzzcmx n X z z dz s X z zj? ?? ?? ? ? ??第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 52 /186 若 是 的一階極點，則有 若 是 的多重（ s階極點），則有 kz 1)( ?nzzX11R e ( ) ( ) ( )kknnkz z z zs X z z z z X z z????? ? ? ???? ? ? ?kz 1)( ?nzzX11111R e ( ) ( ) ( )( 1 ) !kksn s nksz z z zds X z z z z X z zs d z????????? ? ? ?????? ? ? ????需要注意的是，在使用上述兩式時，一定要計算 出 位于 c內(nèi)或 c外的所有可能的極點處的留數(shù)，而且，當(dāng) n取值不同時， 處極點的階次可能會發(fā)生變化。 解 的反變換為 由于收斂域為 ，所以 應(yīng)為因果序列，當(dāng) 時， 不是 的極點。 解 c為 收斂域內(nèi)的圍線， 如圖 。 ?????????????2,)4(1511,)41(151)(2nnnxnn第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 58 /186 變換的性質(zhì)與定理 在研究離散時間信號與系統(tǒng)過程中，理解并掌握 z變換的一些常用性質(zhì)與定理是特別重要的。 第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 59 /186 z變換是一種線性變換，滿足均勻性與疊加性，即若 則對于任意常數(shù) a、 b下式成立： 收斂域一般是 和 收斂域的重疊部分。 Z [ ( ) ] ( ) , xxx n X z R z R??? ? ?Z [ ( ) ] ( ) , yyy n Y z R z R??? ? ?),m i n (),m a x (),()()]()([ ???? ????? yxyx RRzRRzbYzaXnbynaxZ)()( zbYzaX ? )(zX )(zY第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 60 /186 例 已知 ，求其 z變換。查表 )()co s ()( 0 nunnx ??0001c o s ( ) ( ) [ ] ( )2j n j nn u n e e u n??? ???)(nx11[ ( ) ] ,1nZ a u n z aaz ????第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 61 /186 由此得 綜合上述分析，得所求 z變換為 000 11[ ( ) ] , 11j n jjZ e u n z eez??? ?? ? ??000 11[ ( ) ] , 11j n jjZ e u n z eez?????? ?? ? ??000 111 1 1[ c o s ( ) ( ) ] [ ] , 12 1 1jjZ n u n ze z e z??? ???? ? ???第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 62 /186 2．移位性質(zhì) 1）雙邊 z變換 若序列 的雙邊 z變換為 ， 則移位 m后的序列 的雙邊 z變換為 ， 其中 m為任意整數(shù)，若 m為正，則為右移（延遲）；若 m為負(fù)，則為左移（超前）。也就是說， 的收斂域與 的收斂域相同， 或 可能除外。但如果 是雙邊序列， 收斂域為環(huán)形區(qū)域，則序列位移并不會使 z變換收斂域發(fā)生變化。 另外，從以上分析可知，若序列 延遲一個單位，即 ，新序列的 z變換多乘一個 ，所以，在后續(xù)內(nèi)容中，繪制信號流圖時常用 表示單位延遲。 解 查表 依據(jù)移位性質(zhì)得 因此，依據(jù)線性性質(zhì)得所求為 ( ) ( ) ( 3 )x n u n u n? ? ?[ ( ) ] , 11zZ u n zz???23[ ( 3 ) ] [ ( ) ] , 11zZ u n z Z u n zz??? ? ? ??2221[ ( ) ] , 111z z z zZ x n zz z z? ??? ? ? ???第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 69 /186 （ z域尺度變換） 此性質(zhì)描述了序列 乘以指數(shù) 后，其 z變換如何變化。可見序列 x(n)乘以實指數(shù)序列等效于 z平面尺度展縮。 )(nx na)()]([ zXnxZ ? ?? ?? xx RzR?? ??? xxn RazRaazXnxaZ ),()]([[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )n n n nnnzzZ a x n a