【正文】 ，為了避免頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣速率 Fs滿足下式：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)譜分辨率 F=Fs/N，如果保持采樣點數(shù) N不變，要提高頻譜分辨率 (減小 F)，就必須降低采樣頻率，采樣頻率的降低會引起譜分析范圍變窄和頻譜混疊失真。如維持 Fs不變，為提高頻率分辨率可以增加采樣點數(shù) N，因為　　　　　　　　　只有增加對信號的觀察時間 Tp，才能增加 N。Tp和 N選擇： 可以按照下面兩式進行選擇，()? ()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)如果我們事先不知道信號的最高頻率，可以根據(jù)信號的時域波形圖來估計它。例如， 某信號的波形如圖 所示。 先找出相鄰的波峰與波谷之間的距離，如 圖 中 t1， t2， t3， t4。 然后，選出其中最小的一個如 t4。 這里 ,t4可能就是由信號的最高頻率分量形成的。 峰與 谷之間的距離就是周期的一半。 因此，最高頻率為 知道 fc后就能確定采樣頻率 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)估算信號最高頻率 fC第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)因此 Tpmin=s。因為要求 Fs≥2fc，所以第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 【 例 】 對實信號進行譜分析，要求譜分辨率F≤10Hz，信號最高頻率 fc=kHz， ? 試確定最小記錄時間 Tpmin，最大的采樣間隔 Tmax，最少的采樣點數(shù) Nmin。如果 fc不變，要求譜分辨率提高 1倍，最少的采樣點數(shù)和最小的記錄時間是多少？ ?解：　　為使用 DFT的快速算法 FFT，希望 N符合 2的整數(shù)冪，為此選用 N=512點?！?　 上面分析了為提高譜分辨率，又保持譜分析范圍不變，必須增長記錄時間 Tp，增加采樣點數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意，這種提高譜分辨率的條件是必須滿足時域采樣定理，甚至采樣速率 Fs取得更高。 ?　為使頻率分辨率提高 1倍，即 F=5Hz，要求：　用快速算法 FFT計算時，選用 N=1024點。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)? X(ejω)是 ω的連續(xù)周期函數(shù)。如果對序列 x(n)進行 N點 DFT得到 X(k)，則 X(k)是在區(qū)間［ 0， 2π］上對X(ejω)的 N點等間隔采樣，　頻譜分辨率就是采樣間隔2π/N。因此序列的傅里葉變換可利用 DFT(即 FFT)來計算。 ?　 2． 用 DFT對序列進行譜分析 ?　　 我們知道單位圓上的 Z變換就是序列的傅里葉變換，即第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 對周期為 N的周期序列　　　，由 ()式知道，其頻譜函數(shù)為其中：由 DFT的隱含周期性知，截取　　的主值序列，并進行 N點 DFT，得到：可見，周期序列的頻譜結(jié)構(gòu)可用其離散傅里葉級數(shù)系數(shù)　　表示。所以可用 X(k)表示　　　的頻譜結(jié)構(gòu)。 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　如果截取長度 M等于　　　的整數(shù)個周期，即 M=mN， m為正整數(shù)，即　令 n=n′＋ iN。i=0,1,… ,m－ 1。n′=0,1,… ,N－ 1，則?。?）第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)因為第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)（ ）　由此可見， XM(k)也能表示　　的頻譜結(jié)構(gòu)，只是在 k=im時， 　　　　　　　 ，表示　　　的 i次諧波譜線，其幅度擴大m倍。而其他 k值時， XM(k)=0，當(dāng)然， X(i)與 XM(im)? 對應(yīng)點頻率是相等的　所以，只要截取　　　的整數(shù)個周期進行 DFT，就可得到它的頻譜結(jié)構(gòu)，達到譜分析的目的。 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)比較 XM(k)和 X2M(k)，如果二者的主譜差別滿足分析誤差要求，則以 XM(k)或 X2M(k)近似表示　　　的頻譜，否則，繼續(xù)將截取長度加倍，直至前后兩次分析所得主譜頻率差別滿足誤差要求。設(shè)最后截取長度為 iM，則 XiM(k0)表示 ω=［ 2π/(iM)］ k0點的譜線強度。 ?　　如果　　的周期預(yù)先不知道，可先截取 M點進行 DFT，即再將截取長度擴大 1倍，截取第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　在很多實際應(yīng)用中，并非整個單位圓上的頻譜都很有意義。例如，對于窄帶信號，往往只希望對信號所在的一段頻帶進行譜分析，這時便希望采樣能密集地在這段頻帶內(nèi)進行，而帶外部分可完全不予考慮。另外，有時希望采樣點不局限于單位圓上。例如，語音信號處理中，常常需要知道系統(tǒng)極點所對應(yīng)的頻率，如果極點位置離單位圓較遠，則其單位圓上的頻譜就很平滑，如 圖 (a)所示，這時很難從中識別出極點對應(yīng)的頻率。　 3．線性調(diào)頻 Z變換 (Chirp－ Z變換，簡稱 CZT)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　如果使采樣點軌跡沿一條接近這些極點的弧線或圓周進行，則采樣結(jié)果將會在極點對應(yīng)的頻率上出現(xiàn)明顯的尖峰，如 圖 (b)所示。這樣就能準(zhǔn)確地測定出極點頻率。對均勻分布在以原點為圓心的任何圓上的 N點　　　　　　　　　　　　　　頻率采樣，可用DFT(FFT)計算，而沿螺旋弧線采樣，則要用線性調(diào)頻Z變換 (Chirp－ Z變換，簡稱 CZT)計算。 ? ?)110e(π2j== Nkrz kNk ，， L第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 單位圓與非單位圓采樣 DFT(實際中用 FFT計算 )可用來對連續(xù)信號和數(shù)字信號進行譜分析。 (1)混疊現(xiàn)象 (2)柵欄效應(yīng)(3)截斷效應(yīng)4.用 DFT進行譜分析的誤差問題第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 對連續(xù)信號進行譜分析時，首先要對其采樣，變成時域離散信號后才能用 DFT(FFT)進行譜分析。采樣速率 Fs必須滿足采樣定理，否則會在 ω=π(對應(yīng)模擬頻率 f=Fs/2)附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。這時用 DFT分析的結(jié)果必然在 f=Fs/2附近產(chǎn)生較大誤差。因此，理論上必須滿足 Fs≥2fc(fc為連續(xù)信號的最高頻率 )。對 Fs確定的情況，一般在 采樣前進行預(yù)濾波，濾除高于折疊頻率 Fs/2的頻率成分，以免發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象。 ? ?　　 (1)混疊現(xiàn)象第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 N點 DFT是在頻率區(qū)間［ 0， 2π］上對時域離散信號的頻譜進行 N點等間隔采樣，而采樣點之間的頻譜函數(shù)是看不到的。這就好像從 N個柵欄縫隙中觀看信號的頻譜情況，僅得到 N個縫隙中看到的頻譜函數(shù)值。因此稱這種現(xiàn)象為柵欄效應(yīng)。由于柵欄效應(yīng)，有可能漏掉 (擋住 )大的頻譜分量?！?　 (2)柵欄效應(yīng)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 為了把原來被 “柵欄 ”擋住的頻譜分量檢測出來 :l對有限長序列，可以在原序列尾部補零；l對無限長序列，可以增大截取長度及 DFT變換區(qū)間長度，從而使頻域采樣間隔變小，增加頻域采樣點數(shù)和采樣點位置，使原來漏掉的某些頻譜分量被檢測出來。l對連續(xù)信號的譜分析，只要采樣速率 Fs足夠高，且采樣點數(shù)滿足頻率分辨率要求，就可以認為 DFT后所得離散譜的包絡(luò)近似代表原信號的頻譜。 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)例：時域補加零值點后對頻域的影響第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)實際中遇到的序列 x(n)可能是無限長的，用 DFT對其進行譜分析時，必須將其截短，形成有限長序列 y(n)=x(n)w(n)，w(n)稱為窗函數(shù)，長度為 N?！?(3)截斷效應(yīng)根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理，有：其中第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)幅度譜 Wg(ω)~ω曲線如圖 (Wg(ω)以 2π為周期，只畫低頻部分 )。圖中， ? |ω|2π/N的部分稱為主瓣，其余部分稱為旁瓣。 ?對矩形窗數(shù) w(n)=RN(n)，有第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 矩形窗函數(shù)的幅度譜 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　例如， x(n)=cos(ω0n)， ω0=π/4,其頻譜為????x(n)的頻譜 X(ejω)如圖 (a)所示。將 x(n)截斷后， y(n)=x(n)RN（ n)的幅頻曲線如圖 (b)所示。 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 加矩形窗前后的頻譜 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 (1)泄露由圖 (b)可知，原來序列 x(n)的頻譜是離散譜線，經(jīng)截斷后，使原來的離散譜線向附近展寬，通常稱這種展寬為泄露。顯然，泄露使頻譜變模糊，使譜分辨率降低。從圖 ，頻譜泄露程度與窗函數(shù)幅度譜的主瓣寬度直接相關(guān)，在第 7章將證明，在所有的窗函數(shù)中，矩形窗的主瓣是最窄的，但其旁瓣的幅度也最大。 ?　　 序列截斷后對譜分析的影響主要表現(xiàn)在如下兩個方面：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 　 (2)譜間干擾 在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾 (簡稱譜間干擾 )，特別是強信號譜的旁瓣可能湮沒弱信號的主譜線，或者把強信號譜的旁瓣誤認為是另一頻率的信號的譜線，從而造成假信號，這樣就會使譜分析產(chǎn)生較大偏差。 ? ?　　　　 由于上述兩種影響是由對信號截斷引起的，因此稱之為 截斷效應(yīng) 。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l增加 N可使 Wg(ω)的主瓣變窄，減小泄露，提高頻率分辨率，但旁瓣的相對幅度并不減小。l為了減小譜間干擾，應(yīng)用其它形狀的窗函數(shù) w(n)代替矩形窗。但在 N一定時，旁瓣幅度越小的窗函數(shù)，其主瓣就越寬。所以，在 DFT變換區(qū)間 (即截取長度 )N一定時，只能以降低譜分析分辨率為代價，換取譜間干擾的減小。l減小截斷效應(yīng)的最好方法是用近代譜估計的方法。但譜估計只適用于不需要相位信息的譜分析場合 。 ?減小截斷效應(yīng)方法：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)要提高頻率分辨率， 就必須對原始信號截取的長度加長（對模擬信號，就是增加采樣時間 Tp的長度） 。 ?　 說明： 柵欄效應(yīng)與頻率分辨率是不同的兩個概念。如果截取長度為 N的一段數(shù)據(jù)序列，則可以在其后面補N個零，再進行 2N點 DFT，使柵欄寬度減半，從而減輕了柵欄效應(yīng)。但是這種截短后補零的方法不能提高頻率分辨率。因為截短已經(jīng)使頻譜變模糊，補零后僅使采樣間隔變小，但得到的頻譜采樣的包絡(luò)仍是已經(jīng)變模糊的頻譜，所以頻率分辨率沒有提高。第 3章 離散傅里葉變換 (DF