【正文】 離散傅里葉變換 (DFT)X(N)=X(0)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)0≤k≤N1所以 如果 N2h(n)*x(n)的長度時，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。依次類推，當(dāng) n和 m均從 0變化到 L1時，得到一個關(guān)于 x((n－ m)L的矩陣如下： =x(0)m=0,1,　其中X(k)=DFT[x(n)]N　 運行結(jié)果 1分別計算 X(ejω)在頻率區(qū)間［ 0， 2π］上的 16點和 32點等間隔采樣，并繪制 X(ejω)采樣的幅頻特性圖和相頻特性圖。當(dāng) N小于 xn的長度時， fft函數(shù)計算 xn的前面 N個元素構(gòu)成的 N長序列的 N點 DFT，忽略 xn后面的元素。()()()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)表明： 有限長序列 x(n)的 N點離散傅里葉變換X(k)正好是 x(n)的周期延拓序列 x((n))N的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)　　的主值序列。()式僅對N≥M時成立。? 　　　　　　　　　　　　　　 ? 　　　　　　 式中 x((n))同理： 其 Z變換和 DFT分別為：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l()式表明： 序列 x(n)的 N點 DFT是 x(n)的 Z變換在單位圓上的 N點等間隔采樣 。N=4 為整數(shù) 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 離散傅里葉變換的定義 因為從數(shù)字計算角度計算角度 ,我們感興趣的是時域及頻域都是離散的情況我們感興趣的是時域及頻域都是離散的情況離散和周期 周期和離散第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 傅里葉變換和 Z變換是數(shù)字信號處理中常用的重要數(shù)學(xué)變換。對于有限長序列，還有一種更為重要的數(shù)學(xué)變換，即離散傅里葉變換 (Discrete因為 0=m=N1,且 n=0所以 M只能取值 0第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)證明：所以， 復(fù)正弦序列的正交性x(n)=R4(n)l()式則說明： X(k)為 x(n)的傅里葉變換 X(ejω)在區(qū)間［ 0,N表示 x(n)以 N為周期的周期延拓序列，((n))N表示模 N對 n求余?！　?現(xiàn)在解釋 DFT［ R4(n)］ 4=4δ(k)。 ? 　　　　 解： 1］ 。% 計算 xn的 16點 DFT?　 Xk32=fft(xn,第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 　 如果 x1(n)和 x2(n)是兩個有限長序列，長度分別為 N1和 N2，且y(n)=ax1(n)+bx2(n)??式中， a、 b為常數(shù)，取 N=max［ N1,0≤k≤N－ 1　　　　　　　　　　　　　　　　 51)周期延拓n0……2)左移 2n0……主值區(qū)間取 N=8n03)取主值N1l　 循環(huán)移位的實質(zhì)是 將 x(n)左移 m位，而移出主值區(qū)(0≤n≤N － 1)的序列值又依次從右側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。由于上式中求和項 　　　　　　 以 N為周期，因此對其在任一周期上的求和結(jié)果相同。循環(huán)卷積定理 ? 　　　 1. 兩個有限長序列的循環(huán)卷積 ? 　　式中， L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度 ， L≥max［ N， M］。x(1),的后面。0,令 n1,稱為 x(n)的 L點 “循環(huán)卷積矩陣 ”計算下面給出的兩個長度為 4的序列 h(n)與 x(n)的 4點和 8點循環(huán)卷積。 ］。X(k)=X1(k)循環(huán)卷積亦滿足交換律 :1. 有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列() ?　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)設(shè) x(n)是長度為 N的實序列， k=0,()l(3)… 這樣可以減少近一半運算量。且 X(z)收斂域包含單位圓 (即 x(n)存在傅里葉變換 )。0≤n≤N1第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)1在頻域 0~2π之間等間隔采樣 N點， ceil(M/2)1:1:0。N/2)。 由于 存在時域混疊失真 ，因而 x16(n)≠x(n)； 使 DFT在數(shù)字通信、 醫(yī)學(xué)、 DFT經(jīng)常需要計算兩個序列的線性卷積， 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l　　 因線性卷積取值長度為 N＋ M1， 循環(huán)卷積計算線性卷積的條件：l L≥N＋ M1l第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 顯然，在要求實時處理時，直接套用上述方法是不行的。每段長度取 M， 重疊相加法卷積示意圖 并計算 　　　　　　　　　 　重疊區(qū)相加非重疊區(qū)不加(6) ?MATLAB中重疊相加法實現(xiàn)線性卷積的計算的函數(shù)lN=5。%Lx 為信號序列 x(n)長度 ?LxN)］ 。xn,先將 x(n)分段，每段 N個點，這是相同的。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 對于持續(xù)時間很長的信號，采樣點數(shù)太多 ,N11 spFNTTF ===第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)? T為采樣時間間隔（單位： s）；? Fs為采樣頻率（單位： Hz）；? Tp為截取連續(xù)時間信號的樣本長度（又稱記錄長度，單位： s）；? F為譜線間距，又稱頻譜分辨率（單位： Hz） ,是 指可分辨兩頻率的最小間距 。s(即采樣頻率 Fs=4l為減少這種截斷誤差，可適當(dāng)加長 Tp，增加采樣點數(shù) N或用窗函數(shù)處理后再進(jìn)行 DFT。l譜分析范圍為［ 0,()? 知道 fc后就能確定采樣頻率 　 如果對序列 x(n)進(jìn)行 N點 DFT得到 X(k)，則 X(k)是在區(qū)間［ 0， 2π］上對X(ejω)的 N點等間隔采樣，　頻譜分辨率就是采樣間隔2π/N?！?,例如，語音信號處理中，常常需要知道系統(tǒng)極點所對應(yīng)的頻率，如果極點位置離單位圓較遠(yuǎn)，則其單位圓上的頻譜就很平滑，如 圖 (a)所示，這時很難從中識別出極點對應(yīng)的頻率。單位圓與非單位圓采樣 (3) ? (2) ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 加矩形窗前后的頻譜 ?　　 序列截斷后對譜分析的影響主要表現(xiàn)在如下兩個方面：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 　 (2)所以，在 DFT變換區(qū)間 (即截取長度 )N一定時，只能以降低譜分析分辨率為代價，換取譜間干擾的減小。　 說明： 柵欄效應(yīng)與頻率分辨率是不同的兩個概念。但是這種截短后補零的方法不能提高頻率分辨率。但譜估計只適用于不需要相位信息的譜分析場合 。在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾 (簡稱譜間干擾 )，特別是強(qiáng)信號譜的旁瓣可能湮沒弱信號的主譜線，或者把強(qiáng)信號譜的旁瓣誤認(rèn)為是另一頻率的信號的譜線，從而造成假信號，這樣就會使譜分析產(chǎn)生較大偏差。圖中， ? |ω|2π/N的部分稱為主瓣，其余部分稱為旁瓣。柵欄效應(yīng)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 為了把原來被 “柵欄 ”擋住的頻譜分量檢測出來 :l對有限長序列，可以在原序列尾部補零；l對無限長序列，可以增大截取長度及 DFT變換區(qū)間長度，從而使頻域采樣間隔變小，增加頻域采樣點數(shù)和采樣點位置，使原來漏掉的某些頻譜分量被檢測出來。4.混疊現(xiàn)象 這樣就能準(zhǔn)確地測定出極點頻率。而其他 k值時， XM(k)=0，當(dāng)然， X(i)與 XM(im)? 對應(yīng)點頻率是相等的　所以，只要截取　　　的整數(shù)個周期進(jìn)行 DFT，就可得到它的頻譜結(jié)構(gòu)，達(dá)到譜分析的目的。1, ?　 2． Hz，信號最高頻率 fc=第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)因此 Tp 這里 ,如果我們事先不知道信號的最高頻率，可以根據(jù)信號的時域波形圖來估計它。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)頻率分辨率用頻率采樣間隔 F描述， F表示譜分析中能夠分辨的兩個頻譜分量的最小間隔。ll采樣點數(shù) N=Tp/T=32。 Hz的兩個頻率分量在此頻譜圖中就分辨不出來。最高頻率為 fc， 由上述可見，用 DFT對連續(xù)信號進(jìn)行頻譜分析必然是近似的，其近似程度與信號帶寬、采樣頻率和截取長度有關(guān)。1． 不同之處是，序列中補零處不補零，而在每一段的前邊補上前一段保留下來的（ M1） 個輸入序列值， 省略運行程序畫出 h(n)、 x(n)和 y(n)的波形如圖所示。xn=cos(pi*n/10)+cos(2*pi*n/5)?！　　　　?% 產(chǎn)生 h(n)，其后補零是為了繪圖好看 ?M=10。對 x(n)進(jìn)行分段，每段長度為M=10。=i＋ 1，返回 (2)?！　。?n =l2）把分段卷積結(jié)果疊加起來。h(n)與 x(n)的線性卷積可表示為()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)其中， 為了提高運算速度， 當(dāng) N很大時， 圖像處理、 ? DFT的應(yīng)用舉例 %512點 FFT［ x(n)］ ?X32k=fft(xn,(a)所