【文章內(nèi)容簡介】 )xop(n)=1/2［ x(n)x*(Nn)］ ()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)2. DFT的共軛對稱性第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)xep(n)=1/2[x(n)+x*(Nn)]xop(n)=1/2[x(n)x*(Nn)]第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 綜上所述， DFT的共軛對稱性質(zhì) ：如果序列 x(n)的 DFT為 X(k)，則 x(n)的實部和虛部（包括 j）的 DFT分別為 X(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量；而 x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的 DFT? 別為 X(k)的實部和虛部乘以 j。 ?　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)設 x(n)是長度為 N的實序列， 且 X(k)=DFT[x(n)]， 則l(1)X(k)共軛對稱，即l　　 X(k)=X*(Nk)k=0,1,… ,N1()?(2)如果 x(n)是偶對稱序列，即 x(n)=x(N－ n)，則 X(k)實偶對稱，即?　　　　　　 X(k)=X(N－ k)()l(3)如果是奇對稱序列，即 x(n)=－ x(N－ n)，則 X(k)純虛奇對稱，即l　　　　　　 X(k)=－ X(N－ k)()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)減少實序列進行 DFT運算量：當 N=偶數(shù)時，只需計算 X(k)的前面 N/2+1點， N=奇數(shù)時，計算 X(k)的前面 (N+1)/2點，其他點按照 X(k)=X*(Nk)即可求得。例如， X(N－ 1)=X*(1),X(N－ 2)=X*(2),… 這樣可以減少近一半運算量。 　　 ??【 例 】 利用 DFT的共軛對稱性，設計一種高效算法，通過計算一個 N點 DFT，就可以計算出兩個實序列 x1(n)和 x2(n)的N點 DFT。 　　 ??解　構造新序列 x(n)=x1(n)+jx2(n)，對 x(n)進行 DFT，得到：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)?? 所以，由 X(k)可以求得兩個實序列 x1(n)和 x2(n)的 N點 DFT：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l時域采樣定理告訴我們，在一定條件下，可以由時域離散采樣信號恢復原來的連續(xù)信號。那么：號（或原連續(xù)頻率函數(shù)）？l2. 條件是什么？？第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 頻率域采樣 設任意序列 x(n)的 Z變換為：且 X(z)收斂域包含單位圓 (即 x(n)存在傅里葉變換 )。上式表示在區(qū)間［ 0,2π］上對 x(n)的傅里葉變換 X(ejω)的 N點等間隔采樣。在單位圓上對 X(z)等間隔采樣 N點得到第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 由 DFT與 DFS的關系可知， X(k)是 xN(n)以 N為周期的周期延拓序列　　　的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)　　　的主值序列，即 ?將 X(k)看做長度為 N的有限長序列 xN(n)的 DFT,即xN(n)=IDFT［ X(k)］， 0≤n≤N1第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)1,m=n+iN0,其他 m第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l頻域采樣定理：l 如果 x(n)的長度為 M， 則只有當頻域采樣點數(shù) N≥M時， 才有l(wèi) xN(n)=IDFT［ X(k)=x(n)l 即可由頻域采樣 X(k)恢復原序列 x(n)，否則產(chǎn)生 時域混疊現(xiàn)象。()()說明： X(z)在單位圓上的 N點等間隔采樣 X(k)的 N點 IDFT是原序列 x(n)以 N為周期的周期延拓序列的主值序列。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)滿足頻域采樣定理時，頻域采樣序列 X(k)的 N點 IDFT是原序列 x(n)，所以必然可以由 X(k)恢復 X(z)和 X(ejω)。因為滿足頻域采樣定理，所以 ?? X(k)表達 X(z)與 的問題下面推導 用頻域采樣 X(k)表示如何表示 X(z)， 設序列 x(n)長度為 M， 在頻域 0~2π之間等間隔采樣 N點， N≥M， 則有 ：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)將上式代入 X(z)的表示式中得內(nèi)插公式第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)當 z=ejω時， 帶入上式， 即進一步化簡可得 ()()頻域內(nèi)插公式頻域內(nèi)插函數(shù)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l　　 解 解題思想： 先計算 x(n)的 32點 DFT，得到其頻譜函數(shù) X(ejω)在頻率區(qū)間［ 0， 2π］ 上等間隔 32點采樣X32(k)，再對 X32(k)隔點抽取，得到 X(ejω)在頻率區(qū)間［ 0， 2π］ 上等間隔 16點采樣 X16(k)。最后分別對 X16(k)和X32(k)求 IDFT,得到：????繪制 x16(n)和 x32(n)波形圖驗證頻域采樣理論。 ?【 MATLAB例 】 長度為 26的三角形序列 x(n)如圖 (a)所示。編寫 MATLAB程序驗證頻域采樣理論?！　??第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)MATLAB求解程序 ： ?%頻域采樣理論驗證 ?M=26。N=32。n=0:M。?xa=0:M/2。xb=ceil(M/2)1:1:0。xn=［ xa,xb］ 。　　　　　　　　 %產(chǎn)生 M長三角波序列 x(n)?Xk=fft(xn,512)?！?%512點 FFT［ x(n)］ ?X32k=fft(xn,32)?！?%32點 FFT［ x(n)］ ?x32n=ifft(X32k)?！?%32點 IFFT［ X32(k)］得到 x32(n)?X16k=X32k(1:2:N)。%隔點抽取 X32k得到 X16(k)?x16n=ifft(X16k,N/2)。%16點 IFFT［ X16(k)］得到 x16(n)以下繪圖部分省略。 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 本例中 x(n)的長度 M=26。從圖中可以看出，當采樣點數(shù) N=16M時， x16(n)確實等于原三角序列 x(n)以 16為周期的周期延拓序列的主值序列。 由于 存在時域混疊失真 ，因而 x16(n)≠x(n)； 當采樣點數(shù)N=32M時，無時域混疊失真 ， x32(n)=IDFT［ X32(k)］ =x(n)。 ? DFT的應用舉例 DFT的快速算法 FFT的出現(xiàn)， 使 DFT在數(shù)字通信、 語言信號處理、 圖像處理、 功率譜估計、 仿真、 系統(tǒng)分析、 雷達理論、 光學、 醫(yī)學、 地震以及數(shù)值分析等各個領域都得到廣 泛應用。 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)用 DFT計算線性卷積 0≤k≤L1則由時域循環(huán)卷積定理有 :Y(k)=DFT[y(n)]=X1(k)X2(k),0≤k≤L1如果第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)由此可見， 循環(huán)卷積既可在時域直接計算， 也可以在頻域計算。 由于 DFT有快速算法 FFT， 當 N很大時， 在頻域計算的速度快得多， 因而常用 DFT(FFT)計算循環(huán)卷積 ,其計算框圖如圖 。圖 用 DFT計算循環(huán)卷積 h(n) DFTDFTx(n)IDFT y(n)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)在實際應用中， 經(jīng)常需要計算兩個序列的線性卷積， 與計算循環(huán)卷積一樣， 為了提高運算速度， 也希望用DFT(FFT)計算線性卷積。 而 DFT只能直接用來計算循環(huán)卷積 ， 為此 導出線卷積和循環(huán)卷積之間的關系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件 。 假設 h(n)和 x(n)都是有限長序列， 長度分別是 N和 M。 它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示 如下： 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)其中， L≥max［ N,M］ ()()()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l　　 因線性卷積取值長度為 N＋ M1， 循環(huán)卷積計算線性卷積的條件：l L≥N＋ M1l則可按照如圖 DFT(FFT)計算線性卷積。其中 DFT和 IDFT通常用快速算法(FFT)來實現(xiàn)，故常稱其為快速卷積。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 線性卷積與循環(huán)卷積 圖 用 DFT計算線性卷積框圖 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)? 　　 實際上，經(jīng)常