【正文】 系統(tǒng)的 Z域分析 77 /186 8. 終值定理 對(duì)于因果序列 ，若 的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，且只允許單位圓上最多在 處有一階極點(diǎn)，則有 證明 依據(jù)序列移位性質(zhì)得 因?yàn)? 是因果序列，所以 ()xn ( ) [ ( ) ]X z Z x n?1z?11 )]([Re)]()1[(lim)(lim ???? ??? zzn zXszXznx[ ( 1 ) ( ) ] ( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( ) ] nnZ x n x n z X z x n x n z??? ? ?? ? ? ? ? ? ??()xn11( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( ) ] l i m [ ( 1 ) ( ) ]nnmnnmz X z x n x n z x m x m z?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 78 /186 )1( ?z又由于只允許 在 z=1處可能有一階極點(diǎn)，故 因子 將抵消這一極點(diǎn)，因此 在 上收斂，所以可取 z→ 1的極限。 所以 ()Xz)1( ?z )()1( zXz ? ??? z111l im ( 1 ) ( ) l im [ ( 1 ) ( ) ]l im { [ ( 0 ) 0 ] [ ( 1 ) ( 0 ) ] [ ( 1 ) ( ) ] }l im [ ( 1 ) ] l im ( )nmznmnnnz X z x m x mx x x x n x nx n x n?? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??1l i m ( 1 ) ( ) l i m ( )znz X z x n? ? ???第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 79 /186 顯然，只有極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，當(dāng) 時(shí) 才收斂，才可應(yīng)用終值定理。 該定理又可寫為 即通過(guò) 可求得 的終值。 ??n ()xn1( ) Re [ ( ) ] zx s X z ???)(zX ()xn第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 80 /186 對(duì)于因果序列 ，若 ， ，則有 證明 令 ，顯然 也為因果序列，則依據(jù)定義得 ()xn ( ) [ ( ) ]X z Z x n? xzR??0[ ( ) ] ( ) , m a x [ ,1 ]1nxmzZ x m X z z Rz ?? ????0( ) ( )nmy n x m?? ? ()yn0 0 0[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]nnnm n mZ y n Z x m x m z??? ? ???? ? ?第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 81 /186 由此可知 n、 m的取值范圍分別為 ，如圖 ，交換求和次序，得 收斂域?yàn)榈谝淮吻蠛徒Y(jié)果 的收斂域 及 收斂域 的重疊部分。 [0 , ) , [0 , ]n m n? ? ?]1m ax [),(1)(1111)()]1()[()()]([)]([001102100 00，????????????????????????????????????????? ?? ??xmmmmmmm mnnnnnmnmRzzXzzzmxzzzmxzzzmxzmxzmxmxZ?111??z 1?z ()XzxzR??第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 82 /186 (時(shí)域卷積定理 ) 若 ； ，則 的 z變換為 ( ) [ ( ) ] , xxX z Z x n R z R??? ? ?( ) [ ( ) ] , hhH z Z h n R z R??? ? ?( ) ( ) ( )y n x n h n??( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) , m a x [ , ] m i n [ , ]x h x hY z Z y n Z x n h n X z H z R R z R R? ? ? ?? ? ? ? ? ? Y(z)的收斂域是 X(z)和 H(z)收斂域的重疊部分。但如果位于某一 z變換收斂域邊緣上的極點(diǎn)被另一 z變換的零點(diǎn)抵消，則收斂域?qū)?huì)擴(kuò)大。 第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 83 /186 證明 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] nnZ x n h n x n h n z??? ? ?? ? ??[ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ]( ) [ ( ) ][ ( ) ] ( )( ) ( ) , m a x[ , ] m i n[ , ]nnmnmnkmmkmmx h x hx m h n m zx m h n m zx m h k z zx m z H zX z H z R R z R R???? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ???????? ? ????????第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 84 /186 可見兩序列在時(shí)域中的卷積對(duì)應(yīng)于在 z域中兩序列z變換的乘積。在分析離散線性移不變系統(tǒng)中，時(shí)域卷積定理特別重要。如果 x(n)與 h(n)分別為線性移不變離散系統(tǒng)的激勵(lì)和單位抽樣響應(yīng)，那么在求系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí) y(n)時(shí)，可以避免卷積運(yùn)算，通過(guò) X(z)H(z)的逆變換求出 y(n)，在很多情況下，這樣會(huì)更方便些。 第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 85 /186 例 已知 ， 求 。 解 、 的 z變換分別為 則依據(jù)時(shí)域卷積定理，得 ， 1( ) ( ) , ( ) ( ) ( 1 ) ,n n nx n a u n h n b u n a b u n b a?? ? ? ? ?( ) ( ) ( )y n x n h n??()xn ()hn( ) [ ( ) ] ,zX z Z x n z aza? ? ??1( ) [ ( ) ] ,z z z a z aH z Z h n a z z bz b z b z b z b z b? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) z z a zY z X z H z z a z b z b?? ? ?? ? ?zb?第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 86 /186 ()Yz上式中 的極點(diǎn)與 的零點(diǎn)相消， 的收斂域擴(kuò)大為 ，所以 ()Xz ()Hz ()Yz1( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )ny n x n h n Z Y z b u n?? ? ? ?第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 87 /186 (z域卷積定理 ) 若 ； ， ， 則 的 z變換為 , () 其中 , c是在啞元變量 v平面上， 、 公共收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針封閉圍線。 ( ) [ ( ) ] , xxX z Z x n R z R??? ? ?( ) [ ( ) ]H z Z h n?nnR z R???? ( ) ( ) ( )y n x n h n?dvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYcc11)()(21)()(21)]([)(????????????? ?? nxnx RRzRR( / )X z v ()Hv第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 88 /186 例 已知 ， 求 。 解： 1( ) ( ) , ( ) ( 1 )nnx n a u n h n b u n?? ? ?( ) [ ( ) ( ) ]Y z Z x n h n?dvbvzavvjdvbvzavvjnhnxZzYcc ?? ???????))((21121)]()([)(??abz ?第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 89 /186 的收斂域?yàn)? ，而 的收斂域?yàn)? ，即 ，則重疊部分為 ；因此圍線 c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn) ，用留數(shù)計(jì)算可得 ()Xv va? ()zHvz bv ?zvb?zavb??.,]))(([Re))((21)(abzabzabvzvbvzavvsdvbvzavvjzYavavc???????????????第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 90 /186 (parseval)定理 若 且 ，則