【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )xop(n)=1/2［ x(n)x*(Nn)］ ()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)2. DFT的共軛對(duì)稱性第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)xep(n)=1/2[x(n)+x*(Nn)]xop(n)=1/2[x(n)x*(Nn)]第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 綜上所述， DFT的共軛對(duì)稱性質(zhì) ：如果序列 x(n)的 DFT為 X(k)，則 x(n)的實(shí)部和虛部（包括 j）的 DFT分別為 X(k)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量；而 x(n)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量的 DFT? 別為 X(k)的實(shí)部和虛部乘以 j。 ?　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)設(shè) x(n)是長(zhǎng)度為 N的實(shí)序列， 且 X(k)=DFT[x(n)]， 則l(1)X(k)共軛對(duì)稱，即l　　 X(k)=X*(Nk)k=0,1,… ,N1()?(2)如果 x(n)是偶對(duì)稱序列，即 x(n)=x(N－ n)，則 X(k)實(shí)偶對(duì)稱，即?　　　　　　 X(k)=X(N－ k)()l(3)如果是奇對(duì)稱序列，即 x(n)=－ x(N－ n)，則 X(k)純虛奇對(duì)稱，即l　　　　　　 X(k)=－ X(N－ k)()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)減少實(shí)序列進(jìn)行 DFT運(yùn)算量：當(dāng) N=偶數(shù)時(shí)，只需計(jì)算 X(k)的前面 N/2+1點(diǎn)， N=奇數(shù)時(shí)，計(jì)算 X(k)的前面 (N+1)/2點(diǎn)，其他點(diǎn)按照 X(k)=X*(Nk)即可求得。例如， X(N－ 1)=X*(1),X(N－ 2)=X*(2),… 這樣可以減少近一半運(yùn)算量。 　　 ??【 例 】 利用 DFT的共軛對(duì)稱性，設(shè)計(jì)一種高效算法，通過(guò)計(jì)算一個(gè) N點(diǎn) DFT，就可以計(jì)算出兩個(gè)實(shí)序列 x1(n)和 x2(n)的N點(diǎn) DFT。 　　 ??解　構(gòu)造新序列 x(n)=x1(n)+jx2(n)，對(duì) x(n)進(jìn)行 DFT，得到：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)?? 所以，由 X(k)可以求得兩個(gè)實(shí)序列 x1(n)和 x2(n)的 N點(diǎn) DFT：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l時(shí)域采樣定理告訴我們，在一定條件下，可以由時(shí)域離散采樣信號(hào)恢復(fù)原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。那么：號(hào)（或原連續(xù)頻率函數(shù)）？l2. 條件是什么？？第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 頻率域采樣 設(shè)任意序列 x(n)的 Z變換為：且 X(z)收斂域包含單位圓 (即 x(n)存在傅里葉變換 )。上式表示在區(qū)間［ 0,2π］上對(duì) x(n)的傅里葉變換 X(ejω)的 N點(diǎn)等間隔采樣。在單位圓上對(duì) X(z)等間隔采樣 N點(diǎn)得到第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 由 DFT與 DFS的關(guān)系可知， X(k)是 xN(n)以 N為周期的周期延拓序列　　　的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)　　　的主值序列，即 ?將 X(k)看做長(zhǎng)度為 N的有限長(zhǎng)序列 xN(n)的 DFT,即xN(n)=IDFT［ X(k)］， 0≤n≤N1第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)1,m=n+iN0,其他 m第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l頻域采樣定理：l 如果 x(n)的長(zhǎng)度為 M， 則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù) N≥M時(shí)， 才有l(wèi) xN(n)=IDFT［ X(k)=x(n)l 即可由頻域采樣 X(k)恢復(fù)原序列 x(n)，否則產(chǎn)生 時(shí)域混疊現(xiàn)象。()()說(shuō)明： X(z)在單位圓上的 N點(diǎn)等間隔采樣 X(k)的 N點(diǎn) IDFT是原序列 x(n)以 N為周期的周期延拓序列的主值序列。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)滿足頻域采樣定理時(shí)，頻域采樣序列 X(k)的 N點(diǎn) IDFT是原序列 x(n)，所以必然可以由 X(k)恢復(fù) X(z)和 X(ejω)。因?yàn)闈M足頻域采樣定理，所以 ?? X(k)表達(dá) X(z)與 的問(wèn)題下面推導(dǎo) 用頻域采樣 X(k)表示如何表示 X(z)， 設(shè)序列 x(n)長(zhǎng)度為 M， 在頻域 0~2π之間等間隔采樣 N點(diǎn)， N≥M， 則有 ：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)將上式代入 X(z)的表示式中得內(nèi)插公式第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)當(dāng) z=ejω時(shí)， 帶入上式， 即進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得 ()()頻域內(nèi)插公式頻域內(nèi)插函數(shù)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l　　 解 解題思想： 先計(jì)算 x(n)的 32點(diǎn) DFT，得到其頻譜函數(shù) X(ejω)在頻率區(qū)間［ 0， 2π］ 上等間隔 32點(diǎn)采樣X(jué)32(k)，再對(duì) X32(k)隔點(diǎn)抽取，得到 X(ejω)在頻率區(qū)間［ 0， 2π］ 上等間隔 16點(diǎn)采樣 X16(k)。最后分別對(duì) X16(k)和X32(k)求 IDFT,得到：????繪制 x16(n)和 x32(n)波形圖驗(yàn)證頻域采樣理論。 ?【 MATLAB例 】 長(zhǎng)度為 26的三角形序列 x(n)如圖 (a)所示。編寫(xiě) MATLAB程序驗(yàn)證頻域采樣理論?！　??第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)MATLAB求解程序 ： ?%頻域采樣理論驗(yàn)證 ?M=26。N=32。n=0:M。?xa=0:M/2。xb=ceil(M/2)1:1:0。xn=［ xa,xb］ ?！　　　　　　　?%產(chǎn)生 M長(zhǎng)三角波序列 x(n)?Xk=fft(xn,512)?！?%512點(diǎn) FFT［ x(n)］ ?X32k=fft(xn,32)?！?%32點(diǎn) FFT［ x(n)］ ?x32n=ifft(X32k)?！?%32點(diǎn) IFFT［ X32(k)］得到 x32(n)?X16k=X32k(1:2:N)。%隔點(diǎn)抽取 X32k得到 X16(k)?x16n=ifft(X16k,N/2)。%16點(diǎn) IFFT［ X16(k)］得到 x16(n)以下繪圖部分省略。 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 本例中 x(n)的長(zhǎng)度 M=26。從圖中可以看出，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù) N=16M時(shí)， x16(n)確實(shí)等于原三角序列 x(n)以 16為周期的周期延拓序列的主值序列。 由于 存在時(shí)域混疊失真 ，因而 x16(n)≠x(n)； 當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N=32M時(shí)，無(wú)時(shí)域混疊失真 ， x32(n)=IDFT［ X32(k)］ =x(n)。 ? DFT的應(yīng)用舉例 DFT的快速算法 FFT的出現(xiàn)， 使 DFT在數(shù)字通信、 語(yǔ)言信號(hào)處理、 圖像處理、 功率譜估計(jì)、 仿真、 系統(tǒng)分析、 雷達(dá)理論、 光學(xué)、 醫(yī)學(xué)、 地震以及數(shù)值分析等各個(gè)領(lǐng)域都得到廣 泛應(yīng)用。 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)用 DFT計(jì)算線性卷積 0≤k≤L1則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有 :Y(k)=DFT[y(n)]=X1(k)X2(k),0≤k≤L1如果第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)由此可見(jiàn)， 循環(huán)卷積既可在時(shí)域直接計(jì)算， 也可以在頻域計(jì)算。 由于 DFT有快速算法 FFT， 當(dāng) N很大時(shí)， 在頻域計(jì)算的速度快得多， 因而常用 DFT(FFT)計(jì)算循環(huán)卷積 ,其計(jì)算框圖如圖 。圖 用 DFT計(jì)算循環(huán)卷積 h(n) DFTDFTx(n)IDFT y(n)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)在實(shí)際應(yīng)用中， 經(jīng)常需要計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積， 與計(jì)算循環(huán)卷積一樣， 為了提高運(yùn)算速度， 也希望用DFT(FFT)計(jì)算線性卷積。 而 DFT只能直接用來(lái)計(jì)算循環(huán)卷積 ， 為此 導(dǎo)出線卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件 。 假設(shè) h(n)和 x(n)都是有限長(zhǎng)序列， 長(zhǎng)度分別是 N和 M。 它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示 如下： 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)其中， L≥max［ N,M］ ()()()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l　　 因線性卷積取值長(zhǎng)度為 N＋ M1， 循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積的條件：l L≥N＋ M1l則可按照如圖 DFT(FFT)計(jì)算線性卷積。其中 DFT和 IDFT通常用快速算法(FFT)來(lái)實(shí)現(xiàn)，故常稱其為快速卷積。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 線性卷積與循環(huán)卷積 圖 用 DFT計(jì)算線性卷積框圖 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)? 　　 實(shí)際上，經(jīng)常