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第2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的z域分析(參考版)

2025-07-23 09:09本頁面
  

【正文】 ( ) [ ( ) ] , xxX z Z x n R z R??? ? ?( ) [ ( ) ]H z Z h n?nnR z R???? ( ) ( ) ( )y n x n h n?dvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYcc11)()(21)()(21)]([)(????????????? ?? nxnx RRzRR( / )X z v ()Hv第 2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 88 /186 例 已知 , 求 。 第 2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 85 /186 例 已知 , 求 。在分析離散線性移不變系統(tǒng)中,時(shí)域卷積定理特別重要。但如果位于某一 z變換收斂域邊緣上的極點(diǎn)被另一 z變換的零點(diǎn)抵消,則收斂域?qū)?huì)擴(kuò)大。 ??n ()xn1( ) Re [ ( ) ] zx s X z ???)(zX ()xn第 2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 80 /186 對于因果序列 ,若 , ,則有 證明 令 ,顯然 也為因果序列,則依據(jù)定義得 ()xn ( ) [ ( ) ]X z Z x n? xzR??0[ ( ) ] ( ) , m a x [ ,1 ]1nxmzZ x m X z z Rz ?? ????0( ) ( )nmy n x m?? ? ()yn0 0 0[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]nnnm n mZ y n Z x m x m z??? ? ???? ? ?第 2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 81 /186 由此可知 n、 m的取值范圍分別為 ,如圖 ,交換求和次序,得 收斂域?yàn)榈谝淮吻蠛徒Y(jié)果 的收斂域 及 收斂域 的重疊部分。 所以 ()Xz)1( ?z )()1( zXz ? ??? z111l im ( 1 ) ( ) l im [ ( 1 ) ( ) ]l im { [ ( 0 ) 0 ] [ ( 1 ) ( 0 ) ] [ ( 1 ) ( ) ] }l im [ ( 1 ) ] l im ( )nmznmnnnz X z x m x mx x x x n x nx n x n?? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??1l i m ( 1 ) ( ) l i m ( )znz X z x n? ? ???第 2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 79 /186 顯然,只有極點(diǎn)在單位圓內(nèi),當(dāng) 時(shí) 才收斂,才可應(yīng)用終值定理。 解 由題可見, 是序列 的反褶序列,查表 , 則依據(jù)反褶性質(zhì)得所求 z變換為 , ( ) ( )nx n a u n???( ) ( )nx n a u n??? ()na u n11[ ( ) ]1nZ a u naz ?? ? za?1( ) [ ( 1 ) ]1nX z Z a u naz?? ? ??1za??第 2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 76 /186 若 是因果序列,則其初值為 證明 依據(jù) z變換定義 顯然 由初值定理可以看出,若 是因果序列,則根據(jù) 就可求得 ;反過來,若因果序列 的初值為一個(gè)有限值,則其 z變換 分子多項(xiàng)式 z的階次一定小于等于分母多項(xiàng)式 z的階次。 證明 即收斂域?yàn)? 。 解 將 兩端對 z求導(dǎo)得 則查表 , 依據(jù)移位性質(zhì)得 再依據(jù) z域微分性質(zhì)知 綜合上述兩式,得 即所求序列為 1( ) l n( 1 )X z az ??? za?1( ) l n( 1 )X z az ???21()1dX z azdz az?????21()( ) ( )1zn d X z aa a u n zd z a z ?? ? ?? ? ? ?za?11()( ) ( 1 )1zn d X z a za a u n zd z a z??? ? ? ?? ? ? ?1()()1z d X z a zn x n zd z a z ?? ?? ? ? ?1( ) ( ) ( 1 )nnx n a a u n?? ? ?1( ) ( 1 )() na a u nxnn????第 2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 73 /186 若 ,則有 其中, 為 的共軛序列。若 a為正實(shí)數(shù),則表示零極點(diǎn)位置在 z平面內(nèi)沿徑向收縮或擴(kuò)展;若 ,則表示零極點(diǎn)在 z平面內(nèi)圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 。這是因?yàn)槿绻? 有一個(gè)零點(diǎn)或極 點(diǎn) 處,則 一定有一個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)在 ,即 處。 證明 依據(jù) 定義得 , 即收斂域?yàn)? 。若 , 則有 其中 a為常數(shù),可以為復(fù)數(shù)。 )(nx)1( ?nx 1?z1?z第 2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 68 /186 例 求序列 的 z變換。 Z [ ( )] 1n? ?Z [ ( 1 ) ]nz? ?? ??z 1Z [ ( 1 ) ]nz? ??? 0?z)(zX第 2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 65 /186 2) 單邊 z變換 設(shè)序列 的單邊 z變換為 ,則 右移 k與左移 k( k為正整數(shù))后新序列的單邊 變換分別為 )(nx )(zX? )(nx()01[ ( ) ] ( ) ( )[ ( ) ( ) ]n k mn m kknnkZ x n k x n k z x m zz X z x n z??? ? ?? ? ??????? ? ? ???????010[ ( ) ] ( ) ( )[ ( ) ( ) ]n k mn m kkknnZ x n k x n k z x m zz X z x n z?????????? ? ? ???????第 2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 66 /186 ( ) 如果 是因果序列,則 項(xiàng)都等于零,而且由于因果序列的單邊 z變換與雙邊 z變換是相同的,于是因果序列右移后的單邊 z變換為 而因果序列左移后的單邊 z變換為 )(nx 1 () nnkx n z?????)()()]([ zXzzXzknxZ kk ?? ????10[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]kknnZ x n k z X z x n z????? ? ? ?第 2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 67 /186 )(nx 由于在實(shí)際中,需處理的信號大多是因果序列,除了移位性質(zhì)以外,雙邊 z變換的性質(zhì)大多都適用于單邊 z變換。 )()()()]([ zXzzkxzzmnxmnxZ mkkmnn ???????????? ????? ??0?z??z0?z??z??z0?zZ [ ( )]x n m? ()Xz 0?z??z第 2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 64 /186 例如, 的收斂域?yàn)檎麄€(gè) z平面, 而 在 處不收斂, 在 處不收斂。 )(nxZ [ ( ) ] ( )x n X z? xxR z R????)( mnx ?Z [ ( ) ] ( )mx n m z X z???xxR z R????第 2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 63 /186 證明 依據(jù)雙邊 z變換的定義,可得 可以看出,序列位移只會(huì)使新序列的 z變換在 或 處的零極點(diǎn)情況發(fā)生變化:當(dāng) m為正時(shí),在 處引入極點(diǎn),在 處引入零點(diǎn);當(dāng) m為負(fù)時(shí),在 處引入極點(diǎn),在 處引入零點(diǎn)。 解 依據(jù)歐拉公式,得 由題知, 是一個(gè)右邊因果序列。若在這些組合過程中,某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消,則收斂域有可能擴(kuò)大。這些性質(zhì)往往與 z變換對結(jié)合起來用,使 z變換與 z反變換的求解過程得到簡化。 )41)(4()(2???zzzzX 441 ?? z)(nx?? ?????????kzzncnkzzzsdzzzzjnx ])41)(4([Re)41)(4(21)( 11?()Xz第 2章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 56 /186 當(dāng) 時(shí),圍線 c內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn) ,則 當(dāng) 時(shí),圍線 c外只有一個(gè)一階極點(diǎn) ,而 c內(nèi)有一個(gè)一階極點(diǎn)
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