【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (n)的 FTX(e jω)與模擬信號(hào) xa(t)的 FTXa(jΩ)之間的關(guān)系為： () 結(jié)論 ： 序列的 FT和模擬信號(hào)的 FT之間的關(guān)系 ， 與采樣信號(hào)和模擬信號(hào)的 FT之間關(guān)系 是一樣的 ， 都是 Xa(jΩ)以周期 Ωs=2π/T進(jìn)行周期延拓 ， 頻率軸上取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系為 ω=ΩT。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 圖 模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 序列的 Z變換 Z變換的定義 序列 x(n)的 Z變換定義 為 0( ) ( ) nnX z x n z? ??? ?() 模擬信號(hào)和系統(tǒng)中： 傅里葉變換進(jìn)行頻域分析 拉普拉氏變換是其推廣，對(duì)信號(hào)進(jìn)行復(fù)頻域分析 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中： 序列的傅里葉變換進(jìn)行頻域分析 Z變換是其推廣，對(duì)序列進(jìn)行復(fù)頻域分析 單邊 Z變換的求和限是從零到無(wú)限大 ， 因此對(duì)于因果序列 ， 用兩種 Z變換定義計(jì)算出的結(jié)果是一樣的 。 如不另外說(shuō)明， 均用雙邊 Z變換 對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和變換。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) Z變換存在的條件是 |X(z)|有界 ， 即等號(hào)右邊級(jí)數(shù)收斂： X(z)存在的條件比 X(ejω)存在的條件寬得多 ， 只要|x(n)|的增長(zhǎng)速度小于 z n ， 則 ZT[x(n)]就存在 。 X(z)=ZT[x(n)]收斂域 定義為使上式存在的 |z|的取值域 ， 一般收斂域用環(huán)狀域表示： 圖 Z變換的收斂域 Rx+ 和 Rx 稱為收斂半徑 Rx 可以小到零， Rx+可以大到無(wú)窮大。 顯然 X(z)的收斂域與 x(n)有關(guān)。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 常用的 Z變換是一個(gè)有理函數(shù) ， 用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示： ()()()PzXzQz?零點(diǎn) 分子多項(xiàng)式 P(z)的根 ， 極點(diǎn) 分母多項(xiàng)式 Q(z)的根 。 在極點(diǎn)處 Z變換不存在 ， 因此收斂域中沒有極點(diǎn) ， 收斂域由極點(diǎn)限定其邊界 。 要點(diǎn)： x(n) ?? [ X(z)， 收斂域 ] 即對(duì)一個(gè)確定的 x(n)， 其 Z變換 X(z)的表達(dá)式和收斂域是一個(gè)整體 ， 二者共同 、 唯一確定 x(n)。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) ( ) ( ) jj zeX e X z ?? ??() 與序列的傅里葉變換定義式比較 ， 得到 FT和 ZT之間的關(guān)系： ( ) ( )j j nnX e x n e????? ? ?? ?() ( ) ( ) nnX z x n z? ?? ? ?? ?() 式中 z=ejω表示在 z平面上 r=1的圓 ， 該圓稱為 單位圓 。 ()式表明 單位圓上的 Z變換就是序列的傅里葉變換 。 傅里葉變換是 Z變換的特例 。 如果已知序列的 Z變換 ， 可用上式方便的求出序列的 FT， 條件 是收斂域中包含單位圓 。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) [例 ] x(n)=u(n)， 求其 Z變換 。 解： 0( ) ( ) nnnnX z u n z z????? ? ? ?????11()1Xz z ?? ?|z|1 X(z)存在的條件是 |z1|1， 因此收斂域?yàn)?|z|1， 由 X(z)表達(dá)式表明 ， 極點(diǎn)是 z=1， 單位圓上的 Z變換不存在 ， 或者說(shuō)收斂域不包含單位圓 。 因此其傅里葉變換不存在 ，更不能用 ()式求 FT。 該序列的 FT不存在 ， 但如果引進(jìn)奇異函數(shù) δ(ω)， 其傅里葉變換可以表示出來(lái) (見表 )。 該例說(shuō)明 一個(gè)序列的傅里葉變換不存在 ， 在一定收斂域內(nèi) Z變換是存在的 。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 序列特性對(duì)收斂域的影響 序列的特性決定其 Z變換收斂域 ， 了解序列特性與收斂域的一些關(guān)系 ， 有助于 Z變換的使用 。 x(n) n1≤n≤n2 x(n)= 0 其它 其 Z變換為： 21( ) ( )nnnnX z x n z ??? ?1. 有限長(zhǎng)序列 如序列 x(n)滿足： 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) x(n)為有界序列 ， 由于是有限項(xiàng)求和 ， 除 0與 ∞兩點(diǎn)是否收斂與 n n2取值有關(guān)外 ， 整個(gè) z平面均收斂 。 若： n10， 出現(xiàn) zn 項(xiàng) ， 則收斂域不包括 z=∞點(diǎn)； 若： n20， 出現(xiàn) zn項(xiàng) ， 則收斂域不包括 z=0點(diǎn)； 如果是因果序列 ， 收斂域包括 z=∞點(diǎn) 。 ? 有限長(zhǎng)序列的收斂域表示如下： 21( ) ( )nnnnX z x n z ??? ?n10， n2≤0， 0≤|z|＜ ∞: n10， n20， 0|z|＜ ∞: n1≥0， n20， 0|z|≤∞: 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) [例 ] 求 x(n)=RN(n)的 Z變換及其收斂域 。 解 ： 1101( ) ( )1NNnnNnnzX z R n z zz??????? ? ? ??? ? ????這是一個(gè)因果的有限長(zhǎng)序列 ， 因此收斂域?yàn)?0z≤∞。 從 X(z)的分母看到 z=1似乎是 X(z)的極點(diǎn) ， 但同時(shí)分子多項(xiàng)式在 z=1時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn) ， 極零點(diǎn)對(duì)消 ， X(z)在單位圓上仍存在 。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 2. 右序列 右序列是在 n≥n1時(shí) ， 序列值不全為零 ， 而在 nn1 時(shí) ，序列值全為零的序列 。 ? 第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列 ， 設(shè) n1≤1， 其收斂域?yàn)?0≤|z|＜ ∞。 ? 第二項(xiàng)為因果序列 ， 其收斂域?yàn)?Rx|z|≤∞， Rx是第二項(xiàng)最小的收斂半徑 。 將兩收斂域相與 ， 其收斂域?yàn)?Rx |z|∞。 如果是因果序列 ， 收斂域定為 Rx |z|≤∞。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) ? 如果 n20, z=0點(diǎn)收斂 ， z=∞點(diǎn)不收斂 ， 其收斂域?yàn)?≤|z|Rx+。 ? 如果 n20， 則收斂域?yàn)?0|z| Rx+ 。 2( ) ( )nnnX z x n z ?? ? ?? ?3. 左序列 左序列是在 n≤n2時(shí) ， 序列值不全為零 ， 而在 nn2， 序列值全為零的序列 。 其 Z變換為： 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 4. 雙邊序列 一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)左序列和一個(gè)右序列之和 ， 其 Z變換為： X(z)的收斂域是 X1(z)和 X2(z)收斂域的公共收斂區(qū)域 。 ? 如果 Rx+Rx， 其收斂域?yàn)?Rx|z|Rx+ ， 這是一個(gè)環(huán)狀域 ? 如果 Rx+ Rx ， 兩個(gè)收斂域沒有公共區(qū)域 ， X(z)沒有收斂域 ， 因此 ， X(z)不存在 。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) [例 ] x(n)=a|n|, a為實(shí)數(shù)，求 x(n)的 Z變換及其收 解 第一部分收斂域?yàn)?|az|1，得 |z||a|－ 1。 第二部分收斂域?yàn)閨az－ 1|1, 得到 |z||a|。如果 |a|1, 兩部分的公共收斂域?yàn)閨a||z||a|－ 1, 其 Z變換如下式 : 如果 |a|≥1，則無(wú)公共收斂域，因此 X(z)不存在。當(dāng)0a1時(shí)， x(n)的波形及 X(z)的收斂域如圖 ||() nnnX z a z? ?? ? ?? ?11()11azXza z a z ?????2111 | | | | | |( 1 ) ( 1 )a a z aa z a z???? ? ????? ???????01 nnnnnn zaza?? ????????? ??01nnnnnn zaza第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 圖 例 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 逆 Z變換 序列的 Z變換及逆 Z變換表示如下： () 式中 c 是 X(z)收斂域中一條逆時(shí)針的閉合曲線，如上圖所示。 直接計(jì)算圍線積分比較麻煩， 實(shí)際中常用三種方法 求逆 z變換 : 1. 用留數(shù)定理求逆 Z變換 2. 冪級(jí)數(shù)法 (長(zhǎng)除法 ) 3. 部分分式展開法 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) x(n)= 1. 用留數(shù)定理求逆 Z變換 令： 被積函數(shù) X(z)zn1在極點(diǎn) z=z1k的留數(shù) 設(shè) F(z)在圍線 c內(nèi)的極點(diǎn)為 z1k， 在圍線 c外的極點(diǎn)為 z2k，根據(jù) 留數(shù)定理 : 1( ) ( ) nF z X z z ??x(n)= 使用 ()式 的條件 是 F(z