【正文】 離散傅里葉變換 (DFT)X(N)=X(0)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)0≤k≤N1所以 如果 N2h(n)*x(n)的長度時(shí)，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。依次類推，當(dāng) n和 m均從 0變化到 L1時(shí)，得到一個(gè)關(guān)于 x((n－ m)L的矩陣如下： =x(0)m=0,1,　其中X(k)=DFT[x(n)]N　 運(yùn)行結(jié)果 1分別計(jì)算 X(ejω)在頻率區(qū)間［ 0， 2π］上的 16點(diǎn)和 32點(diǎn)等間隔采樣，并繪制 X(ejω)采樣的幅頻特性圖和相頻特性圖。當(dāng) N小于 xn的長度時(shí)， fft函數(shù)計(jì)算 xn的前面 N個(gè)元素構(gòu)成的 N長序列的 N點(diǎn) DFT，忽略 xn后面的元素。()()()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)表明： 有限長序列 x(n)的 N點(diǎn)離散傅里葉變換X(k)正好是 x(n)的周期延拓序列 x((n))N的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)　　的主值序列。()式僅對(duì)N≥M時(shí)成立。? 　　　　　　　　　　　　　　 ? 　　　　　　 式中 x((n))同理： 其 Z變換和 DFT分別為：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l()式表明： 序列 x(n)的 N點(diǎn) DFT是 x(n)的 Z變換在單位圓上的 N點(diǎn)等間隔采樣 。N=4 為整數(shù) 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 離散傅里葉變換的定義 因?yàn)閺臄?shù)字計(jì)算角度計(jì)算角度 ,我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況離散和周期 周期和離散第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 傅里葉變換和 Z變換是數(shù)字信號(hào)處理中常用的重要數(shù)學(xué)變換。對(duì)于有限長序列，還有一種更為重要的數(shù)學(xué)變換，即離散傅里葉變換 (Discrete因?yàn)?0=m=N1,且 n=0所以 M只能取值 0第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)證明：所以， 復(fù)正弦序列的正交性x(n)=R4(n)l()式則說明： X(k)為 x(n)的傅里葉變換 X(ejω)在區(qū)間［ 0,N表示 x(n)以 N為周期的周期延拓序列，((n))N表示模 N對(duì) n求余?！　?現(xiàn)在解釋 DFT［ R4(n)］ 4=4δ(k)。 ? 　　　　 解： 1］ 。% 計(jì)算 xn的 16點(diǎn) DFT?　 Xk32=fft(xn,第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 　 如果 x1(n)和 x2(n)是兩個(gè)有限長序列，長度分別為 N1和 N2，且y(n)=ax1(n)+bx2(n)??式中， a、 b為常數(shù)，取 N=max［ N1,0≤k≤N－ 1　　　　　　　　　　　　　　　　 51)周期延拓n0……2)左移 2n0……主值區(qū)間取 N=8n03)取主值N1l　 循環(huán)移位的實(shí)質(zhì)是 將 x(n)左移 m位，而移出主值區(qū)(0≤n≤N － 1)的序列值又依次從右側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。由于上式中求和項(xiàng) 　　　　　　 以 N為周期，因此對(duì)其在任一周期上的求和結(jié)果相同。循環(huán)卷積定理 ? 　　　 1. 兩個(gè)有限長序列的循環(huán)卷積 ? 　　式中， L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度 ， L≥max［ N， M］。x(1),的后面。0,令 n1,稱為 x(n)的 L點(diǎn) “循環(huán)卷積矩陣 ”計(jì)算下面給出的兩個(gè)長度為 4的序列 h(n)與 x(n)的 4點(diǎn)和 8點(diǎn)循環(huán)卷積。 ］。X(k)=X1(k)循環(huán)卷積亦滿足交換律 :1. 有限長共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列() ?　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)設(shè) x(n)是長度為 N的實(shí)序列， k=0,()l(3)… 這樣可以減少近一半運(yùn)算量。且 X(z)收斂域包含單位圓 (即 x(n)存在傅里葉變換 )。0≤n≤N1第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)1在頻域 0~2π之間等間隔采樣 N點(diǎn)， ceil(M/2)1:1:0。N/2)。 由于 存在時(shí)域混疊失真 ，因而 x16(n)≠x(n)； 使 DFT在數(shù)字通信、 醫(yī)學(xué)、 DFT經(jīng)常需要計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積， 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l　　 因線性卷積取值長度為 N＋ M1， 循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積的條件：l L≥N＋ M1l第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 顯然，在要求實(shí)時(shí)處理時(shí)，直接套用上述方法是不行的。每段長度取 M， 重疊相加法卷積示意圖 并計(jì)算 　　　　　　　　　 　重疊區(qū)相加非重疊區(qū)不加(6) ?MATLAB中重疊相加法實(shí)現(xiàn)線性卷積的計(jì)算的函數(shù)lN=5。%Lx 為信號(hào)序列 x(n)長度 ?LxN)］ 。xn,先將 x(n)分段，每段 N個(gè)點(diǎn)，這是相同的。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 對(duì)于持續(xù)時(shí)間很長的信號(hào)，采樣點(diǎn)數(shù)太多 ,N11 spFNTTF ===第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)? T為采樣時(shí)間間隔（單位： s）；? Fs為采樣頻率（單位： Hz）；? Tp為截取連續(xù)時(shí)間信號(hào)的樣本長度（又稱記錄長度，單位： s）；? F為譜線間距，又稱頻譜分辨率（單位： Hz） ,是 指可分辨兩頻率的最小間距 。s(即采樣頻率 Fs=4l為減少這種截?cái)嗾`差，可適當(dāng)加長 Tp，增加采樣點(diǎn)數(shù) N或用窗函數(shù)處理后再進(jìn)行 DFT。l譜分析范圍為［ 0,()? 知道 fc后就能確定采樣頻率 　 如果對(duì)序列 x(n)進(jìn)行 N點(diǎn) DFT得到 X(k)，則 X(k)是在區(qū)間［ 0， 2π］上對(duì)X(ejω)的 N點(diǎn)等間隔采樣，　頻譜分辨率就是采樣間隔2π/N?！?,例如，語音信號(hào)處理中，常常需要知道系統(tǒng)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率，如果極點(diǎn)位置離單位圓較遠(yuǎn)，則其單位圓上的頻譜就很平滑，如 圖 (a)所示，這時(shí)很難從中識(shí)別出極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率。單位圓與非單位圓采樣 (3) ? (2) ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 加矩形窗前后的頻譜 ?　　 序列截?cái)嗪髮?duì)譜分析的影響主要表現(xiàn)在如下兩個(gè)方面：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 　 (2)所以，在 DFT變換區(qū)間 (即截取長度 )N一定時(shí)，只能以降低譜分析分辨率為代價(jià)，換取譜間干擾的減小。　 說明： 柵欄效應(yīng)與頻率分辨率是不同的兩個(gè)概念。但是這種截短后補(bǔ)零的方法不能提高頻率分辨率。但譜估計(jì)只適用于不需要相位信息的譜分析場合 。在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾 (簡稱譜間干擾 )，特別是強(qiáng)信號(hào)譜的旁瓣可能湮沒弱信號(hào)的主譜線，或者把強(qiáng)信號(hào)譜的旁瓣誤認(rèn)為是另一頻率的信號(hào)的譜線，從而造成假信號(hào)，這樣就會(huì)使譜分析產(chǎn)生較大偏差。圖中， ? |ω|2π/N的部分稱為主瓣，其余部分稱為旁瓣。柵欄效應(yīng)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 為了把原來被 “柵欄 ”擋住的頻譜分量檢測出來 :l對(duì)有限長序列，可以在原序列尾部補(bǔ)零；l對(duì)無限長序列，可以增大截取長度及 DFT變換區(qū)間長度，從而使頻域采樣間隔變小，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)和采樣點(diǎn)位置，使原來漏掉的某些頻譜分量被檢測出來。4.混疊現(xiàn)象 這樣就能準(zhǔn)確地測定出極點(diǎn)頻率。而其他 k值時(shí)， XM(k)=0，當(dāng)然， X(i)與 XM(im)? 對(duì)應(yīng)點(diǎn)頻率是相等的　所以，只要截取　　　的整數(shù)個(gè)周期進(jìn)行 DFT，就可得到它的頻譜結(jié)構(gòu)，達(dá)到譜分析的目的。1, ?　 2． Hz，信號(hào)最高頻率 fc=第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)因此 Tp 這里 ,如果我們事先不知道信號(hào)的最高頻率，可以根據(jù)信號(hào)的時(shí)域波形圖來估計(jì)它。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)頻率分辨率用頻率采樣間隔 F描述， F表示譜分析中能夠分辨的兩個(gè)頻譜分量的最小間隔。ll采樣點(diǎn)數(shù) N=Tp/T=32。 Hz的兩個(gè)頻率分量在此頻譜圖中就分辨不出來。最高頻率為 fc， 由上述可見，用 DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析必然是近似的，其近似程度與信號(hào)帶寬、采樣頻率和截取長度有關(guān)。1． 不同之處是，序列中補(bǔ)零處不補(bǔ)零，而在每一段的前邊補(bǔ)上前一段保留下來的（ M1） 個(gè)輸入序列值， 省略運(yùn)行程序畫出 h(n)、 x(n)和 y(n)的波形如圖所示。xn=cos(pi*n/10)+cos(2*pi*n/5)?！　　　　?% 產(chǎn)生 h(n)，其后補(bǔ)零是為了繪圖好看 ?M=10。對(duì) x(n)進(jìn)行分段，每段長度為M=10。=i＋ 1，返回 (2)?！　。?n =l2）把分段卷積結(jié)果疊加起來。h(n)與 x(n)的線性卷積可表示為()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)其中， 為了提高運(yùn)算速度， 當(dāng) N很大時(shí)， 圖像處理、 ? DFT的應(yīng)用舉例 %512點(diǎn) FFT［ x(n)］ ?X32k=fft(xn,(a)所