第3章離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析——傅里葉變換-資料下載頁
2024-10-11 13:40本頁面
【導(dǎo)讀】為頻譜的相位特性。例3-1設(shè)序列x的波形如圖所示，求x的傅里葉變換。非周期序列傅里葉變換的性質(zhì)。對于序列進(jìn)行運(yùn)算，則()()()eoxnxnxn??對實(shí)數(shù)序列，有*()()xnxn?
【正文】 點(diǎn)數(shù) N大于或等于 M，即 N=M，則能無失 真的恢復(fù)出原信號。 ()Xk()xn()xn第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 例 311 設(shè)序列 的長度為 M=8，其大小為 ?，F(xiàn)對 的序列傅里葉變換 在一個(gè)周期內(nèi)作 6點(diǎn)均勻抽樣，得 ，試研究 的逆變換 與原來序列 的關(guān)系。 ()axn( ) { 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 }axn ? ()axn ()jXe ?()NXk ()NXk()axn()Nxn解：根據(jù)題意和頻率抽樣理論， 和原序列 的關(guān)系 滿足： ()Nxn()axn( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )N N a Nrx n x n R n x n rM R n?? ? ?? ? ??由于頻率抽樣點(diǎn)數(shù)小于序列長度，即 NM，因此，將原來 8點(diǎn)的序列 延拓成周期 N=6的周期序列，必然會(huì)發(fā)生時(shí) 域的混疊。混疊的方式是上一周期的后兩點(diǎn)和本周期的前 兩點(diǎn)相加，即 ()axn第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 所以， ( ) { 1 0 , 8 , 6 , 5 , 4 , 3 }Nxn ?…. 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 …. 第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 利用 DFT對連續(xù)時(shí)間信號處理時(shí)應(yīng)注意的問題 混疊失真與參數(shù)選擇 頻譜混疊失真：若信號持續(xù)時(shí)間無限長，則其頻譜無限寬， 若信號的頻譜有限寬，則持續(xù)的時(shí)間無限長。而實(shí)際處理的 信號一般是時(shí)限信號，則其頻譜無限寬，對其進(jìn)行抽樣時(shí)， 不滿足抽樣定理 ，出現(xiàn)頻譜混疊失真。 2shff?若對 進(jìn)行等間隔抽樣，抽樣間隔為： ()axt PThf2( ) ( ) j ftaaX jf x t e dt?? ???? ?其模擬角頻率為 設(shè)連續(xù)信號 持續(xù)時(shí)間為 ，最高頻率為 ，其傅里 葉變換為 ()axt2 f???112shT ff??第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 上式可近似為 在實(shí)際處理中，一般取 ，通過抽樣得 抽樣點(diǎn)數(shù)為 N，對 作零階近似， 即 ( 2 . 5 ~ 3 . 0 )shff?( ) ( )ax n x n T? ()aX jf,t n T d t T??120( ) ( )Nj fn TaanX jf T x n T e ????? ? 是 的連續(xù)周期函數(shù)，從頻域角度出發(fā)，需要對 在區(qū)間 上等間隔抽樣 N點(diǎn)，抽樣間隔為 F， F表示 抽樣后的頻率間隔，也稱為頻率分辨率，則 ()X jf f ()X jf()X jf[0, ]sf1sfFN NT??由于 則 PNT T?1PF T?第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 結(jié)論： (1)在 DFT對連續(xù)信號頻譜進(jìn)行近似分析時(shí)，信號的最高頻 率 與信號分辨率 F之間存在矛盾，隨著 增加，時(shí)域抽樣 間隔 T就一定減少，即抽樣頻率 增加；若抽樣點(diǎn)數(shù) N不變， 必須要求 F增加而不是減少，所以頻率分辨率下降。 (2)要提高分辨率（減少 T），就需增加 (3)要兼顧高頻容量 和頻率分辨率 F，是一個(gè)性能提高另 一個(gè)性能不變的唯一辦法是增加記錄長度的點(diǎn)數(shù) N，三者 要滿足關(guān)系 hf hfsfPThf2shffNFF??第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 頻譜泄漏 對于持續(xù)很長時(shí)間的信號，抽樣點(diǎn)數(shù)太多而導(dǎo)致無法 存儲(chǔ)和計(jì)算，只好截短形成有限長序列 進(jìn)行 DFT。這種截?cái)嗵幚頃?huì)引起信號的頻譜發(fā)生變化。 ( ) ( ) ( )Ny n x n R n?的頻譜如圖 (a)所示，加窗處理后 的頻譜 ( ) ( ) ( )Ny n x n R n?()xn()jYe? 如圖 (b)所示。 由圖可以看出，原序列 的頻譜 是離散的譜線，經(jīng)截短后，原頻譜的離散譜線向附近寬展 這種現(xiàn)象稱為頻譜泄漏。 ()xn?()jXe?0 /4?/4??(a) ?0 (b) ()jXe?第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 譜間干擾：在原譜線旁邊形成很多旁瓣，引起不同頻率 分量間的干擾，影響頻譜分辨率，這種干稱成為譜間干擾 柵欄效應(yīng) 用 DFT計(jì)算頻譜時(shí)，只是知道為頻率 的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個(gè)譜線之間的情況就不知道 ,這相當(dāng)通過一個(gè)柵欄觀察景象一樣，故稱作柵欄效應(yīng)。 1/ pFT?補(bǔ)零點(diǎn)加大周期 ，可使 F變小來提高分辨力，以減少柵欄效應(yīng)。 pT 用 DFT對模擬信號進(jìn)行頻譜分析是，只能得到模擬信 號的近似頻譜，其誤差主要來自兩個(gè)方面： (1)截?cái)嘈?yīng)（頻譜泄漏和譜間干擾） (2)頻譜混疊失真 第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 例 312 對實(shí)際信號進(jìn)行頻譜分析時(shí)，若要求頻譜分辨率 F=5Hz，信號最高頻率 fh=4kHz，試確定最小記錄時(shí)間 Tpmin，最大抽樣間隔 Tmax，最少抽樣點(diǎn)數(shù) Nmin。如果 fh 不變，要求分辨率增加一倍，重新確定上述分量。 解： 1 0. 2pTsF??所以最小記錄時(shí)間 m in ?由抽樣定理， 28shf f k H z?? 1 / 0 . 1 2 5sT f s??所以最大抽樣間隔 m a x 0 .1 2 5Ts?m inm a x2 40 00 16005hfNF?? ? ?若頻譜分辨率再大一倍，則 F應(yīng)減少一半， F=，則 m in1 ?? m in1 2 hTsf?? m in m a x2 2 4 0 0 0 32002 .5cfNF?? ?
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