【正文】 jXI(ejω) () 結(jié)論 ： x(n) = xe(n) + xo(n) ? ? ? X(ejω) = XR(ejω) + jXI(ejω) 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) x(n) = xe(n) + xo(n) ? ? ? X(ejω) = XR(ejω) + jXI(ejω) x(n) = xr(n) + jxi(n) ? ? ? X(e jω) = Xe(e jω) + Xo(e jω) 利用 FT的對(duì)稱性 ， 可得以下四個(gè)結(jié)論： （ 1） x(n)為 實(shí)序列 （ xi(n)=0） ， 得 X(ejω) = Xe(ejω)為共軛對(duì)稱函數(shù) ， 即 X(ejω) = X*(ejω) （ 2） x(n)為 實(shí)偶序列 （ xi(n)=0且 x(n)= x(n)， x0(n)=0） ，得 X(ejω)為實(shí)偶函數(shù) ， 即 X(ejω) = X(ejω) （ 3） x(n)為 實(shí)奇序列 （ xi(n)=0且 x(n)= x(n)， xe(n)=0） ，得 X(ejω)為純虛奇對(duì)稱函數(shù) ， 即 X(ejω) = X*(ejω)=X(ejω) （ 4） x(n)為 實(shí)因果序列： x(n)= xe(n) +xo(n) ， ?????????0, 00, )(0),(2)(nnnxnnxnx ee或： ?????????0, 00, )0(0),(2)(nnxnnxnxox e(n)=1/2[x(n)+ x(n)] x o(n)=1/2[x(n) x(n)] 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 對(duì) 實(shí)因果序列 ， 只要知道 XR(ejω) ， 就可求得 x(n)，過程如下： 已知 ： XR(ejω)=FT[xe(n)] ? xe(n) ? x(n) ? X(ejω) 已知 XI(ejω)和 x(0) ： jXI(ejω) ? xo(n) ? x(n) ? X(ejω) ? 對(duì)實(shí) 因果 序列：其傅里葉變換 X(ejω)的實(shí)部包含了X(ejω)或 x(n)的全部信息，即 X(ejω) 中有冗余信息。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) [例 ] x(n)=anu(n)， 0a1， 求其偶函數(shù) xe(n) 和奇函數(shù) xo(n)。 解： x(n) = xe(n)+xo(n) ( 0 ) , 01( ) , 021( ) , 02xnx n nx n n????()exn ?1, 01,021,02nnnanan?????第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 5. 時(shí)域卷積定理 設(shè) y(n)=x(n)*h(n), 則 Y(e jω)=X(e jω)H(e jω) () 定理說明， 兩序列卷積的 FT，服從相乘的關(guān)系。 對(duì) LTI系統(tǒng)，其輸出的 FT等于輸入信號(hào)的 FT乘以單位脈沖響應(yīng)的 FT。 因此 求系統(tǒng)的輸出 信號(hào)， (1)可以在時(shí)域用卷積公式 ()； (2)可以在頻域按照 ()式，求出輸出的 FT，再作逆 FT求出輸出信號(hào)。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 6. 頻域卷積定理 設(shè) y(n) = x(n)h(n)， 則： () 定理說明， 在時(shí)域兩序列相乘，對(duì)應(yīng)頻域?yàn)榫矸e關(guān)系。 7. 帕斯維爾 (Parseval)定理 定理說明 ， 信號(hào)時(shí)域的總能量等于頻域的總能量 。 這里頻域總能量是指 |X(e jω)|2在一個(gè)周期中的積分再乘以1/(2π)。 () 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù) 及傅里葉變換表示式 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù) 設(shè) 是以 N為周期的周期序列 ， 由于周期性 ， 可以展成傅里葉級(jí)數(shù)： ~()xn2~() j knNkkx n a e??? ? ?? ?() 式中 ak是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù) 。 ∞k∞ () 令： ak也是周期序列，周期為 N。 ~ ()kx k N a? () 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 上式中 是一個(gè)以 N為周期的周期序列 ， 稱為 的離散傅里葉級(jí)數(shù) ， 用 DFS表示 。 ~()xn() 兩式構(gòu)成一對(duì) DFS。 ~(1 / ) ( )N X k~(1 / ) (1)NX? 將周期序列分解成 N次諧波： 基波分量 的頻率是 2π/N， 幅度是 。 第 k次諧波 頻率為 ωk=(2π/N)k, k=0, 1, 2 … N1， 幅度為 。 所以：一個(gè)周期序列可以用其 DFS表示它的頻譜分布規(guī)律 。 () () 21~ ~ ~021~ ~ ~0( ) [ ( ) ] ( )1( ) [ ( ) ] ( )Nj k nNnNj k nNnX k D FS x n x n ex k I D FS x k x k eN??????????????第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) [例 ] 設(shè) x(n)=R4(n)， 將 x(n)以 N=8為周期進(jìn)行周期延拓 ， 得到如圖 (a)所示的周期序列 ，周期為 8， 求 DFS［ ］ 。 解 ()xn()xn其幅度特性 如圖 (b)所示。 2 π π73j j8 400( ) ( ) e ekn knnnX k x n ? ???????πj44πj41e1ekk??????ππjj22ππjj88πj ( e e )j π 2π πjj ( e e )481 e e1e ekkkkkk k?????? ?????3j π8πsi n2eπsi n8kkk??()Xk第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 圖 例 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 周期序列的傅里葉變換表示式 設(shè)周期序列 以 N為周期 ，其 FT為： ~()xn() 上式中的 ?(?)為 單位沖激函數(shù) [ ?(n )表示單位脈沖序列 ]。 式中 為周期序列的 DFS。 由于 不滿足絕對(duì)可和條件， 因此對(duì)周期序列求 FT時(shí)，要先計(jì)算 ，再計(jì)算 X(e jω) 。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 表 基本序列的傅里葉變換 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) [例 ] 令 ， 2π/ω0為有理數(shù) ， 求其 FT。 解 ： 將 用歐拉公式展開： ~0( ) c o sx n n??~()xn由 ()式 ， 得其 FT： ?? cosω0n的 FT，是在 ω=177。 ω0處的單位沖激函數(shù)， 強(qiáng)度為 π， 且以 2π為周期進(jìn)行延拓， 如圖所示。 00( ) [ ] 2 ( 2 )jnjrX e F T e r?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? () 0 ω0－ ω0X (ej ω)ωπ2ππ?π2?第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬 信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系 模擬信號(hào) xa(t)的一對(duì)傅里葉變換式定義如下： ( ) ( )1( ) ( )2jtaajtaaX j x t e dtx t X j e dt????????????????() () t與 Ω?(∞,+∞) 對(duì)連續(xù)信號(hào)和 采樣信號(hào) ，它們的關(guān)系用下式 () 描述： ~( ) ( ) ( )a anx t x n T t n T??? ? ????和 xa(t)的傅里葉變換之間的關(guān)系為： ~ ()axt第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 時(shí)域離散信號(hào) x(n) 的一對(duì)傅里葉變換式為： ( ) ( )1( ) ( )2j j nnj j nX e x n ex n X e e d??????????? ???????() () ? 序列 x