數(shù)字信號處理--- 第三章 離散傅里葉變換(dft)-文庫吧
2025-02-06 14:37 本頁面
【正文】 =DFT［ x(n)］ N0≤k≤N－ 1?Y(k)=X((k+l))NRN(k)??則： 3． 頻域循環(huán)移位定理第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 設(shè)序列 h(n)和 x(n)的長度分別為 N和 M。h(n)與 x(n)的 L點循環(huán)卷積定義為 ?? 循環(huán)卷積定理 ? 1. 兩個有限長序列的循環(huán)卷積 ? 式中， L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度 ， L≥max［ N， M］。上式顯然與第 1章介紹的線性卷積不同，為了區(qū)別線性卷積， 用 表示循環(huán)卷積，用 表示 L點循環(huán)卷積 ，即 yc(n)=h(n) x(n)。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 當(dāng) n=0,1,2,… ,L－ 1時，由 x(n)形成的序列為 :{x(0),x(1),… ,x(L－ 1)}。令 n=0,m=0,1,… ,L－ 1，由式（ ）中 x((nm))L形成 x(n)的循環(huán)倒相序列為矩陣計算循環(huán)卷積 與序列 x(n)進(jìn)行對比，相當(dāng)于將第一個序列值 x(0)不動，將后面的序列反轉(zhuǎn) 180176。再放在 x(0)的后面。這樣形成的序列稱為 x(n)的循環(huán)倒相序列 。 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 再令 n=2,m=0,1,… ,L－ 1，此時得到的序列又是上面的序列向右循環(huán)移 1位。依次類推，當(dāng) n和 m均從 0變化到 L1時，得到一個關(guān)于 x((n－ m)L的矩陣如下： 令 n=1,m=0,1,… ,L1，由 x((nm))L形成的序列為觀察上式等號右端序列，它相當(dāng)于 x(n)的循環(huán)倒相序列向右循環(huán)移一位，即向右移 1位，移出區(qū)間［ 0,L－ 1］的序列值再從左邊移進(jìn)?！? 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)稱為 x(n)的 L點 “循環(huán)卷積矩陣 ”? 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)特點 ?l第 1行是序列 {x(0), x(1), … , x(L－ 1)}的循環(huán)倒相序列。注意，如果 x(n)的長度 ML，則需要在x(n)末尾補(bǔ) L－ M個零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。 ?l第 1行以后的各行均是前一行 向右循環(huán)移 1位形成的。 ?l矩陣的各主對角線上的序列值均相等。 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)式（ ）的矩陣形式如下 :按照上式，可以在計算機(jī)上用矩陣相乘的方法計算兩個序列的循環(huán)卷積，這里關(guān)鍵是先形成循環(huán)卷積矩陣。上式中 如果 h(n)的長度 NL，則需要在 h(n)末尾補(bǔ) L－ N個零。 ? 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 【 例 】 計算下面給出的兩個長度為 4的序列 h(n)與 x(n)的 4點和 8點循環(huán)卷積。 ? ??第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 解 按照式（ ）寫出 h(n)與 x(n)的4點循環(huán)卷積矩陣形式為：h(n)與 x(n)的 8點循環(huán)卷積矩陣形式為第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)h(n)和 x(n)及其 4點和 8點循環(huán)卷積結(jié)果分別如圖 (a)、 (b)、 (c)和 (d)所示。后面將證明， 當(dāng)循環(huán)卷積區(qū)間長度 L大于等于 y(n)=h(n)*x(n)的長度時，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l 有限長序列 x1(n)和 x2(n)，長度分別為 N1和 N2， N=max［ N1,N2］。 x1(n)和 x2(n)的 N點 DFT分別為：lX1(k)=DFT［ x1(n)］ X2(k)=DFT［ x2(n)］l如果 X(k)=X1(k)X2(k)l則 :() 2. 時域循環(huán)卷積定理第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)證明： 直接對 ()式兩邊進(jìn)行 DFT令 nm=n′， 則有 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)由于 所以 循環(huán)卷積亦滿足交換律 :第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 時域循環(huán)卷積計算：N10 nN1 n1)圖解法 1N10 mN10 mN1 m m,延拓 N10 m0 mN10 m0 m0 m0 m0 mN10 m、在主值區(qū)間內(nèi)求和023 321 1N1n例： x(n)={5,4,3,2,1},h(n)={1,2,3},求 N=7點的 循環(huán) 卷積。2)圖解法 2解：（ 1）將 x(n)補(bǔ)零加長為 x(k)={5,4,3,2,1,0,0},（ 2）將 h(n)補(bǔ)零加長至 N=7，并周期延拓，（ 3）反折得到 :h(n)={1,0,0,0,0,3,2}（ 4）作圖表循環(huán)卷積與線性卷積的性質(zhì)對比循 環(huán) 卷 積 線 性卷 積是 針對 FFT引出的一種 表示方法信號通 過線 性系 統(tǒng)時 ，信號 輸 出等于 輸 入與系 統(tǒng)單位沖激響 應(yīng) 的卷 積兩序列 長 度必 須 相等 ，不等 時 按要求 補(bǔ) 足零 值點 。兩序列 長 度可以 不等 。如 x1(n)為 N1點，x2(n)為 N2點卷 積結(jié) 果 長 度與兩信號 長 度相等皆 為 N卷 積結(jié) 果 長 度 為N=N1+N21第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)如果 x(n)=x1(n)x2(n)則X1(k)=DFT［ x1(n)］ ?X2(k)=DFT［ x2(n)］ 0≤k≤N13 .頻域循環(huán)卷積定理 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)()設(shè) x*(n)是 x(n)的復(fù)共軛序列， 長度為 NX(k)=DFT［ x(n)］則DFT［ x*(n)］ =X*(Nk),0≤k≤N1()且X(N)=X(0)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)復(fù)共軛序列的 DFT證明：因 X(k)的隱含周期性有： X(N)=X(0)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)同理可以證明：DFT［ x*(Nn)］ =X*(k)()有限長共軛對稱序列：xep(n)=x*ep(Nn),0≤n≤N1()有限長共軛反對稱序列： xop(n)=x*op(Nn),0≤n≤N1()當(dāng) N為偶數(shù)時， 將上式中的 n換成 N/2n可得到第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)DFT的共軛對稱性 1. 有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列表明： 有限長序列共軛對稱序列是關(guān)于 n=N/2點對稱。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)任何有限長序列 x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和， 即x(n)=xep(n)+xop(n),0≤n≤N1()將上式中的 n換成 Nn， 并取復(fù)共軛，得：x*(Nn)=x*ep(Nn)+x*op(Nn)x*(Nn)==xep(n)xop(n)()xep(n)=1/2［ x(n)+x*(Nn)］ (
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