【正文】 長(zhǎng)，并使處理延時(shí)很大，不能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理 。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)? 　　 實(shí)際上，經(jīng)常遇到兩個(gè)序列的長(zhǎng)度相差很大的情況，例如 MN。圖 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 則可按照如圖 DFT(FFT)計(jì)算線性卷積。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l　　 因線性卷積取值長(zhǎng)度為 N＋ M1， 循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積的條件：l L≥N＋ M1l()M］ 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)其中， 假設(shè) h(n)和 x(n)都是有限長(zhǎng)序列， 為此 導(dǎo)出線卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件 。 為了提高運(yùn)算速度， 經(jīng)常需要計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積， DFT用 DFT計(jì)算循環(huán)卷積 圖 因而常用 DFT(FFT)計(jì)算循環(huán)卷積 , 當(dāng) N很大時(shí)， 循環(huán)卷積既可在時(shí)域直接計(jì)算， 用 DFT計(jì)算線性卷積 醫(yī)學(xué)、 雷達(dá)理論、 仿真、 圖像處理、 使 DFT在數(shù)字通信、 ? DFT的應(yīng)用舉例 由于 存在時(shí)域混疊失真 ，因而 x16(n)≠x(n)； ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 本例中 x(n)的長(zhǎng)度 M=26。N/2)。%512點(diǎn) FFT［ x(n)］ ?X32k=fft(xn,%產(chǎn)生 M長(zhǎng)三角波序列 x(n)?Xk=fft(xn,xb］ 。ceil(M/2)1:1:0?！　??第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)MATLAB求解程序 ： ?%(a)所示。得到：????繪制 x16(n)和 x32(n)波形圖驗(yàn)證頻域采樣理論。上等間隔 16點(diǎn)采樣 X16(k)。先計(jì)算 x(n)的 32點(diǎn) DFT，得到其頻譜函數(shù) X(ejω)在頻率區(qū)間［ 0， 2π］ ()帶入上式， 則有 在頻域 0~2π之間等間隔采樣 N點(diǎn)， 因?yàn)闈M足頻域采樣定理，所以 ?? X(k)表達(dá) X(z)與 的問(wèn)題下面推導(dǎo) 用頻域采樣 X(k)表示如何表示 X(z)， ()說(shuō)明： X(z)在單位圓上的 N點(diǎn)等間隔采樣 X(k)的 N點(diǎn) IDFT是原序列 x(n)以 N為周期的周期延拓序列的主值序列。()則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù) N≥M時(shí)， 其他 m第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l頻域采樣定理：l ,0≤n≤N1第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)1將 X(k)看做長(zhǎng)度為 N的有限長(zhǎng)序列 xN(n)的 DFT在單位圓上對(duì) X(z)等間隔采樣 N點(diǎn)得到第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)上式表示在區(qū)間［ 0,且 X(z)收斂域包含單位圓 (即 x(n)存在傅里葉變換 )。 　　 ??解　構(gòu)造新序列 x(n)=x1(n)+jx2(n)，對(duì) x(n)進(jìn)行 DFT，得到：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)?? 所以，由 X(k)可以求得兩個(gè)實(shí)序列 x1(n)和 x2(n)的 N點(diǎn) DFT：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l時(shí)域采樣定理告訴我們，在一定條件下，可以由時(shí)域離散采樣信號(hào)恢復(fù)原來(lái)的連續(xù)信號(hào)?！?這樣可以減少近一半運(yùn)算量。X(N－ 1)=X*(1),奇數(shù)時(shí)，計(jì)算 X(k)的前面 (N+1)/2點(diǎn)，其他點(diǎn)按照 X(k)=X*(Nk)即可求得。當(dāng) N=偶數(shù)時(shí)，只需計(jì)算 X(k)的前面 N/2+1點(diǎn)， N()l(3)… ,k=0,X(k)共軛對(duì)稱，即l　　 X(k)=X*(Nk)則l(1) ?　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)設(shè) x(n)是長(zhǎng)度為 N的實(shí)序列， xop(n)=1/2[x(n)x*(Nn)]第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)xop(n)=1/2［ x(n)x*(Nn)］ ()=xep(n)xop(n)并取復(fù)共軛，得：()0≤n≤N1即表明： 有限長(zhǎng)序列共軛對(duì)稱序列是關(guān)于 n=N/2點(diǎn)對(duì)稱。1. 有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列DFT的共軛對(duì)稱性 當(dāng) N為偶數(shù)時(shí)， ()有限長(zhǎng)共軛反對(duì)稱序列： 0≤n≤N1有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列：xep(n)=x*ep(Nn),()DFT［ x*(n)］ =X*(Nk),則X(k)=DFT［ x(n)］長(zhǎng)度為 N第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)()則X1(k)=DFT［ x1(n)］ ?X2(k)=DFT［ x2(n)］ 0≤k≤N13 .頻域循環(huán)卷積定理 兩序列 長(zhǎng) 度可以 不等 。求 N=7點(diǎn)的 循環(huán) 卷積。循環(huán)卷積亦滿足交換律 :第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)由于 令 nm=n′， 證明： 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 2. 時(shí)域循環(huán)卷積定理則 :lX(k)=X1(k)x1(n)和 x2(n)的 N點(diǎn) DFT分別為：l］。N1,有限長(zhǎng)序列 x1(n)和 x2(n)，長(zhǎng)度分別為 N1和 N2， =(a)、 (b)、 (c)和 (d)所示。??第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 　解 計(jì)算下面給出的兩個(gè)長(zhǎng)度為 4的序列 h(n)與 x(n)的 4點(diǎn)和 8點(diǎn)循環(huán)卷積。 ? 　 　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 【 例 】 按照上式，可以在計(jì)算機(jī)上用矩陣相乘的方法計(jì)算兩個(gè)序列的循環(huán)卷積，這里關(guān)鍵是先形成循環(huán)卷積矩陣。 ?l矩陣的各主對(duì)角線上的序列值均相等。注意，如果 x(n)的長(zhǎng)度 ML，則需要在x(n)末尾補(bǔ) L－ M個(gè)零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。稱為 x(n)的 L點(diǎn) “循環(huán)卷積矩陣 ”　 　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)L1，由 x((nm))L形成的序列為… ,1,0,m1,令 nL－ 1，此時(shí)得到的序列又是上面的序列向右循環(huán)移 1位?！?,1,0,m2, ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 再令 n的后面。再放在 x(L－ 1)}?！?,x(1),{x(0),=　表示循環(huán)卷積，用　　表示 L點(diǎn)循環(huán)卷積 ，即 yc(n)=h(n)　 x(n)。循環(huán)卷積定理 ? 　　　 1. 兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積 ? 　　式中， L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度 ， L≥max［ N， M］。h(n)與 x(n)的 L點(diǎn)循環(huán)卷積定義為 ??　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　由于上式中求和項(xiàng) 　　　　　　 以 N為周期，因此對(duì)其在任一周期上的求和結(jié)果相同。0≤k≤N－ 1?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)表明： 有限序列的圓周移位，在頻域引入一個(gè)和頻率成正比的線性相移，對(duì)幅度沒(méi)影響。N=8,l　由循環(huán)移位的定義可知，對(duì)同一序列 x(n)和相同的位移 m，當(dāng)延拓周期 N不同時(shí)，y(n)=x((n+m))NRn(n)則不同。51)周期延拓n0……2)左移 2n0……主值區(qū)間取 N=8n03)取主值N1l　 循環(huán)移位的實(shí)質(zhì)是 將 x(n)左移 m位，而移出主值區(qū)(0≤n≤N － 1)的序列值又依次從右側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。5例：1)周期延拓2)左移 2n0……n0……主值區(qū)間取 N=6n03)取主值N1n0 循環(huán)移位性質(zhì)循環(huán)移位性質(zhì)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)n0 ()?0≤k≤N－ 1　　　　　　　　　　　　　　　　 線性性質(zhì) 　　 ? 離散傅里葉變換的基本性質(zhì) ? ?Y(k)=DFT[y(n)]N=aX1(k)+bX2(k)則 y(n)的 N點(diǎn) DFT為 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 　 如果 x1(n)和 x2(n)是兩個(gè)有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度分別為 N1和 N2，且y(n)=ax1(n)+bx2(n)??式中， a、 b為常數(shù)，取 N=max［ N1,程序 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 % 計(jì)算 xn的 16點(diǎn) DFT?　 Xk32=fft(xn,16)。1］ 。1 例 ?　 %由 DFT與傅里葉變換的關(guān)系知道， X(ejω)在頻率區(qū)間［ 0， 2π］上的 16點(diǎn)和 32點(diǎn)等間隔采樣，分別是 x(n)的 16點(diǎn)和 32點(diǎn) DFT。 　　　　 解： 設(shè) x(n)=R4(n)， X(ejω)=FT［ x(n)］。用 MATLAB計(jì)算序列的 DFT　 　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 【 例 】 ? 函數(shù)返回 xn的 N點(diǎn) DFT變換結(jié)果向量 Xk。N)； ?l(xn,=N的頻譜特性。 　　 現(xiàn)在解釋 DFT［ R4(n)］ 4=4δ(k)。圖 x(n)及其周期延拓序列第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 　 例如：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　注意： 若 x(n)實(shí)際長(zhǎng)度為 M，延拓周期為 N，則當(dāng) NM時(shí)，()式仍表示 以 N為