【正文】 ?? ????????????? ? ?????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 11111( 2 ) ( ) ( ) ( )1( ) [ ( ) ] ,11( ) [ ( ) ] , 111( ) ( ) ( ) , 1( 1 ) ( 1 )1()2 ( 1 ) ( )nncy n h n x nH z Z T a u n z aazX z Z T u n zzY z H z X z zz azzy n dzz z a????????? ? ??? ? ??? ? ? ???????由收斂域判定 y(n)=0,n0。 n≥0 y(n)=Res［ Y(z)z n1,1］ +Res［ Y(z)z n1,a］ 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 111111 1 11( ) ( )1nnnaaa a aay n u na????? ? ?? ? ????將 y(n)表示為 如果 ZT［ x(n)］ =X(z)， R x|z|R x+ ZT［ y(n)］ =Y(z), R y|z|R y+ w(n)=x(n)y(n) 則 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 1( ) ( ) ( )2m a x( , ) m in( , )cx y x yxxyyz dvW z X v Yj v vR R z R RzzR v RRR?? ? ? ???????????W(z)的收斂域 ()式中 v平面上 ， 被積函數(shù)的收斂域為 () () () 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 1( ) ( ) ( )1[ ( ) ] ( )21( ) ( ) ( )21( ) ( )2nnnncnncncW z x n y n zX v v dv y n zjz dvX v y nj v vz dvX v Yj v v?????? ?????? ????? ???????? ????證明 由 X(z)收斂域和 Y(z)的收斂域 ， 得到 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 x(n)=u(n),y(n)=a|n|， 若 w(n)=x(n)y(n)，求 W(z)=ZT［ w(n)］ 解： m a x( , ) m in( , )xxyyx y x yxxyyR v RzRRvR R z R RzzR v RRR????? ? ? ?????????????因此 11( ) , 11X z zz ?? ? ? ??第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 W(z)收斂域為 |a||z|≤∞；被積函數(shù) v平面上收斂域為 max(|a|,0)|v|min(|a1|,|z|)， v平面上極點： a、 a1和z,c內(nèi)極點 z=a。 211211( ) ,( 1 ) ( 1 )1 ( 1 ) 1()2 ( 1 ) ( 1 )1caY z a z aaz aza dvWzuj av av vz?????? ? ??????????11( ) R e [ ( ) , ] ,1( ) ( )nW z s F v a a zazw n a u n?? ? ? ? ???第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 (Parseval)定理 利用復(fù)卷積定理可以證明重要的怕斯維爾定理 。 ( ) [ ( ) ] ,( ) [ ( ) ] ,1 , 1xxyxx y x xX z Z T x n R z RY z Z T y n R z RR R R R????? ? ? ?? ? ?? ? ???那么 111( ) ( ) ( ) ( )2 x n y n X v Y v d vjv??? ? ??? ? ??? ?v平面上 ， c所在的收斂域為 11m ax ( , ) m i n ( , )xxyyR v RRR??????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 證明 令 w(n)=x(n)y*(n) 按照 ()式 ， 得到 11( ) [ ( )] ( ) (( ) )2 czW z Z T w n X v Y v d vjv?? ? ??? ? 按照 ()式 ， R xR y|z|R x+R y+， 按照假 設(shè) ， z=1在收斂域中 ， 令 z=1代入 W(z)中 。 11111( 1 ) ( ) ( )2( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )11( ) ( ) ( ) ( )2cnznncnW X v Y v dvjvW x n y n z x n y nx n y n X v Y v dvjv???????? ? ??? ?? ? ???? ? ??? ?????????? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 如果 x(n)和 y(n)都滿足絕對可和 ， 即單位圓上收斂 ，在上式中令 v=e jω， 得到 221( ) ( ) ( ) ( )21( ) ( )2jjnjnx n y n X e Y e dx n X e d???????????????? ????? ????? ?? ?() 令 x(n)=y(n)得到 上面得到的公式和在傅里葉變換中所講的帕期維 爾定理 ()式是相同的 。 ()式還可以表示成下式： 2 11( ) ( ) ( )2 dzx n X z X zjz???? ? ??? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 利用 Z變換解差分方程 在第一章中介紹了差分方程的遞推解法 ， 下面介紹 Z變換解法 。 這種方法將差分方程變成了代數(shù)方程 ，使求解過程簡單 。 設(shè) N階線性常系數(shù)差方程為 00( ) ( )NNkkkka y n k b x n k??? ? ???() 如果輸入序列 x(n)是在 n=0以前 ∞時加上的 ， n時 刻的 y(n)是穩(wěn)態(tài)解 ， 對 ()式求 Z變換 ， 得到 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 0000001( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )()( ) [ ( ) ]NNkkkkkkNkkkNkkkNkkkNkkka Y z z b X z zbzY z X zazY z H z X zbzHzazy n Z T Y z?????????????????????????式中 () () 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 2. 求暫態(tài)解 對于 N階差分方程 ， 求暫態(tài)解必須已知 N個初始條件 。 設(shè) x(n)是因果序列 ， 即 x(n)=0,n0， 已知初始條件y(1),y(2)…y(N)。 對 ()式進(jìn)行 Z變換時 ， 注意這里要用單邊 Z變換 。 方程式的右邊由于 x(n)是因果序列 ，單邊 Z變換與雙邊 Z變換是相同的 。 下面先求移位序列的單邊 Z變換 。 設(shè) 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 00()0101( ) ( )[ ( ) ( ) ] ( )()()[ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ]nnnnm n mnmkkmm k kk k mmkkmY z y n zZ T y n m u n y n m zz y n m zz y k zz y k z y k zz Y z y k z???????? ? ????????? ? ?? ? ???????? ? ???????????????() 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 按照 ()式對 ()式進(jìn)行單邊 Z變換 10010000[ ( ) ( ) ] ( )()( ) ( )kNMk l kkk i k kMNk k lkkk k i kNNkkkkkka z Y z y l z b X z zb z a z y l zY z X za z a z?? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ?????????? ? ?? ? ???() 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 y(n)=by(n1)+x(n)， 式中x(n)=anu(n),y(1)=2， 求 y(n)。 解：將已知差分方程進(jìn)行 Z變換 11( ) ( ) ( 1 ) ( )2 ( )()1Y z bz Y z by X zb X zYzbz??? ? ? ????式中， 11( ) ,1X z z aaz ????于是 1 1 121()1 ( 1 )( 1 )bYzb z a z b z? ? ???? ? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 收斂域為 |z|max(|a|,|b|)， 1 1 11( ) 2 ( ), 0n n ny n b a b nab? ? ?? ? ? ??式中第一項為零輸入解 ， 第二項為零狀態(tài)解 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 利用 Z變換分析信號和系統(tǒng) 的頻域特性 傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù) 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零 ， 輸出端對輸入為單位脈沖序列 δ(n)的響應(yīng) ， 稱為系統(tǒng)的單位脈中響應(yīng) h(n)， 對 h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到 H(e jω) ( ) ( )j j nnH e h n e????? ? ?? ?() 一般稱 H(e jω)為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的 頻率特性。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 設(shè) h(n)進(jìn)行 Z變換 ， 得到 H(z)， 一般稱 H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) ， 它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性 。 對 N階差分方程 ()式 ， 進(jìn)行 Z變換 ， 得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式 00()()()MiiiNiiibzYzHzXzaz????????() 如果 H(z)的收斂域包含單位圓 |z|=1， H(e jω)與 H(z)之間關(guān)系如下式： ( ) ( ) jj zeH e H z ?? ??() 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 穩(wěn)定性 因果 (可實現(xiàn) )系統(tǒng)其單位脈響應(yīng) h(n)一定滿足當(dāng)n0時 ， h(n)=0， 那么其系統(tǒng)函數(shù) H(z)的收斂域一定包含 ∞點 ， 即 ∞點不是極點 ， 極點分布在