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正文內(nèi)容

數(shù)字信號(hào)處理---第三章離散傅里葉變換(dft)(編輯修改稿)

2025-03-20 14:37 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )xop(n)=1/2[ x(n)x*(Nn)] ()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)2. DFT的共軛對(duì)稱性第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)xep(n)=1/2[x(n)+x*(Nn)]xop(n)=1/2[x(n)x*(Nn)]第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)   綜上所述, DFT的共軛對(duì)稱性質(zhì) :如果序列 x(n)的 DFT為 X(k),則 x(n)的實(shí)部和虛部(包括 j)的 DFT分別為 X(k)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量;而 x(n)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量的 DFT? 別為 X(k)的實(shí)部和虛部乘以 j。 ? 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)設(shè) x(n)是長(zhǎng)度為 N的實(shí)序列, 且 X(k)=DFT[x(n)], 則l(1)X(k)共軛對(duì)稱,即l   X(k)=X*(Nk)k=0,1,… ,N1()?(2)如果 x(n)是偶對(duì)稱序列,即 x(n)=x(N- n),則 X(k)實(shí)偶對(duì)稱,即?       X(k)=X(N- k)()l(3)如果是奇對(duì)稱序列,即 x(n)=- x(N- n),則 X(k)純虛奇對(duì)稱,即l       X(k)=- X(N- k)()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)減少實(shí)序列進(jìn)行 DFT運(yùn)算量:當(dāng) N=偶數(shù)時(shí),只需計(jì)算 X(k)的前面 N/2+1點(diǎn), N=奇數(shù)時(shí),計(jì)算 X(k)的前面 (N+1)/2點(diǎn),其他點(diǎn)按照 X(k)=X*(Nk)即可求得。例如, X(N- 1)=X*(1),X(N- 2)=X*(2),… 這樣可以減少近一半運(yùn)算量。    ??【 例 】 利用 DFT的共軛對(duì)稱性,設(shè)計(jì)一種高效算法,通過(guò)計(jì)算一個(gè) N點(diǎn) DFT,就可以計(jì)算出兩個(gè)實(shí)序列 x1(n)和 x2(n)的N點(diǎn) DFT。    ??解 構(gòu)造新序列 x(n)=x1(n)+jx2(n),對(duì) x(n)進(jìn)行 DFT,得到:第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)?? 所以,由 X(k)可以求得兩個(gè)實(shí)序列 x1(n)和 x2(n)的 N點(diǎn) DFT:第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l時(shí)域采樣定理告訴我們,在一定條件下,可以由時(shí)域離散采樣信號(hào)恢復(fù)原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。那么:號(hào)(或原連續(xù)頻率函數(shù))?l2. 條件是什么??第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 頻率域采樣 設(shè)任意序列 x(n)的 Z變換為:且 X(z)收斂域包含單位圓 (即 x(n)存在傅里葉變換 )。上式表示在區(qū)間[ 0,2π]上對(duì) x(n)的傅里葉變換 X(ejω)的 N點(diǎn)等間隔采樣。在單位圓上對(duì) X(z)等間隔采樣 N點(diǎn)得到第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)  由 DFT與 DFS的關(guān)系可知, X(k)是 xN(n)以 N為周期的周期延拓序列   的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)   的主值序列,即 ?將 X(k)看做長(zhǎng)度為 N的有限長(zhǎng)序列 xN(n)的 DFT,即xN(n)=IDFT[ X(k)], 0≤n≤N1第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)1,m=n+iN0,其他 m第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l頻域采樣定理:l 如果 x(n)的長(zhǎng)度為 M, 則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù) N≥M時(shí), 才有l(wèi) xN(n)=IDFT[ X(k)=x(n)l 即可由頻域采樣 X(k)恢復(fù)原序列 x(n),否則產(chǎn)生 時(shí)域混疊現(xiàn)象。()()說(shuō)明: X(z)在單位圓上的 N點(diǎn)等間隔采樣 X(k)的 N點(diǎn) IDFT是原序列 x(n)以 N為周期的周期延拓序列的主值序列。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)滿足頻域采樣定理時(shí),頻域采樣序列 X(k)的 N點(diǎn) IDFT是原序列 x(n),所以必然可以由 X(k)恢復(fù) X(z)和 X(ejω)。因?yàn)闈M足頻域采樣定理,所以 ?? X(k)表達(dá) X(z)與 的問(wèn)題下面推導(dǎo) 用頻域采樣 X(k)表示如何表示 X(z), 設(shè)序列 x(n)長(zhǎng)度為 M, 在頻域 0~2π之間等間隔采樣 N點(diǎn), N≥M, 則有 :第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)將上式代入 X(z)的表示式中得內(nèi)插公式第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)當(dāng) z=ejω時(shí), 帶入上式, 即進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得 ()()頻域內(nèi)插公式頻域內(nèi)插函數(shù)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l   解 解題思想: 先計(jì)算 x(n)的 32點(diǎn) DFT,得到其頻譜函數(shù) X(ejω)在頻率區(qū)間[ 0, 2π] 上等間隔 32點(diǎn)采樣X(jué)32(k),再對(duì) X32(k)隔點(diǎn)抽取,得到 X(ejω)在頻率區(qū)間[ 0, 2π] 上等間隔 16點(diǎn)采樣 X16(k)。最后分別對(duì) X16(k)和X32(k)求 IDFT,得到:????繪制 x16(n)和 x32(n)波形圖驗(yàn)證頻域采樣理論。 ?【 MATLAB例 】 長(zhǎng)度為 26的三角形序列 x(n)如圖 (a)所示。編寫(xiě) MATLAB程序驗(yàn)證頻域采樣理論?! ??第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)MATLAB求解程序 : ?%頻域采樣理論驗(yàn)證 ?M=26。N=32。n=0:M。?xa=0:M/2。xb=ceil(M/2)1:1:0。xn=[ xa,xb] ?!       ?%產(chǎn)生 M長(zhǎng)三角波序列 x(n)?Xk=fft(xn,512)?!?%512點(diǎn) FFT[ x(n)] ?X32k=fft(xn,32)?!?%32點(diǎn) FFT[ x(n)] ?x32n=ifft(X32k)?!?%32點(diǎn) IFFT[ X32(k)]得到 x32(n)?X16k=X32k(1:2:N)。%隔點(diǎn)抽取 X32k得到 X16(k)?x16n=ifft(X16k,N/2)。%16點(diǎn) IFFT[ X16(k)]得到 x16(n)以下繪圖部分省略。 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)  本例中 x(n)的長(zhǎng)度 M=26。從圖中可以看出,當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù) N=16M時(shí), x16(n)確實(shí)等于原三角序列 x(n)以 16為周期的周期延拓序列的主值序列。 由于 存在時(shí)域混疊失真 ,因而 x16(n)≠x(n); 當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N=32M時(shí),無(wú)時(shí)域混疊失真 , x32(n)=IDFT[ X32(k)] =x(n)。 ? DFT的應(yīng)用舉例 DFT的快速算法 FFT的出現(xiàn), 使 DFT在數(shù)字通信、 語(yǔ)言信號(hào)處理、 圖像處理、 功率譜估計(jì)、 仿真、 系統(tǒng)分析、 雷達(dá)理論、 光學(xué)、 醫(yī)學(xué)、 地震以及數(shù)值分析等各個(gè)領(lǐng)域都得到廣 泛應(yīng)用。 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)用 DFT計(jì)算線性卷積 0≤k≤L1則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有 :Y(k)=DFT[y(n)]=X1(k)X2(k),0≤k≤L1如果第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)由此可見(jiàn), 循環(huán)卷積既可在時(shí)域直接計(jì)算, 也可以在頻域計(jì)算。 由于 DFT有快速算法 FFT, 當(dāng) N很大時(shí), 在頻域計(jì)算的速度快得多, 因而常用 DFT(FFT)計(jì)算循環(huán)卷積 ,其計(jì)算框圖如圖 。圖 用 DFT計(jì)算循環(huán)卷積 h(n) DFTDFTx(n)IDFT y(n)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)在實(shí)際應(yīng)用中, 經(jīng)常需要計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積, 與計(jì)算循環(huán)卷積一樣, 為了提高運(yùn)算速度, 也希望用DFT(FFT)計(jì)算線性卷積。 而 DFT只能直接用來(lái)計(jì)算循環(huán)卷積 , 為此 導(dǎo)出線卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件 。 假設(shè) h(n)和 x(n)都是有限長(zhǎng)序列, 長(zhǎng)度分別是 N和 M。 它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示 如下: 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)其中, L≥max[ N,M] ()()()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l   因線性卷積取值長(zhǎng)度為 N+ M1, 循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積的條件:l L≥N+ M1l則可按照如圖 DFT(FFT)計(jì)算線性卷積。其中 DFT和 IDFT通常用快速算法(FFT)來(lái)實(shí)現(xiàn),故常稱其為快速卷積。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 線性卷積與循環(huán)卷積 圖 用 DFT計(jì)算線性卷積框圖 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)?    實(shí)際上,經(jīng)常
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